Semestre 5, Année SESSION 1 UE : MHT512. Texte (en italiques) et corrigé (en roman)

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1 Semesre 5, Année SESSION UE : MHT52 Dae : 8 Décembre 28, 4h-7h Texe (en ialiques) e corrigé (en roman) Durée : 3h Quesion de cours. Enoncer le héorème de convergence dominée de Lebesgue dans le conexe absrai (sur un espace équipé d une ribu e d une mesure, les foncions éan à valeurs dans R). Si (f n ) n es une suie de foncions (, T )-(R, B(R)) mesurables convergean µ presque parou vers une foncion (, T )-(R, B(R)) f, avec la clause de dominaion n N, ω, f n (ω) g(ω), où g : + es une foncion inégrable par rappor à la mesure µ, f e oues les foncions f n le son aussi e on a f n dµ f dµ. lim n + Exercice (inégraion héorique). Soi (, T, µ) un espace mesuré e (f n ) n N une suie de foncions de dans R, oues (, T )-(R, B(R)) mesurables. On suppose (f n (ω)) 2 dµ(ω) < e f n (ω)f m (ω)dµ(ω) m,n N,m n. n Monrer que la suie ( f n ) n es de Cauchy dans L 2 R (, T,µ) e en déduire (en cian précisémen les héorèmes auxquels il es fai référence) qu il exise une foncion f : R, (, T )-(R, B(R)) mesurable, elle que f L 2 R (, T,µ) e qu une suie exraie (f nk ) k de la suie (f n ) n converge simplemen vers f µ-presque parou sur. La suie ( f n ) n converge- elle dans L 2 R (, T,µ)? Si oui, vers quel élémen? L exercice, el qu il éai posé, n avai guère d inérê. En voici la soluion cependan. On vérifie ou de suie en développan le carré sous l inégrale e en uilisan la linéarié de la prise d inégrale que si n > m (f n f m ) 2 dµ fn 2 dµ + fm 2 dµ (les inégrales de oues les foncions f k f l avec k l éan nulles). Comme la série de erme général f2 n dµ es convergene, la suie ( ) fn 2 dµ n

2 end vers e bien sûr la suie (f n ) n es de Cauchy dans L 2 (, T,µ). D après le héorème de Riesz-Fischer qui affirme que ce espace es un espace normé comple lorsqu on le muni de sa norme de Minkowski 2, on peu affirmer que la suie ( f n ) n converge dans L 2 R (, T,µ) vers un élémen f. On noe ici que le recours au héorème de Riesz-Fischer éai inuile, puisque la suie (f n ) n converge bien sûr vers f! Un avaar de la preuve de ce héorème assure aussi que l on peu exraire de la suie de représenans (f n ) n une sous-suie (f nk ) k convergean µ-presque parou vers un représenan de f. La suie ( f n ) n converge, elle, dans L 2 R (, T,µ) vers f. Remarque. En fai, la quesion aurai éé plus inéressane (e c es comme cela qu elle aurai dû êre posée) si l on avai considéré au lieu de la suie ( f n ) n la suie ( F n ) n des sommes parielles F n : f + + f n. La suie ( F n ) n es de Cauchy car (F n F m ) 2 dµ n km+ f 2 k dµ si n > m (cee fois l hypohèse es vraimen uile) e que la suie des reses de la série de erme général f k 2 2 end vers. On peu ici embrayer comme auparavan avec le héorème de Riesz-Fischer, dire que ( F n ) converge vers un élémen F de L 2 (, T,µ) e affirmer que l on peu exraire de la suie de représenans (F n ) n une sous-suie (F nk ) k convergean µ- presque parou vers un représenan de F. La suie ( f n ) n converge, elle, dans L 2 R (, T,µ) vers F. La quesion a éé bien sûr noée elle qu elle éai (malheureusemen) posée. Problème (inégraion praique). Parie I. Dans oue cee parie, p désigne un enier supérieur ou égal à 2. On rappelle que log( ) log( ) k k k + [, [... Soi f :], [ R une foncion mesurable sur ], [ (par rappor à la ribu borélienne), elle que p log( ) f() d < +. ( ) ],[ Monrer (en le jusifian par le héorème adéqua) que, pour ou k N, la foncion ], [ (f()) p k es inégrable sur ], [ e que l on a k f() p k d < +. k + ],[ 2

