Le théorème du point xe. Applications

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1 49 Le théorème du point xe. Applications 1 Comme dans le titre de cette leçon, le mot théorème est au singulier, on va s'occuper du théorème du point xe de Picard qui a de nombreuses applications. Le cas particulier des fonctions d'une variable réelle et à valeurs réelles est étudié en détails au paragraphe Le théorème du point xe de Picard (E, ) est un espace de Banach et F un fermé non vide de E. Dénition 49.1 On dit qu'une application f : F E est strictement contractante s'il existe une constante λ [0, 1[ telle que : On dit aussi que f est λ-contractante. (x, y) F F, f (x) f (y) λ x y Il est facile de vérier qu'une application contractante est uniformément continue. Exemple 49.1 Du théorème des accroissements nis on déduit que si [a, b] est un segment non réduit à un point et f une fonction à valeurs réelles qui est continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[ et telle que sup f (x) = λ < 1, elle est alors λ-contractante. x I Dénition 49.2 Soit f une application de F dans F. Si x est un élément de F, on appelle orbite de x suivant f la suite (x n ) n N d'éléments de F dénie par x 0 = x et x n+1 = f (x n ) pour tout n N. La condition f (F ) F est essentielle pour dénir les orbites suivant f. Théorème 49.1 (du point xe) Si f : F F est une application λ-contractante avec λ [0, 1[, elle admet alors un unique point xe α dans F et ce point xe est la limite de toute toute orbite (x n ) n N suivant f. De plus, une majoration de l'erreur d'approximation de α par les x n est donnée par : 1. Version du 28/02/2013 n N, α x n λn 1 λ x 1 x

2 1226 Le théorème du point xe. Applications Démonstration. Pour l'existence du point xe, on montre que la suite (x n ) n N Cauchy dans l'espace de Banach (E, ). Pour q > p 0, on a : est de x q x p x q x q x p+1 x p avec pour tout k 1 : Ce qui nous donne : x k+1 x k = f (x k ) f (x k 1 ) x q x p ( q 1 k=p λ x k x k 1 λ k x 1 x 0 ) λ k x 1 x 0 = λp (1 λ q p ) 1 λ λp 1 λ x 1 x 0 p + 0 x 1 x 0 puisque λ [0, 1[. La suite (x n ) n N est donc de Cauchy dans (E, ) et en conséquence, elle converge vers un élément α F puisque E est complet et F fermé dans E. Avec la continuité de f on déduit que f (α) = α, c'est-à-dire que α est un point xe de f. En faisant tendre q vers l'inni dans la majoration précédente (à p xé) on obtient la majoration de l'erreur : α x p λp 1 λ x 1 x 0 Si β F est un autre point xe de f, on a alors : et nécessairement α = β puisque λ [0, 1[. α β = f (α) f (β) λ α β Remarque 49.1 Une application f : F F telle que f (x) f (y) < x y pour tous x y dans F n'a pas nécessairement de point xe dans F comme le montre l'exemple de f (x) = x + 1 sur F = [1, + [. Mais dans le cas où F est compact on a le résultat suivant. x Théorème 49.2 Soient K un compact d'un espace vectoriel normé (E, ) (non nécessairement complet) et f : K K telle que : (x, y) K 2, (x y f (x) f (y) < x y ) La fonction f admet un unique point xe dans K et ce point xe est limite de toute orbite suivant f. Démonstration. La fonction f qui est lipschitzienne est en particulier continue. L'application x f (x) x étant continue sur le compact K, elle est bornée et atteint ses bornes. En particulier, il existe un élément α K tel que : f (α) α = inf f (x) x x K

