(1 + i) 3 = i i 2 + i 3 = 1 + 3i 3 i = 2 + 2i 3 4i 2 i 3 4i 3 4i 2 i 6 3i 8i 4i 6 3i 8i 4 2 i

Transcription

1 Ecrre, sous forme algébrque, les nombres : a (5 ) + 3( 4) (5 ) + 3( 4) = = + b (5 11)( ) (5 11)( ) = = = 1 7 c (1 + ) 3 d (1 + ) 3 = = = e f x y y x (x, y) x y x y y x xy x y xy xy x y xy y x y x y x y ( x) y x noter que, dans un quotent, s vous remarquez que les partes réelle et magnare du numérateur sont proportonnelles aux partes magnare et réelle du dénomnateur à un sgne près, l est beaucoup plus rapde d effectuer la pette manœuvre suvante : x yx y( x y) y x y x y x Résoudre, dans, les équatons : a ( ) z ( ) z 4 0 z z z z L ensemble des solutons est donc 5 5 b 1 z 1 1 z z z z z z z NOMRES COMPLEXES 1 FC 013

2 c z z 1 z z z 1 5 L ensemble des solutons est donc z 1 1 z z 1 z 1 (1 )( z ) z 1 (1 ) z (1 ) z 3 1 z z z z z z z z z z z z z 1 5 L ensemble des solutons est donc Résoudre, dans, les équatons : a z z 10 0 Le dscrmnant est = 4110 = 36 Ce nombre étant strctement négatf, l équaton a deux solutons complexes conjuguées : et 1 3 b z 4z 1 0 Le dscrmnant est = = 68 Ce nombre étant strctement négatf, l équaton a deux solutons complexes conjuguées : et 17 c z ( 5) z 10 0 z ( 5) z 10 0 z z 5z 10 0 z( z ) 5( z ) 0 z ( 5) z 10 0 ( z )( z 5) 0 z 0 ou z 5 0 z ( 5) z 10 0 z ou z 5 L équaton a donc deux solutons : et 5 Développer le produt z 3z 1 z z 6, pus résoudre, dans, l équaton : 4 3 z z 4z 17z z z 3z 1 z z 6 z z 6z 3z 3z 18z z z z z 3z 1 z z 6 z z 4z 17z z z 4z 17z 6 0 z 3z 1 z z z z 4z 17z 6 0 z 3z 1 0 ou z z 6 0 L équaton z 3z 1 0 a pour dscrmnant = = 5 Ce nombre étant strctement postf, l équaton z 3z 1 0 a deux solutons réelles : 3 5 et 3 5 NOMRES COMPLEXES FC 013

3 L équaton z z 6 0 a pour dscrmnant = (1) 416 = 3 Ce nombre étant strctement négatf, l équaton l autre : 1 3 et 1 3 L équaton z 4 z 3 4z 17z 6 0 a donc quatre solutons : z 3 5, z 6 0 a deux solutons complexes conjuguées l une de 3 5, 1 3 et 1 3 Résoudre, dans, l équaton z 4 4z 1 0 Il s agt d une équaton bcarrée (cours de premère) que l on résout au moyen d un changement de varable : Z = z 4 z 4z 1 0 Z 4Z 1 0 Dscrmnant : = 4 41(1) = 100 deux racnes : et z 4z 1 0 Z 3 ou Z 7 z 3 ou z 7 4 z 4z 1 0 z 3 ou z 3 ou z 7 ou z 7 L équaton a donc quatre solutons : 3, 3, 7 et 7 Montrer que l équaton z 3 (1 3) z ( 3) z 6 0 admet une soluton magnare pure Un nombre magnare pur est de la forme b avec b 3 b est soluton ( b) (1 3)( b) ( 3)( b) 6 0 b est soluton b est soluton 3 b (1 3)( b ) ( 3) b b b 3b b 3b 6 0 b est soluton b b b 3 b b Un nombre complexe n ayant qu une écrture algébrque, b 3b 0 b( b 3) 0 b est soluton 3 3 b 3b b 6 0 b 3b b 6 0 b 0 b 3 b est soluton ou b L équaton z 3 (1 3) z ( 3) z 6 0 admet une soluton magnare pure : 3 Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal drect (O; u, v), on consdère les ponts,, C et D d affxes respectves : a 3, b 1, c et d Détermner les affxes des mleux respectfs I et J des segments [C] et [D] Que peut-on en dédure pour le quadrlatère CD? a c 3 1 Le mleu I de [C] a pour affxe : b d 1 1 Le mleu J de [D] a pour affxe : I Les ponts I et J, ayant la même affxe, sont confondus Les dagonales du quadrlatère CD ayant le même mleu, CD est un parallélogramme C D NOMRES COMPLEXES 3 FC 013