3 D après le héorème de convergence monoone de Beppo-Levi, on a ],[ p log( ) f() d ],[ lim N + k f() p k k + lim N + ( N k k ) d k + N k f() p d k + ],[ k f() p d <, d où le résula (puisque si une somme de nombres posiifs es finie, ous ces nombres son finis)..2. Monrer, en uilisan convenablemen l inégalié de Hölder (que l on rappellera) que l on a ( ) p ( ) p ( ) f() k d f() p k d. ],[ k + ],[ En déduire que la foncion ],[ (, 2,..., p ) ], [ p p f( j ) j p j f( ) f( p ) ( p ) j es inégrable sur ], [ p (par rappor à la mesure de Lebesgue sur R p ) e que p j ],[ p p f( j ) d d 2 d p j j ( k ],[ f() k d) p. ( ) Si ϕ,ψ son deux foncions mesurables posiives [, + ] e p, on a ( ) /p ( ) /p ϕψdµ ϕ p dµ ψ p dµ. Dans le cas pariculier ici, ], [, dµ d, ϕ() f() k/p e ψ() k/p (/p + /p ) ; l inégalié de Hölder donne donc, après élévaion à la 3

4 puissance p : ( ],[ f() k d) p ( ) p/p k d f() p k d ],[ ],[ ( ) p f() p k d. k + ],[ On reconnaîra dans la suie de la quesion le débu du DM2 (on prend simplemen ici p 2 au lieu de p 2). Pour ou,..., p dans [, [, on a (expression de la somme de la série géomérique de raison... p ) p ( p ) k. k Il résule du héorème de Fubini-Tonnelli que p f( j ) j ],[ p p d d 2 d p ],[ p k ( k k k ],[ j j p ( ) f( j ) ( p ) k d d p j ],[ p p f( j ) j ) p f() k d k p k j d...d p j ) p f() (k + ) (],[ k d p ( p f() d) k < + k + ],[ d après les inégaliés éablies précédemmen dans cee quesion, le résula de (.) e le fai que p 2, i.e p. Comme la clause d applicaion du héorème de Fubini es remplie (les inégaliés ci-dessus le monren), on peu reirer les valeurs absolues dans les inégrans ci-dessus e le héorème de Fubini (appliqué d abord avec la mesure produi de la mesure de Lebesgue sur ], [ p e de la mesure de décompe sur N, puis ensuie avec la mesure produi sur ], [ p ) nous donne bien la formule ( ). 4

5 .3. Soien x e y des nombres réels. Monrer que la foncion f f x,y : ], [ x ( ) y vérifie la condiion ( ) si e seulemen si (x,y) apparien à l ouver U : {(x,y) R 2 ; x > /p, y > /p}. Au voisinage de, comme on a log( ), dire que la foncion f x,y () p log( ) / es inégrable au voisinage de équivau, d après le crière de Riemann, à dire que px >, soi x > /p. Comme on a aussi log( ) O( ǫ ) au voisinage de pour ou ǫ >, l inégrabilié au voisinage de de f x,y () p log( ) / équivau, oujours d après le crière de Riemann, à la condiion py >, soi y > /p. Le fai que f x,y vérifie la condiion ( ) équivau donc bien à x > /p e y > /p, soi (x,y) U..4. Soi k N. Vérifier que la foncion Φ k : (x,y) U x+k ( ) y d es une foncion de classe C sur U e que, pour ou (x,y) dans U, Φ k x (x,y) x+k ( ) y log d, Φ k y (x,y) x+k ( ) y log( )d. Pour ou (x,y) U, pour ou ], [, on a x+k ( ) y log (/p)+k ( ) /p log x+k ( ) y log( ) (/p)+k ( ) /p log( ). () D aure, par, pour fixé dans ], [, la foncion (x,y) U x+k ( ) y es de classe C dans U, de dérivées parielles par rappor à x e y les foncions (x,y) x+k ( ) y log e (x,y) x+k ( ) y log( ). Du fai des clauses de dominaion () e de ce que les deux foncions dominanes ], [ /p+k ( ) /p log ], [ /p+k ( ) /p log( ) 5

6 son inégrables sur ], [ (d après le crière de Riemann e le fai que log O( ǫ ) au voisinage de e log( ) O(( ) ǫ ) au voisinage de pour ou ǫ > ), le héorème de dérivaion des inégrales foncions de plusieurs paramères (ici deux) assure que Φ k es de classe C sur U e que l on a Φ k x (x,y) x+k ( ) y log d, Φ k y (x,y) x+k ( ) y log( )d..5. En uilisan convenablemen l inégalié de Hölder, monrer que si (u k ) k N e (v k ) k N son dans l p R (N), alors ( ) /p ( ) /p u k v k p u k p v k p < +. k k En déduire que, pour ou (x,y) U, k k ( x+k ( ) y p log d x+k ( ) d) y < +. Il suffi, pour obenir la première inégalié demandée, d appliquer l inégalié de Hölder avec p e p en remarquan que /p + /p, soi p p/(p ), d où ( v k p ) p v k p. Ensuie, on remarque que la foncion x ( ) y log vérifie oujours, lorsque (x,y) U, la condiion ( ) (car log O( ǫ ) pour ou ǫ > ). Si l on pose u k : ( x ( ) y ) log ) k d, il résule de la quesion (.2) que la suie (u k ) k es dans l p R (N) ; comme f x,y vérifie aussi la condiion ( ), il en es de même de la suie (v k ) k, où v k : ( x ( ) y ) k d x+k ( ) y d. Pour obenir la seconde affirmaion de cee quesion, il suffi donc d appliquer l inégalié que l on vien juse d éablir à parir de l inégalié de Hölder avec précisémen ce choix pariculier de u k e v k. 6

