CORRIGES DES EXERCICES

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1 Ecrire, sous forme algébrique, les nombres : a. (5 i) + 3(i 4) (5 i) + 3(i 4) = 1 i + 3i 1 = + i b. (5 11i)( i) (5 11i)( i) = 1 5i i + 11i = 1 5i i 11 = 1 7i c. (1 + i) 3 (1 + i) 3 = i i + i 3 = 1 + 3i 3 i = + i d i + i 3+ 4i 3+ 4i i 6 3i+ 8i 4i 6 3i+ 8i+ 4 = = = = + i + i + i i i 4+ 1 e. f. 1 i 1+ i 1 i 1 i 1 i 1 i i 1 = = = ( i) = 1 1+ i 1+ i 1 i 1 i x yi (x R, y R*) y + xi x yi x yi y xi xy x i y i+ xyi xy x i y i xy = = = = i y+ xi y+ xi y xi y ( xi) y + x A noter que, dans un quotient, si vous remarquez que les parties réelle et imaginaire du numérateur sont proportionnelles aux parties imaginaire et réelle du dénominateur à un signe près, il est beaucoup plus rapide d effectuer la petite manœuvre suivante : x yi xi yi i( xi + y) = = = i y+ xi y+ xi y+ xi NOMRES OMPLEXES 1 P.G. 6/7

2 H Résoudre, dans, les équations : a. ( + i) z + 4 i = 4+ i 4+ i i 8+ 4i+ i ( + i) z+ 4 i = z = z = z = z = + i + i + i i L ensemble des solutions est donc + i 5 5. b. + i = 1 i z i + i + i 1+ i + i+ i 1 + i = z i z i= z i= = 1 i 1 i 1 i 1+ i z i z i z i z i 1+ 3i i z = + i z = + i = 1 i z i z i z i 1 5 L ensemble des solutions est donc + i. c. z 1 = 1 i z + z 1 z 1 = (1 i)( z+ ) z 1 = (1 i) z+ i (1 + i) z = 3 i = 1 i z + z z z 3 i 3 i 1 i 3 3i i z 1 z = z = z = 1 5 = 1 i 1+ i 1+ i 1 i z = i z + z z z 1 5 L ensemble des solutions est donc i. NOMRES OMPLEXES P.G. 6/7

3 I Résoudre, dans, les équations : a. z + z+ 1=. Le discriminant est = = 36 e nombre étant strictement négatif, l équation a deux solutions complexes conjuguées : + i i = = 1+ 3i et 1 3i. b. z + 4z+ 1=. Le discriminant est = = 68 e nombre étant strictement négatif, l équation a deux solutions complexes conjuguées : 4+ i i 17 = = + i 17 et i 17. c. z ( + 5i) z+ 1i = z ( + 5i) z+ 1i = z z 5iz+ 1i = z( z ) 5i( z ) = z ( + 5i) z+ 1i = ( z )( z 5i) = z = ou z 5i = z ( + 5i) z+ 1i = z = ou z = 5i L équation a donc deux solutions : et 5i. J Développer le produit ( z 3z 1)( z z 6) + + +, puis résoudre, dans, l équation : 4 3 z + z + 4z + 17z+ 6= z z + 3z+ 1 z z+ 6 = z z + 6z + 3z 3z + 18z+ z z z z + 3z+ 1 z z+ 6 = z + z + 4z + 17z z + z + 4z + 17z+ 6= z + 3z+ 1 z z+ 6 = 4 3 z + z + 4z + 17z+ 6= z + 3z+ 1= ou z z+ 6= L équation z positif, l équation + 3z+ 1= a pour discriminant = = 5. e nombre étant strictement z + 3z+ 1= a deux solutions réelles : 3+ 5 et 3 5 L équation z z+ 6= a pour discriminant = ( 1) = 3. e nombre étant strictement négatif, l équation z z+ 6= a deux solutions complexes conjuguées l une de l autre : 1 + i 3 et 1 i L équation z + z + 4z + 17z+ 6= a donc quatre solutions : 3+ 5, 3 5, 1 i 3 + et 1 i ) Résoudre, dans, l équation z + 4z 1=. Il s agit d une équation bicarrée (cours de première) que l on résout au moyen d un changement de variable : Z = z. 4 z + 4z 1= Z + 4Z 1= Discriminant : = ( 1) = deux racines : = 3 et = 7. 4 z + 4z 1= Z = 3ouZ = 7 z = 3ou z = 7 4 z + 4z 1 = z = 3 ou z = 3 ou z = i 7 ou z = i 7 L équation a donc quatre solutions : 3, 3, i 7 et i 7.. NOMRES OMPLEXES 3 P.G. 6/7