4 Détermner le module de chacun des nombres complexes suvants : a 3 b a 3 ( 3) b 1 c 5 c d 5 5 d Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal drect (O; u, v), on consdère les ponts,, C et D d affxes respectves : a 7, b 1, c 6 5 et d 7 3 Calculer les dstances, C, CD et D En dédure la nature du quadrlatère CD z z ( 1) ( 8) 65 C C z z ( 4) 65 D C CD z z D D z z ( 7) 4 65 = C = CD = D donc CD est un losange Détermner un argument de chacun des nombres complexes suvants : a 5 a est magnare pur avec une parte magnare postve arg( a) (mod ) b b est réel strctement négatf arg( b) (mod ) c 5 5 c 5 5 ( 5) Sot un argument de c cos et sn (mod ) d 1 3 d Sot un argument de d 1 3 cos et sn (mod ) 3 Ecrre sous forme trgonométrque les nombres complexes : a 3 cos sn nombre réel négatf a = 3 b b cos0 sn 0 nombre réel postf 1 c 1 c cos sn d = d 1cos sn e on commence par calculer son module : e ( ) 8 d où e cos sn D C NOMRES COMPLEXES 4 FC 013

5 f f d où f 8 8 cos sn g cos sn pège : un module est forcément postf g cos sn cos sn cos sn 3 h cos sn 3 3 h cos sn Ecrre sous forme algébrque les nombres complexes : a 4cos sn b 4cos sn c 6cos sn 6 3 3, on consdère les ponts, et C d affxes respectves : a 3, b 8 et c 4 3 Ecrre sous forme algébrque le nombre c a Détermner le module de ce nombre En dédure b a la nature du trangle C c a b a Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal drect (O; u, v) c a donc C c a 1 d où C = Le trangle C est b a b a socèle en cos sn a Ecrre, sous forme trgonométrque et sous forme algébrque le nombre : 3 3 cos sn cos sn Sous forme trgonométrque : 3 3 cos sn 1 cos sn cos sn cos sn cos sn 3 b En dédure la valeur de cos 1 et sn1 NOMRES COMPLEXES 5 FC 013

6 6 6 On a donc cos sn Un nombre complexe n ayant qu une écrture algébrque, cos et sn Ecrre, sous forme algébrque, le nombre On commence par écrre ( 1) 3 d où sous forme trgonométrque cos sn cos sn cos sn Il ne reste plus qu à remarquer que 0 10 ce qu montre que la mesure prncpale d un angle qu mesure 6 est cos sn Ecrre, sous forme trgonométrque et sous forme algébrque le nombre : 3 a e cos sn formealgébrque forme trgonométrque 8 cos sn b 8e c forme trgonométrque forme trgonométrque formealgébrque 4 6e 6cos sn formealgébrque 5 cos sn d 5e forme trgonométrque Ecrre sous forme exponentelle les nombres : a 3 3 formealgébrque d où cos sn 3e 3 3 b 8 d où 3 33 cos sn e c NOMRES COMPLEXES 6 FC 013