7 .6. Vérifier, pour ou (x, y) U, l idenié ( )( x+k ( ) y log d k (log ) ],[ p ( p ) x ( p j j j ) p x+k ( ) y d ) y ( j ) p d...d p. j j Avec comme choix pariculier f f x,y ((x,y) U), le membre de droie de la formule ( ) s écri (Φ k (x,y)) p. La dérivée parielle par rappor à x de k (x,y) (Φ k (x,y)) p es ( (x,y) p ) x+k ( ) y log d ( p x+k ( ) d) y. On fixe y > /p. On peu majorer en module, pour ou x el que x > (/p) + ǫ, cee quanié par ( w k (ǫ) ) (/p)+ǫ+k ( ) y log d ( p (/p)+ǫ+k ( ) d) y. comme k w k(ǫ) < + (d après le second résula de la quesion précédene, avec x y (/p)+ǫ), le héorème de dérivaion erme à erme des séries de foncions assure que x (Φ k (x,y)) p k adme une dérivée par rappor à x dans ] (/p) + ǫ, + [, égale à x p ( )( p x+k ( ) y log d x+k ( ) d) y. k Comme ǫ es arbiraire, ceci es vrai sur ] /p, + [. D aure par, pour ou (,..., p ) (], [) p, la foncion x ( p ) x ( p ) y j ( j ) j j j j p 7

8 es de classe C sur ] /p, + [ e a pour dérivée log( p ) ( p ) x ( p ) y j ( j ) j j p. j Pour x > (/p) + ǫ, cee expression es majorée en module pour ou (,..., p ) (], [) p par Ψ ǫ (,..., p ) : log( p ) j j ( p ) (/p)+ǫ ( p ) y j ( j ) p j j j Or, comme log( p ) C ǫ ( p ) ǫ/2 sur ], [ p, la foncion Ψ ǫ es inégrable sur ], [ p (voir la quesion (.)). On peu donc uiliser le héorème de dérivaion des inégrales foncions d un paramère qui assure que la foncion x ( p j ],[ p j ) x ( p j j j p es dérivable sur ] (/p) + ǫ, + [, de dérivée x p ( p (log( p )) j ],[ p p ( p (log ) j ],[ p ) y ( j ) j ) x ( p j j j ) x ( p j j p j j ) y ( j ) d...d p ) y ( j ) d...d p d...d p puisque log( p ) p j log j e que le rese de l expression sous l inégrale es une foncion symérique de,..., p. Comme ǫ es arbiraire, ceci rese vrai pour x ] /p, + [. La formule ( ) implique donc, si l on égale les dérivées des deux membres par rappor à x, l idenié demandée. Remarque. On pouvai aussi prouver cee idenié direcemen (sans la déduire de ( )) en raisonnan excaemen comme à la quesion (.2). 8

9 Parie II. On suppose dans cee parie que p 2 e l on considère deux foncions mesurables f de g de ], [ dans R vérifian oues les deux la condiion ( ). 2.. Vérifier (en adapan ce qui a éé fai pour obenir la formule ( ) à la quesion (.2)) la formule f()g(s) ],[ s dds ( 2 k ],[ )( ) f() k d g() k d. ],[ En appliquan le héorème de Fubini-Tonnelli (avec la mesure de Lebesgue sur ], [ 2 e la mesure de décompe), on a f() f(s) ],[ s 2 dds k ],[ 2 f() g(s) k s k dds. En uilisan le héorème de Fubini-Tonnelli dans chaque erme de la somme de droie, il vien f() f(s) ],[ s 2 dds ( k ],[ )( ) f() k d g() k d. ],[ Comme les deux suies ( ) f() k d ],[ k e ( ],[ ) g() k d k son dans l 2 (R) du fai de la quesion (.2) (p 2 ici), on dédui de l inégalié de Hölder (en fai ici Cauchy-Schwarz) que f() f(s) ],[ s 2 dds ( k ],[ )( ) f() k d g() k d < +. ],[ Ceci implique la validié de la clause d applicaion du héorème de Fubini e auorise donc à écrire les formules en reiran les valeurs absolues. On obien ainsi la formule demandée On noe F e G les foncions de ], [ dans R définies respecivemen par F(u) f(e u ) e G(u) g(e u ) pour u ], [. Monrer (en cian le héorème invoqué) que l on a f() k d F(u)e (k+)u du, g() k d G(u)e (k+)u du. ],[ ], [ 9 ],[ ], [

