BACCALAURÉAT GÉNÉRAL MATHÉMATIQUES

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1 BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION mars 2017 MATHÉMATIQUES Séri S Duré d l épruv : 4 hurs Cofficint : 7 ou 9 Ls calculatrics élctroniqus d poch sont autorisés, conformémnt à la réglmntation n viguur. L sujt st composé d 4 xrcics indépndants. L candidat doit traitr tous ls xrcics. Dans chaqu xrcic, l candidat put admttr un résultat précédmmnt donné dans l txt pour abordr ls qustions suivants, à condition d l indiqur clairmnt sur la copi. L candidat st invité à fair figurr sur la copi tout trac d rchrch, mêm incomplèt ou non fructuus, qu il aura dévloppé. Il st rapplé qu la qualité d la rédaction, la clarté t la précision ds raisonnmnts sront priss n compt dans l appréciation ds copis. Avant d composr, l candidat s assurra qu l sujt comport bin 8 pags numérotés d 1/8 à 8/8. 1/8

2 Exrcic 1 (5 points) Commun à tous ls candidats On dispos d un dé équilibré à 6 facs numérotés d 1 à 6 t d 2 piècs A t B ayant chacun un côté pil t un côté fac. Un ju consist à lancr un ou plusiurs fois l dé. Après chaqu lancr d dé, si l on obtint 1 ou 2, alors on rtourn la pièc A, si l on obtint 3 ou 4, alors on rtourn la pièc B t si l on obtint 5 ou 6, alors on n rtourn aucun ds dux piècs. Au début du ju, ls 2 piècs sont du côté fac. 1. Dans l algorithm ci-dssous, 0 cod l côté fac d un pièc t 1 cod l côté pil. Si a cod l côté d la pièc A à un instant donné, alors 1 a cod l côté d la pièc A après l avoir rtourné. Variabls : a, b, d, s sont ds ntirs i, n sont ds ntirs supériurs ou égaux à 1 Initialisation : a prnd la valur 0 b prnd la valur 0 Saisir n Traitmnt : Pour i allant d 1 à n fair d prnd la valur d un ntir aléatoir compris ntr 1 t 6 Si d 2 Alors a prnd la valur 1 a Sinon Si d 4 alors b prnd la valur 1 b FinSi FinSi s prnd la valur a + b FinPour Sorti : Affichr s a. On xécut ct algorithm n saisissant n = 3 t n supposant qu ls valurs aléatoirs générés succssivmnt pour d sont 1 ; 6 t 4. Rcopir t complétr l tablau donné cidssous contnant l état ds variabls au cours d l xécution d l algorithm : variabls i d a b s initialisation 1 r passag boucl Pour 2 èm passag boucl Pour 3 èm passag boucl Pour b. Ct algorithm prmt-il d décidr si à la fin ls dux piècs sont du côté pil? 2. Pour tout ntir naturl n, on not : Xn l évènmnt : «À l issu d n lancrs d dés, ls dux piècs sont du côté fac» Yn l évènmnt : «À l issu d n lancrs d dés, un pièc st du côté pil t l autr st du côté fac» Zn l évènmnt : «À l issu d n lancrs d dés, ls dux piècs sont du côté pil». D plus on not, xn = P(Xn) ; yn = P(Yn) t zn = P(Zn) ls probabilités rspctivs ds évènmnts Xn, Yn t Zn. a. Donnr ls probabilités x0, y0 t z0 rspctivs qu au début du ju il y ait 0, 1 ou 2 piècs du côté pil. b. Justifir qu 1 P X n (Xn+1) =. 3 2/8

3 c. Rcopir l arbr ci-dssous t complétr ls probabilités sur ss branchs, crtains pouvant êtr nulls : d. Pour tout ntir naturl n, xprimr zn n fonction d xn t yn En déduir qu, pour tout ntir naturl n, yn+1 = y n 3 3 f. On pos, pour tout ntir naturl n, bn = yn 2 1. Montrr qu la suit (bn) st géométriqu. En déduir qu, pour tout ntir naturl n, yn = g. Calculr lim yn. n Intrprétr l résultat. n /8

4 Exrcic 2 (4 points) Commun à tous ls candidats On considèr ls nombrs complxs zn définis pour tout ntir n 0 par la donné d z0, où z0 st différnt d 0 t d 1, t la rlation d récurrnc : 1 zn+1 = 1. z n 1. a. Dans ctt qustion, on suppos qu z0 = 2. Détrminr ls nombrs z1, z2, z3, z4, z5 t z6. b. Dans ctt qustion, on suppos qu z0 = i. Détrminr la form algébriqu ds nombrs complxs z1, z2, z3, z4, z5 t z6. c. Dans ctt qustion on rvint au cas général où z0 st un complx donné. Qu put-on conjcturr pour la valur pris par z3n pour tout ntir naturl n? Prouvr ctt conjctur. 2. Détrminr z2016 dans l cas où z0 = 1 + i. 3. Exist-t-il ds valurs d z0 tl qu z0 = z1? Qu put-on dir d la suit (zn) dans c cas? 4/8