4 1! Montrer que l équation 3 z (1 3i) z + ( 3i) z+ 6i = admet une solution imaginaire pure. Un nombre imaginaire pur est de la forme bi avec b R. 3 bi est solution (i) b (1 3i)(i) b + ( 3i)(i) b + 6i= bi est solution bi est solution 3 b i (1 3i)( b ) + ( 3i) bi+ 6i= 3 b i+ b 3ib + bi+ 3b+ 6i= bi est solution b b ( b 3 b b ) i= Un nombre complexe n ayant qu une écriture algébrique, bi est solution b + 3b= 3 b 3b + b + 6 = bi est solution bb ( + 3) = 3 b 3b + b + 6 = bi est solution b= b= 3 ou 6= = b = 3 3 L équation z (1 3i) z + ( 3i) z+ 6i = admet une solution imaginaire pure : 3i. NOMRES OMPLEXES 4 P.G. 6/7

5 1% Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal direct (O; uv, )!!, on considère les points A,, et D d affixes respectives : a = 3+ i, b = 1+ i, c = i et d = i. Déterminer les affixes des milieux respectifs I et J des segments [A] et [D]. Que peut-on en déduire pour le quadrilatère AD? a+ c 3+ i i 1 Le milieu I de [A] a pour affixe : = = b+ d 1+ i+ i 1 Le milieu J de [D] a pour affixe : = = I Les points I et J, ayant la même affixe, sont confondus. Les diagonales du quadrilatère AD ayant le même milieu, AD est un parallélogramme. 1( Déterminer le module de chacun des nombres complexes suivants : a = 3+ i b = + i a = 3+ i = ( 3) + = b = + i = 1 + = + = c = i 5 c = i 5 = + ( 5) = 9 = 3 D A 3 4 d = i 5 5 d = i = + = + = ) Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal direct!! (O; uv, ), on considère les points A,, et D d affixes respectives : a = 7i, b = 1 i, c = 6 5i et d = 7 + 3i. alculer les distances A,, D et DA. En déduire la nature du quadrilatère AD. A A = z z = 1 i 7i = 1 8i = ( 1) + ( 8) = 65 = z z = 6 5i + 1+ i = 7 4i = 7 + ( 4) = 65 D D = z z = 7 + 3i 6 + 5i = 1+ 8i = = 65 DA = za zd = 7i 7 3i = 7 + 4i = ( 7) + 4 = 65 A = = D = DA donc AD est un losange.! Déterminer un argument de chacun des nombres complexes suivants : a = 5i a est imaginaire pur avec une partie imaginaire positive. arg( a) = (mod ) b = b est réel strictement négatif. arg( b ) = (mod ) c = 5+ 5i c = 5+ 5i = ( 5) + 5 = 5 = 5. Soit θ un argument de c cosθ= = et sin θ= = θ= (mod ) d = 1 i 3 d = 1 i 3 = 1 + ( 3) = 4 =. Soit θ un argument de d. 1 3 cosθ= et sin θ= θ= (mod ) 3 A D NOMRES OMPLEXES 5 P.G. 6/7

6 cos + isin 3@ a. Ecrire, sous forme trigonométrique et sous forme algébrique le nombre : 3 3. cos + isin 4 4 cos + isin Sous forme trigonométrique : 3 3 = cos + i sin = 1 cos + isin cos + isin Sous forme algébrique : 1 3 cos + isin + i i 3 i i + i = = = = + i cos + isin 3 + i i i 4 4 b. En déduire la valeur de cos 1 et sin On a donc cos + isin = + i. Un nombre complexe n ayant qu une écriture algébrique, cos = et sin = # Ecrire, sous forme algébrique, le nombre ( 1+ i 3) 31. On commence par écrire 1+ i 3 sous forme trigonométrique i 3 = ( 1) + 3 = d où 1+ i 3 = + i = cos + isin 3 3 On applique ensuite la formule de Moivre : i 3 = cos + isin = cos + isin Il ne reste plus qu à remarquer que = = + = + 1 ce qui montre que la mesure principale d un angle qui mesure 6 est i 3 = cos + isin = + i = + i NOMRES OMPLEXES 6 P.G. 6/7