3 Le théorème du point xe de Picard 1227 Si f (α) α, on a alors alors f (α) f (f (α)) < α f (α) avec f (α) K, ce qui est contradictoire avec la dénition de α. On a donc f (α) = α. S'il existe un autre point xe de f, β α, on a alors : α β = f (α) f (β) < α β ce qui est impossible. En conclusion, f admet un unique point xe dans K. Soit (x n ) n N une suite de points de K dénie par : { x0 K n N, x n+1 = f (x n ) Si il existe n 0 N tel que x n0 = α, alors la suite est stationnaire, donc convergente. On suppose donc que x n a pour tout n. On a alors 0 < x n+1 α = f (x n ) f (α) < x n α pour tout n, c'est-à-dire que la suite ( x n α ) n N est strictement décroissante minorée par 0, elle est donc convergente vers un réel d 0. La suite (x n ) n N étant dans le compact K, on peut en extraire une sous-suite ( x φ(n) qui converge vers β K. On a alors : )n N ( ) f (β) α = lim f xφ(n) α = lim xφ(n)+1 α = d n + n + et β α entraîne d = α f (β) = f (α) f (β) < α β = d, ce qui est impossible. On a donc β = α et d = 0, c'est-à-dire que lim x n = α. n + Remarque 49.2 Le résultat précédent est faux si on suppose seulement que K est complet comme le montre l'exemple de la fonction f : x x + 1 sur [1, + [. x Corollaire 49.1 Soit K un compact convexe dans un espace normé (E, ) (non nécessairement complet) et f : K K telle que : (x, y) K 2, f (x) f (y) x y La fonction f admet alors un point xe dans K. Démonstration. On se xe un point a dans K et on dénit la suite de fonctions (f n ) n 1 sur K par : ( ( 1 n 1, x K, f n (x) = f n a ) ) x n Cette suite est bien dénie du fait la convexité de K, chaque fonction f n est à valeurs dans K et pour x, y dans K, on a : ( f n (x) f n (y) 1 1 ) x y n Pour n 1 la fonction f n est donc strictement contractante de K dans K avec K compact dans E, elle admet donc un unique point xe x n K. De cette suite (x n ) n 1 dans le compact K on peut extraire une sous-suite ( x φ(n) qui converge vers un élément α K. En notant )n N g n = f φ(n), et y n = x φ(n), on a pour tout n N : f (α) g n (y n ) f (α) g n (x) + g n (α) g n (y n )

4 1228 Le théorème du point xe. Applications avec : f (α) g n (α) = ( ( 1 f (α) f a φ(n) φ(n) ) α) 1 φ(n) α a g n (α) g n (y n ) = ( ) f φ(n) (α) f φ(n) xφ(n) ( 1 n) 1 α x φ(n) ce qui entraîne que lim f ( ) φ(n) xφ(n) = f (α). Tenant compte du fait que xφ(n) est point xe ( n + ) de f φ(n), on a f φ(n) xφ(n) = xφ(n) et f (α) = lim x φ(n) = α, c'est-à-dire que α est point xe n + de f. Il peut arriver que la fonction f ne soit pas strictement contractante mais que l'une de ces itérées le soit. Dans ce cas on a encore existence et unicité du point xe de f qui est limite de toute suite d'approximations successives. Ce résultat est utilisé par exemple dans la démonstration du théorème de Cauchy-Lipschitz. Lemme 49.1 Soient p N {0} et (x n ) n N une suite de points dans un espace vectoriel normé (E, ) telle que pour tout r {0,, p 1} la suite extraite (x jp+r ) j N converge vers le même α E. La suite (x n ) n N converge alors vers α. Démonstration. Soit ε > 0. Pour tout r {0,, p 1}, on peut trouver un entier j r tel que : j j r, x jp+r α < ε On note j ε = max j r. Tout entier n N s'écrit de manière unique n = jp + r avec j N, 0 r p 1 r {0,, p 1} et pour j j ε on a x n α < ε. On déduit donc que : n (j ε + 1) p, x n α < ε On a donc ainsi prouvé que la suite (x n ) n N converge vers α. Théorème 49.3 Si f : F F est une application telle que l'une des itérées f p = f f } {{ } p fois soit strictement contractante, elle admet alors un unique point xe dans F limite de toute orbite suivant f. Démonstration. L'application f p est strictement contractante sur le fermé F dans l'espace complet E, elle admet donc un unique point xe α F. De f p (α) = α on déduit que f p (f (α)) = f (f p (α)) = f (α) et f (α) est aussi point xe de f p. On a donc f (α) = α du fait de l'unicité du point xe de f p. L'application f admet donc un point xe dans F. En considérant que tout point xe de f est aussi point xe de f p, on déduit que ce point xe est unique dans F. Si (x n ) n N est dénie par x 0 E et x n+1 = f (x n ) pour tout n N, on a alors pour tout r {0,, p 1} et tout j N : x jp+r = f jp+r (x 0 ) = (f p ) j (f r (x 0 )), c'est-à-dire que (x jp+r ) j N est l'orbite f r (x 0 ) suivant f p. On a donc lim x jp+r = α pour tout j + r {0,, p 1} ce qui équivaut à dire que lim x n = α. n + Le résultat suivant est utilisé pour prouver le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire. On désigne par K le corps des réels ou des complexes et pour tout segment réel [a, b] non réduit à un point, on note E = C 0 ([a, b], K n ) l'espace vectoriel des fonctions continues de [a, b] dans K n.