5 Exrcic 3 (6 points) Commun à tous ls candidats L plan st muni d un rpèr orthonormal (O, i, j ). Pour tout ntir naturl n, on considèr la fonction fn défini t dérivabl sur l nsmbl ds nombrs réls R par ( n 1) x fn ( x) x 1 On désign par Cn la courb rprésntativ d fn dans l rpèr (O, i, j ). On a rprésnté ci-dssous ls courbs Cn pour différnts valurs d n. Soit la suit (un) défini pour tout ntir naturl n par : u 1 n fn( x) dx 0 Parti A - Étud graphiqu 1. Donnr un intrprétation graphiqu d un. 2. Qulls conjcturs put-on fair concrnant ls variations t la convrgnc d la suit (un)? 3. Proposr, à l aid du graphiqu ou d la calculatric, un valur approché d u4 à 0,05 près. 5/8

6 Parti B - Étud théoriqu 1 1. Montrr qu u0 = ln 2 2. Montrr qu u0 + u1 = 1 puis n déduir u1. 3. Montrr qu, pour tout ntir naturl n, un On pos pour tout ntir naturl n t pour tout x rél, dn(x) = fn+1(x) fn(x). x nx 1 a. Montrr qu, pour tout nombr rél x, dn (x) =. x 1 b. Étudir l sign d la fonction dn sur l intrvall [0 ; 1]. 5. En déduir qu la suit (un) st convrgnt. 6. On not l la limit d la suit (un). a. Montrr qu, pour tout ntir n supériur ou égal à 1, on a : n 1 un un 1 n b. En déduir la valur d l. c. On souhait construir un algorithm qui affich la valur d un pour un ntir naturl N non nul donné. Rcopir t complétr ls quatr ligns d la parti Traitmnt d l algorithm suivant. Entré : Variabls : Initialisation : Traitmnt : Sorti : N st un ntir naturl non nul U st un nombr rél K st un ntir naturl Affctr 1 à K 1 Affctr 1 ln à U 2 Dmandr à l utilisatur la valur d N Tant qu K < N Affctr à U Affctr à K Fin Tant qu Affichr U 6/8

7 Exrcic 4 (5 points) Candidats n suivant pas l nsignmnt d spécialité mathématiqus. Un apicultur étudi l évolution d sa population d abills. Au début d son étud, il évalu à l nombr d ss abills. Chaqu anné, l apicultur obsrv qu il prd 20% ds abills d l anné précédnt. Il achèt un nombr idntiqu d nouvlls abills chaqu anné. On notra c c nombr xprimé n dizains d millirs. On not u0 l nombr d abills, n dizains d millirs, d ct apicultur au début d l étud. Pour tout ntir naturl n non nul, un désign l nombr d abills, n dizains d millirs, au bout d la n-ièm anné. Ainsi, on a Parti A u0 = 1 t, pour tout ntir naturl n, un+1 = 0,8un + c. On suppos dans ctt parti sulmnt qu c = Conjcturr, à l aid d la calculatric, la monotoni t la limit d la suit (un). 2. Démontrr par récurrnc qu, pour tout ntir naturl n, un = 5 4 0,8 n. 3. Vérifir ls dux conjcturs établis à la qustion 1. n justifiant votr répons. Intrprétr cs dux résultats. Parti B L apicultur souhait qu l nombr d abills tnd vrs On chrch à détrminr la valur d c qui prmt d attindr ct objctif. On définit la suit (vn) par, pour tout ntir naturl n, vn = un 5c. 1. Montrr qu la suit (vn) st un suit géométriqu dont on précisra la raison t l prmir trm. 2. En déduir un xprssion du trm général d la suit (vn) n fonction d n. 3. Détrminr la valur d c pour qu l apicultur attign son objctif. 7/8

8 Exrcic 4 (5 points) Candidats suivant l nsignmnt d spécialité mathématiqus. Ls partis A t B puvnt êtr traités d manièr indépndant Parti A Afin d cryptr un mssag, on utilis un chiffrmnt affin. Chaqu lttr d l alphabt st associé à un nombr ntir comm indiqué dans l tablau cidssous : A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Soit x l nombr associé à la lttr à codr. On détrmin l rst y d la division uclidinn d 7x + 5 par 26, puis on n déduit la lttr associé à y (c st ll qui cod la lttr d origin). Exmpl : M corrspond à x = 12 t = 89 Or [26] t 11 corrspond à la lttr L, donc la lttr M st codé par la lttr L. 1. Codr la lttr L. 2. a. Soit k un ntir rlatif. Montrr qu si k 7x [26] alors 15k x [26]. b. Démontrr la réciproqu d l implication précédnt. c. En déduir qu y 7x + 5 [26] équivaut à x 15y + 3 [26]. 3. À l aid d la qustion précédnt décodr la lttr F. Parti B On considèr ls suits (an) t (bn) tlls qu a0 t b0 sont ds ntirs compris ntr 0 t 25 inclus t pour tout ntir naturl n, an+1 = 7an + 5 t bn+1 = 15bn n 5 Montrr qu pour tout ntir naturl n, an = a On admt pour la suit du problèm qu pour tout ntir naturl n, 3 n 3 bn = b Parti C Déchiffrr un mssag codé avc un chiffrmnt affin n pos pas d difficulté (on put tstr ls 312 coupls d cofficints possibls). Afin d augmntr ctt difficulté d décryptag, on propos d utilisr un clé qui indiqura pour chaqu lttr l nombr d fois où on lui appliqu l chiffrmnt affin d la parti A. Par xmpl pour codr l mot MATH avc la clé , on appliqu «2» fois l chiffrmnt affin à la lttr M (cla donn E), «2» fois l chiffrmnt à la lttr A, «5» fois l chiffrmnt à la lttr T t nfin «6» fois l chiffrmnt à la lttr H. Dans ctt parti, on utilisra la clé Décodr la lttr Q dans l mot IYYQ. 8/8