7 3& Ecrire, sous forme trigonométrique et sous forme algébrique le nombre : 3 i a e = cos + isin = + i = + i 4 4!"#"$!"""#"""$ formealgébrique forme trigonométrique i 8 cos isin 8 i 8i!"""#"""$ b. 8e = + = ( ) = % c. forme trigonométrique forme trigonométrique formealgébrique i 4 6e = 6 cos + isin = 6 + i = 3 + 3i 4 4!"#"$!" "#"""$ formealgébrique i 5 cos isin 5 i 5i!"""#"""$ d. 5e = + = ( ) = % forme trigonométrique 3* Ecrire sous forme exponentielle les nombres : a. 3+ 3i formealgébrique 3+ 3i = = 1 = 3 d où i= 3 + i = 3 cos + isin = 3e 3 3 b. i i = + = 8 = d où. i i= i = cos + isin = e 4 4 c. 5 5i 3 5 5i 3 = = 1 = 1 d où i 3 = 1 i = 1 cos + isin = 1e 3 3 d. 7. i 7= 7 cos+ isin = 7e i 3 3 i 4 NOMRES OMPLEXES 7 P.G. 6/7

8 4$ Déterminer la nature et les éléments caractéristiques des transformations dont les écritures complexes sont : a. z' = z 3+ i On reconnaît immédiatement l écriture complexe d une translation dont le vecteur a pour affixe 3 + i. b. z' = 3z+ 1 5i On commence par chercher les éventuels points invariants : 1 5 z' = z 3z+ 1 5i= z z = 1+ 5i z = + i 1 5 La transformation possède donc un point invariant Ω d affixe + i z ' zω = 3z+ 1 5i+ i= 3z+ i= 3 z+ i = 3( z zω ) On reconnaît l écriture complexe d une homothétie de centre Ω et de rapport 3. c. z' = iz + i On commence par chercher les éventuels points invariants : + i 1+ i i+ i 1 z' = z iz + i= z + i = z(1 i) z = z = 1 i 1+ i 3 1 z' = z z = i 3 1 La transformation possède donc un point invariant Ω d affixe i i 3 i 3 z' zω = iz + i+ + i= iz + i= i z + = i z + = i z+ + i i i 1 3 i Ω Ω Ω z ' z = i z+ i+ = i z z = e z z On reconnaît l écriture complexe d une rotation de centre Ω et d angle, également appelée quart de tour direct.!! 4% Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal (O; uv, ), on considère un quadrilatère direct AD. On désigne par a, b, c et d les affixes respectives des points A,, et D. a. onstruire les points P, Q, R et S tels que les triangles AP, Q, RD et DSA soient directs, rectangles isocèles respectivement en P, Q, R et S. b. Que peut-on conjecturer quant aux droites (PR) et (QS) et aux longueurs PR et QS? Il semble que les droites soient parallèles et que les longueurs soient égales. ( a i b)(1+ i) c. Montrer que l affixe p de P vérifie : p =. Puisque le triangle AP est rectangle isocèle en P et direct, le point A est l image de dans la rotation de i centre P et d angle donc a p = e ( b p) d où : a p= i( b p), ce qui donne a p= ib ip. a i b= p(1 i) et finalement, a ib 1+ i ( a i b)(1+ i) p = = 1 i 1+ i NOMRES OMPLEXES 8 P.G. 6/7

9 En déduire, de façon analogue, les affixes q, r et s des points Q, R et S. ( b i c)(1+ i) ( c i d)(1+ i) ( d i a)(1+ i) q =, r = et s =. s q d. Montrer que = i. onclure. r p ( d i a)(1+ i) ( b i c)(1+ i) s q (1 + i)( d ia b+ i c) d ia b+ ic = = = r p ( c i d)(1+ i) ( a i b)(1+ i) (1 + i)( c id a+ i b) c id a+ ib s q i d ia+ i b+ ic i ( i d a+ i b+ c) = = = i r p c id a+ ib c id a+ ib On en déduit : QS s q = = i = 1 d où QS = PR. Les longueurs sont bien égales. PR r p """! """! s q (PR ;QS) = arg = arg(i) = (modulo ). Les droites sont bien perpendiculaires. r p NOMRES OMPLEXES 9 P.G. 6/7

10 4* Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal direct (O; uv, ) A et d affixes respectives : a = 1 i et b = + i.!!, on considère les points Déterminer les affixes c et d des points et D tels que le quadrilatère AD soit un carré indirect. Observons un carré AD indirect : est l image de A par la rotation de centre et d angle. A L écriture complexe de cette rotation étant i i z ' b = e ( z b), on a : c b = e ( a b) d où c= i( a b) + b= i(1 i + i) + i = 1+ 4i D """! """! Enfin AD est un carré donc un parallélogramme. On a donc D = A d où d c = a b. On en tire aussitôt : d = a b+ c= 1 i + i i = 4 + i. D A NOMRES OMPLEXES 1 P.G. 6/7