5 Le théorème du point xe de Picard 1229 Muni de la norme de la convergence uniforme : f f = sup f (x) x [a,b] où est une quelconque norme sur K n (elles sont toutes équivalentes), cet espace est un espace de Banach (théorème 54.2). Théorème 49.4 Soient x 0 [a, b], K : [a, b] 2 K n, h : [a, b] K n deux applications continues et φ : E E dénie par : y E, x [a, b], φ (y) (x) = K (x, t) y (t) dt + h (x) x 0 Il existe un entier p strictement positif tel que l'application φ p = φ φ soit contractante. } {{ } p fois En conséquence, l'application φ admet un unique point xe dans E. Démonstration. Il est clair que pour toute fonction y continue sur [a, b] la fonction φ (y) est également continue sur [a, b]. Pour y, z dans E et x dans [a, b] on a : x φ (y) (x) φ (z) (x) = K (x, t) (y (t) z (t)) dt x 0 x λ y (t) z (t) dt x 0 où λ = x λ y z x x 0 sup K (x, t). Par récurrence sur k 1, on déduit que : (x,t) [a,b] 2 x [a, b], φ k (y) (x) φ k (z) (x) (λ x x 0 ) k y z k! En eet on vient de voir que le résultat est vrai pour k = 1 et en le supposant acquis pour k 1, on a pour tout x [a, b] : φ k+1 (y) (x) φ k+1 (z) (x) x λ φ k (y) (t) φ k (z) (t) dt x 0 λ λk k! y z x t x 0 k dt x 0 avec : x t x 0 k dt = x x 0 k+1 x 0 k + 1 Ce qui donne : φ k+1 (y) (x) φ k+1 (z) (x) (λ x x 0 ) k+1 y z (k + 1)! On déduit alors que : k 1, φ k (y) φ k (z) (λ (b a))k k! y z (λ (b a)) k et, avec lim = 0, on déduit que pour k 1 assez grand l'application φ k est k + k! contractante. Le théorème du point xe itéré nous dit alors que φ admet un unique point xe dans E.