10 Il suffi d appliquer dans les deux cas la formule de changemen de variables dans les inégrales de Lebesgue en uilisan le changemen de variables suivan : u ], [ e u ], [ (qui es un C difféomorphisme enre ], [ e ], [, don le module du jacobien es u e u ) Vérifier que pour presque ou u dans ], [, la foncion v χ [,u] (v)f(v)g(u v) es inégrable sur ], [ e que la foncion H définie par H(u) : u F(v)G(u v)dv, u ], [ vérifie, pour ou k N, ], [ H(u) e (k+)u du < + e ( )( ) H(u)e (k+)u du F(u)e (k+)u du G(u)e (k+)u du. ], [ ], [ ], [ Il s agi là de la reprise d un exercice en ligne sur l un des guides d acivié sous Ulysse. En uilisan le héorème de Fubini-Tonnelli, l invariance de la mesure de Lebesgue par ranslaion e le fai que l exponenielle réalise un isomorphisme enre (R, +) e (], [, ), il vien, pour ou k N, [ ] χ [,u] (v) F(v) G(u v) dv e (k+)u du ], [ ], [ ], [ ], [ ], [ ( ( ], [ ],[ [ [ ], [ ], [ ]v, [ ] χ [,u] (v) G(u v) e (k+)u du F(v) dv ] G(u v) e (k+)u du F(v) dv [ ] G(u v) e (k+)(u v) du e (k+)v F(v) dv ]v, [ [ ] G(u) e (k+)u du e (k+)v F(v) dv ], [ ) ( ) G(u) e (k+)u du F(v) e (k+)v du ], [ ) ( ) f() k d g() k d < +. ],[ On en dédui donc que la foncion [ ] u ], [ χ [,u] (v) F(v) G(u v) dv ], [ e (k+)u

11 es finie pour presque ou u ], [ (d après par exemple l inégalié de Markov), donc que c es aussi le cas pour la foncion u ], [ χ [,u] (v) F(v) G(u v) dv. ], [ Cela prouve la première asserion. La seconde s obien en reiran les valeurs absolues encadran F e G dans les ideniés ci-dessus, ce qui es licie car la clause d applicaion du héorème de Fubini a éé vérifiée remplie On pose, pour ], [, h() H( log ); vérifier, pour ou k N, ( )( ) h() k d f() k d g() k d ],[ ],[ (on monrera ou d abord que l inégrale de gauche e convergene). La convergence de l inégrale de gauche résule de la formule de changemen de variables dans les inégrales (oujours le changemen de variables e u, i.e u log ), qui perme d écrire h() k d H(u) e (k+)u du <. ],[ ], [ La formule demandée dans cee quesion résule ensuie immédiaemen de celle éablie à la quesion précédene, combinée avec les formules prouvées à la quesion (2.2) Déduire de la quesion (2.) la formule f()g(s) ],[ s dds 2 Monrer h() f(τ)g(/τ) dτ τ ],[ ],[ h() d. ( ) ], [ e rerouver direcemen la formule ( ) en uilisan la formule de changemen de variables. Le membre de droie de cee formule es égal, puisque la suie ( ) h() k d ],[ es dans lr (N) grâce à l inégalié de Cauchy-Schwarz puisque ( ) ( ) h() k d f() k d g() k d ],[ ],[ ],[ k

12 d après ce qui a éé vu à la quesion (2.3), à k ],[ h() k d. Cela résule du héorème de Fubini appliqué avec la mesure de Lebesgue sur ], [ e la mesure de décompe, vu que /( ) k k sur [, [. Il suffi ensuie juse de combiner les résulas obenus aux quesions (2.) e (2.4) pour obenir la formule ( ). Si dans l inégrale double (convergene au sens de Lebesgue) figuran au membre de gauche de ( ), on effecue le changemen de variables (,s) (,s) (,u), le domaine ], [ 2 devien V : {(,u) ], [ 2 ; u } e la formule de changemen de variables donne ],[ 2 f()g(s) s dds En uilisan le héorème de Fubini, on rouve Si l on pose V f()g(u/) u ddu h() ],[ V [ u f()g(u/) u f(τ)g(/τ) dτ τ ddu f()g(u/) d ] du u. (en changean juse les dénominaions des variables muees ( en place de u, τ en place de ), on rerouve la formule ( ).. 2