7 d où cos sn 10e 3 3 d cos sn 7e 3 Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal drect (O; u, v) et d affxes respectves : a 1 et b, on consdère les ponts Détermner les affxes c et d des ponts C et D tels que le quadrlatère CD sot un carré ndrect Observons un carré CD ndrect : C est un trangle rectangle, socèle en et ndrect On a donc : = C et, C k k On utlse alors le nombre complexe c b : a b c b C c b 1 et arg, C k k d où a b a b c b 1 e, c b ( a b) d où c ( a b) b (1 ) 1 4 a b Enfn CD est un carré donc un parallélogramme C On a donc CD d où d c = a b On en tre ausstôt : d a b c 1 1 D C D Détermner l ensemble des ponts M d affxe z telle que : a z z Premère méthode : posons z x y z z x y x y z z x ( y 1) y x 1 z z ( x ) ( y 1) ( y ) ( x 1) z z ( x ) ( y 1) ( y ) ( x 1) z z x 4x 4 y y 1 y 4y 4 x x 1 z z 6x 6y 0 x y 0 L ensemble des ponts M cherchés est donc la drote d équaton x + y = 0 (deuxème bssectrce du repère) NOMRES COMPLEXES 7 FC 013

8 Deuxème méthode : approche plus géométrque z z z z z z z z 1 z z z z 1 z z z 1 z 1 z z z ( ) z ( 1 ) Désgnons par et les ponts d affxes respectves + et 1 z z z z z z M M L ensemble des ponts M cherchés est donc la médatrce du segment [] Une smple fgure vous permettra de vérfer que ces deux réponses sont dentques, ben que formulées de façons dfférentes b z z z (3 ) 3 4 z z (3 ) 5 Désgnons par le pont d affxe 3 + z z z 5 z M 5 L ensemble est le dsque fermé de centre et de rayon 5 O z 1 c arg k ( k ) z Désgnons par et les ponts d affxes respectves et 1 z 1 arg k ( k ) M, M k ( k ) z L ensemble est un dem-cercle de damètre [], et exclus ttenton! L autre dem-cercle de damètre [] est l ensemble des ponts M tels que : M, M k ( k ) Dans le plan complexe P rapporté au repère orthonormal (O, u, v ) dfférentes, l ensemble des ponts M d affxe z vérfant : a z 1 est magnare pur z 3 3 Premère méthode : posons z x y z 1 x y 1 x 1 ( y 1) x 3 ( y 3) z 3 3 x y 3 3 x 3 ( y 3) x 3 ( y 3), détermner, de deux façons z 1 x 3x xy 3x x 3 y 3 yx 3y y 3y x 3 y 3 z 3 3 ( x 3) ( y 3) z x y x y x y z 3 3 ( x 3) ( y 3) ( x 3) ( y 3) NOMRES COMPLEXES 8 FC 013

9 z 1 z 1 est magnare pur Re 0 z 3 3 z 3 3 x y 4x y 0 ( x 3) ( y 3) z 1 x y 4x y 0 ( x ) 4 ( y 1) 1 0 est magnare pur z 3 3 ( x 3) ( y 3) 0 ( x ; y) (3 ; 3) z 1 est magnare pur ( x ) ( y 1) 5 z 3 3 ( x ; y) (3 ; 3) L ensemble cherché est le cercle dont le centre a pour coordonnées ( ; 1) c'est-à-dre pour affxe +, dont le rayon est égal à 5, prvé du pont de coordonnées (3 ; 3), c'est-à-dre d affxe (N oublez pas de vous assurer que le couple (3 ; 3) vérfe l équaton du cercle! Snon, l n y aurat aucun pont à exclure) Deuxème méthode : z 1 z (1 ) z 3 3 z (3 3) Désgnons par et les ponts d affxes respectves et 1 z 1 z z est magnare pur z 3 3 z z est magnare pur z 1 z z z 3 3 z z z 1 z z z z est magnare pur 0 ou arg kk z 3 3 z z z z z 1 est magnare pur z 3 3 ou M, z z M k k z 1 est magnare pur z 3 3 z z ou M appartent au cercle de damètre [] prvé de et z 1 est magnare pur M appartent au cercle de damètre [] prvé de z 3 3 Vérfez : le centre du cercle trouvé à la premère méthode est ben le mleu de [] et le pont exclu est ben le même b z 1 z 3 3 est réel strctement postf Premère méthode : posons z x y z x y x y x y z 3 3 ( x 3) ( y 3) ( x 3) ( y 3) z 1 z 3 3 z 1 z 3 3 z 1 z 3 3 z 1 z 3 3 z 1 z 1 Im 0 et Re 0 z 3 3 z 3 3 4x y 6 x y 4x y 0 et 0 ( x 3) ( y 3) ( x 3) ( y 3) 4x y 6 0 et x y 4x y 0 et ( x ; y) (3 ; 3) x y 3 0 et ( x ) ( y 1) 5 et ( x ; y) (3 ; 3) NOMRES COMPLEXES 9 FC 013