6 1230 Le théorème du point xe. Applications 49.2 Applications à la résolution d'équations numériques C'est le cas des fonctions d'une variable réelle à valeurs réelles qui est étudié au paragraphe On a en particulier l'étude des points xes attractifs et répulsifs. Dans les paragraphes 58.4 et 58.5 les méthodes de la sécante et de Newton y sont étudiées en détails Méthodes itératives de résolution des systèmes linéaires On se donne un entier n 2, une matrice A GL n (K), un vecteur b K n, où K = R ou C et on s'intéresse à la résolution du système linéaire Ax = b. En écrivant la matrice A sous la forme A = M N, où M est facilement inversible, la résolution du système Ax = b se ramene au problème de point xe qui consiste à trouver x dans K n solution de x = M 1 Nx + M 1 b. Dénition 49.3 Si A GL n (K), on dit alors que la méthode itérative associée à la décomposition ) A = M N avec M inversible est convergente si pour tout x (0) K n, l'orbite associée ( x (k) est convergente. k N Remarque 49.3 Si une orbite ( x (k)) k N x du système Ax = b. est convergente, c'est nécessairement vers la solution Pour toute matrice M M n (K), on désigne par Sp (M) l'ensemble des valeurs propres complexes de M et par ρ (M) = λ son rayon spectral. max λ Sp(M) On rappelle que pour toute norme sur M n (K) induite par une norme vectorielle sur K n (i. e. M = sup Mx ), on a ρ (M) M. x =1 Théorème 49.5 Soient A = M N une matrice inversible avec M inversible et ρ (M 1 N) le rayon spectral de la matrice M 1 N. La méthode itérative associée à la décomposition A = M N converge si et seulement si ρ (M 1 N) < 1. Démonstration. On pose B = M 1 N et on suppose que ρ (B) < 1. En écrivant que l'équation Ax = b équivaut à x = Bx + M 1 b, on déduit que : k N, x (k+1) x = B ( x (k) x ) = B k+1 ( x (0) x ) Avec ρ (B) < 1 on déduit que lim k + Bk = 0 (théorème 16.12) et en conséquence la suite ( x (k)) k N converge vers x, quelle que soit la valeur initiale x (0). Réciproquement si la méthode associée à la décomposition A = M N est convergente, alors pour tout vecteur y (0) R n la suite ( y (k)) k N dénie par y(k+1) = By (k) pour tout entier k est convergente vers le vecteur nul (unique solution de Ax = 0) ce qui équivaut à ρ (B) < 1 (théorème 16.12). Remarque 49.4 S'il existe une norme matricielle telle que B < 1, alors la méthode itérative correspondante est convergente puisque ρ (B) B.

7 Méthodes itératives de résolution des systèmes linéaires 1231 Pour toute norme matricielle induite par une norme vectorielle, on a : x (k) x = B k ( x (0) x ) B k x (0) x On peut donc utiliser B k pour avoir une idée de la vitesse de convergence d'une méthode itérative. De manière plus précise, on peut remarquer que : B k y (0) y (k) k N, B k = sup y (0) R n {0} k N, B k = y (0) sup x (0) R n {x} = sup y (0) R n {0} y (0) la suite ( y (k)) étant dénie par k N y(k+1) = By (k). Ce qui peut aussi s'écrire, en notant x la solution de Ax = b : x (k) x Méthode de Jacobi x (0) x En notant A = ((a ij )) 1 i,j n et en supposant que tous les coecients diagonaux de A sont non nuls, on choisit M = D matrice diagonale dénie par d ii = a ii pour tout i = 1,, n. L'algorithme de construction des x (k) est alors le suivant : n x (k+1) i = 1 a ii j=1 j i a ij x (k) j + b i (i = 1,, n) Dans le cas particulier des matrices à diagonale strictement dominante (dénition 16.4), on a le résultat suivant. Théorème 49.6 Si la matrice A est à diagonale strictement dominante, alors la méthode de Jacobi converge. Démonstration. Une matrice à diagonale strictement dominante a tous ses termes diagonaux non nuls, on peut donc utiliser la méthode de Jacobi. Si J = D 1 N, avec A = D N, on a : n et la méthode de Jacobi est convergente. J = max 1 i n Méthode de Gauss-Seidel j=1 j i a ij a ii < 1 Là encore, on suppose que tous les coecients diagonaux de A sont non nuls. On choisit pour matrice M le triangle inférieur de A. C'est-à-dire que M est dénie par : { mij = 0, pour 1 i < j n m ij = a ij, pour 1 j i n En notant A = M N, le vecteur x (k+1) est solution du système triangulaire inférieur Mx (k+1) = Nx (k) + b. D'où l'algorithme de Gauss-Seidel : a ii x (k+1) i i 1 = j=1 a ij x (k+1) j n j=i+1 a ij x (k) j + b i (i = 1,, n)