10 L ensemble cherché est la parte de la drote d équaton y = x 3, stuée à l extéreur du dsque délmté par le cercle trouvé à la queston a Notez que cette drote passe par les ponts et de la queston a Deuxème méthode : z 1 z z z 3 3 z z z 1 z z l exste un réel strctement postf k tel que z 3 3 z z z 1 z 3 3 l exste un réel strctement postf k tel que z z k z z et z z z 1 l exste un réel strctement postf k tel que z z 3 3 M k z M et z z z 1 l exste un réel strctement postf k tel que M k M et M z 3 3 z 1 z 3 3 les vecteurs M et M sont colnéares et de même sens et non nul z 1 z 3 3 M appartent à () [] Même concluson qu à la premère méthode k c z 1 z Premère méthode : z 1 z 1 1 z 3 3 z z 1 z 3 3 et z Posons z 1 z 3 3 z 1 z 3 3 z 1 z 3 3 z 1 z 3 3 z 1 z 3 3 z 1 z 3 3 z x y 1 x y 1 x y 3 3 et x y x 1 ( y 1) x 3 ( y 3) et x 3 ( y 3) 0 1 ( x 1) ( y 1) ( x 3) ( y 3) et x 3 ; y 3 (0 ; 0) 1 ( x 1) ( y 1) ( x 3) ( y 3) et x ; y (3 ; 3) 1 x x 1 y y 1 x 6x 9 y 6y 9 et x ; y (3 ; 3) 1 4x 8y 16 0 et x ; y (3 ; 3) NOMRES COMPLEXES 10 FC 013

11 z 1 1 x y 4 0 et x ; y (3 ; 3) z 3 3 Le pont de coordonnées (3 ; 3) ne vérfant pas l équaton x + y 4 = 0, l n y a aucun pont à exclure L ensemble cherché est la drote d équaton x + y 4 = 0 z 1 z 3 3 L ensemble cherché est la médatrce de [] Deuxème méthode : 1 z z z z et z z M M et M Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal drect (O; u, v) graphquement les ensembles d équatons paramétrques : z 1 e ( 0; ) a On reconnaît la forme z z re d une équaton paramétrque de cercle, à la seule dfférence près (mas d mportance) que ne parcourt pas un ntervalle de longueur mas de longueur L ensemble est donc un dem-cercle dont le centre est le pont d affxe 1 + et de rayon, détermner et représenter b z 3 e, 0; Même prncpe mas, cette fos, l y a et quand parcourt l ntervalle [0 ; ], parcourt l ntervalle [0 ; ] permettant de décrre un cercle enter de centre d affxe 3 et de rayon NOMRES COMPLEXES 11 FC 013

12 Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal drect (O; u, v), détermner et représenter z 1 graphquement l ensemble des ponts M d affxe z tels que sot magnare pur z z 1 z 1 z z Désgnons par le pont d affxe et le pont d affxe 1 z 1 z z z z z z z z z z z magnare pur 0 ou arg (modulo ) z z z z z z z z magnare pur z z ou (M;M) (modulo ) z z Sot C le cercle de damètre [] z z O magnare pur M ou M C {; } z z z z z z magnare pur M C {} NOMRES COMPLEXES 1 FC 013