8 1232 Le théorème du point xe. Applications Théorème 49.7 Si la matrice A est à diagonale strictement dominante, alors la méthode de Gauss-Seidel converge. Démonstration. Une matrice à diagonale strictement dominante a tous ses termes diagonaux non nuls, on peut donc utiliser la méthode de Gauss-Seidel. Soient A à diagonale strictement dominante, G = M 1 N, λ C une valeur propre de G et x C n un vecteur propre non nul associé. On a alors Nx = λmx, c'est-à-dire : n a ij x j = λ i a ij x j (i = 1,, n 1) j=i+1 0 = λ n a nj x j j=1 Si on suppose que λ 1, en prenant i tel que x = x i, on déduit que : j=1 λ a ii j i a ij λ ce qui contredit le fait que la matrice A est à diagonale strictement dominante. Le rayon spectral de G est donc strictement inférieur à 1 et la méthode de Gauss-Seidel converge. Théorème 49.8 Si la matrice A est réelle symétrique dénie positive, alors la méthode de Gauss-Seidel converge. Démonstration. Une matrice symétrique dénie positive a tous ses termes diagonaux strictement positifs, on peut donc utiliser la méthode de Gauss-Seidel. Soient A symétrique dénie positive, λ C une valeur propre de G = M 1 N et x C n un vecteur propre non nul associé. En écrivant A = D + E + F, où D est la diagonale de A, E le triangle inférieur strict, F le triangle supérieur strict et en notant le produit scalaire hermitien canonique de C n, on a : x Ax = x Dx + x Ex + x F x (49.1) Puis avec F x = λ (Dx + Ex) (M = D + E, N = F), on déduit que : donc λ 1 (puisque x Ax > 0) et : x Ax = ( 1 λ ) ( x Dx + x Ex ) 1 x Ax = x Dx + x Ex (49.2) 1 λ Par conjugaison complexe de (49.1), en considérant que A et D sont hermitiennes et que t E = F on déduit que : 1 x Ax = x Dx + x F x (49.3) 1 λ En faisant (49.2) + (49.3) (49.1), on en conclut que : 1 λ 2 2 x Ax = x Dx 1 λ Avec x Ax > 0 et x Dx > 0 (A et D sont dénies positives) on déduit que λ < 1. Le rayon spectral de G est donc strictement inférieur à 1 et la méthode de Gauss-Seidel converge.

9 Systèmes diérentiels linéaires à coecients constants et exponentielle de matrice 1233 Remarque 49.5 De manière générale, quand les méthodes de Jacobi et de Gauss-Seidel sont convergentes il vaut mieux choisir celle de Gauss-Seidel. Mais il se peut que la méthode de Gauss-Seidel diverge alors que celle de Jacobi converge comme le montre l'exemple de la matrice A = Pour la méthode Jacobi toutes les valeurs propres de J sont nulles et pour la méthode de Gauss Seidel, on a G = avec les valeurs propres 0, 0.35 et Systèmes diérentiels linéaires à coecients constants et exponentielle de matrice Voir le paragraphe 56.1 où l'on montre comment le théorème du point xe itéré permet de dénir l'exponentielle matricielle t e At comme solution du système diérentiel X (t) = AX (t) Systèmes diérentiels linéaires à coecients non constants Voir le paragraphe Équations diérentielles non linéaires Voir le paragraphe 54.2.

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