Le premier principe de la thermodynamique

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1 Chaitre 3 Le remier rincie de la thermodynamique Sommaire 3.1 Le 1 er rincie our les systèmes fermés Caacités thermiques - Enthalie Etude des rinciales transformations des gaz arfaits Le 1 er rincie our les systèmes ouverts Quelques alications Ce chaitre énonce le 1 er rincie de la thermodynamique et détaille quelques unes de ses conséquences les lus immédiates. 3.1 Le 1 er rincie our les systèmes fermés Energie interne L énergie totale E d un système eut se décomoser en une somme de trois termes ayant des origines différentes : l énergie cinétique E c, l énergie otentielle E et l énergie de masse des articules. Par définition, on aellera énergie interne, la quantité U telle que 1 : U = E E M c E ext (3.1) où E rerésente l énergie totale du système, Ec M l énergie cinétique macroscoique (translation et/ou rotation) et E ext l énergie otentielle associée à des forces extérieures au système (s il est soumis à un cham de esanteur ar exemle). Il faut faire bien attention à ne as confondre U et E car seule l énergie totale E est conservative. On en déduit que l énergie interne U eut se décomoser en trois termes distincts : où : U = E m c + E int + α m α c (3.) 1. Cette définition est une extension de celle donnée au.3 our un gaz arfait macroscoiquement au reos our lequel évidemment E ext = E M c = 0. Thermodynamique classique, P. Puzo 55

2 3.1. LE 1 ER PRINCIPE POUR LES SYSTÈMES FERMÉS 1. E m c est l énergie cinétique microscoique, c est à dire la différence entre l énergie cinétique totale et l énergie cinétique macroscoique. E int est l énergie otentielle associée aux forces internes au système (d origines microscoiques ou macroscoiques) 3 3. α m α c est l énergie de masse des articules qui intervient en relativité 3.1. Enoncés du 1 er rincie Enoncé historique Historiquement, la remière formulation du 1 er rincie a été faite ar von Mayer en 1845 qui a énoncé 4 que L énergie totale d un système fermé est une grandeur conservative Enoncé moderne Les énoncés modernes du 1 er rincie diffèrent eu de l énoncé de von Mayer. On exrimera le 1 er rincie de la thermodynamique (valable aussi bien our les transformations réversibles que our les transformations irréversibles) our un système fermé comme suit : La variation d énergie d un système est égale à l énergie qu il a reçu On suose tout d abord que l énergie aortée au système contribue à ne faire varier que l énergie interne. Si W et Q sont resectivement le travail et la chaleur reçus ar le système au cours d une transformation, son énergie interne asse d une valeur U I à une valeur U F et l on a : Pour une transformation infinitésimale, on écrira : U = U F U I = W + Q (3.3) du = δw + δq (3.4) L énergie interne U est une fonction d état, au contraire de W et de Q qui déendent des états initial et final, mais également de la transformation ( 1.5.1). Le bilan d énergie donné ar l équation (3.3) suose que toute l énergie aortée au système contribue à faire varier son énergie interne. Un système mobile eut toutefois osséder de l énergie cinétique macroscoique Ec M et de l énergie otentielle E ext associée à des forces extérieures au système. Dans ce cas, l exression lus générale du 1 er rincie est : E = U + E M c + E ext = W + Q (3.5). C est cette énergie cinétique qui intervient dans un gaz arfait our lequel on écrira : E m c = X i 1 mi v i E M c où Ec M = 0 si le gaz est macroscoiquement au reos. 3. Cette énergie eut être ar exemle d origine électromagnétique : ZZZ «E int ǫ0e = + B d µ 0 Esace ou gravitationnelle dans le cas d un amas de galaxies dont la cohésion est assurée ar la force de gravitation ( 16.1). 4. on Mayer a résumé le 1 er rincie sous la forme ex nihilo nihil fit (rien ne surgit de rien). Thermodynamique classique, P. Puzo 56

3 3.1. LE 1 ER PRINCIPE POUR LES SYSTÈMES FERMÉS iolation du 1 er rincie La violation du 1 er rincie conduirait au mouvement erétuel de 1ère esèce, qui n a jamais u être mis en évidence Echange d énergie ar chaleur Pour un système fermé, le travail des forces macroscoiques qui s exercent sur la surface délimitant le système traduit un échange d énergie qui s exrime en fonction des variables d état (on eut rendre ar exemle et our un fluide). La chaleur est l échange d énergie qu il faut ajouter au travail reçu our obtenir l échange total d énergie ( 1.5.). Une des variables d état nécessaires our exrimer la chaleur est la temérature T. Le ème rincie (chaitre 4) introduira l entroie S comme étant la deuxième variable nécessaire our caractériser le transfert thermique. La chaleur et le travail ne sont as des énergies mais des transferts d énergie, exrimés en Joule, même si historiquement l unité de la chaleur a longtems été la calorie Princie d équivalence Lorsque l évolution d un système est cyclique, le remier rincie s écrit : E = W + Q = 0 (3.6) Figure 3.1 Schéma de rincie de l exérience de Joule (voir texte) Cette relation est la base du rincie d équivalence, et a été démontrée ar l exérience de Joule (figure ci-contre). Cette exérience consistait à fournir du travail mécanique à de l eau à l aide de oids, ce qui augmentait la temérature de l eau. En laissant ensuite le système recouvrer sa temérature initiale, on mesurait la chaleur que l eau cédait. Joule a montré que le raort entre travail et chaleur était une constante qui ne déendait que des unités : on ouvait transformer comlétement du travail en chaleur. En exrimant le travail en Joules et la chaleur en calories, il a ainsi obtenu l équivalent mécanique de la calorie : W Q 4,186 J/calorie L utilisation d une unité de chaleur (généralement la calorie) différente de l unité du travail, n a lus de raison d être autre qu historique 5. Le rincie d équivalence signifie ar exemle que l on doit fournir 418 J our orter un gramme d eau de 0 C à 100 C à ression atmoshérique. Cette énergie eut être fournie de manière équivalente sous forme de chaleur (en chauffant l eau sur un feu) ou de travail (en brassant l eau à l aide de alettes). 5. Les auteurs anglo-saxons exriment encore arfois la chaleur en Btu (British thermal unit) avec 1 Btu = 5 cal = 1053 J. Thermodynamique classique, P. Puzo 57

4 3.. CAPACITÉS THERMIQUES - ENTHALPIE Forme locale du 1 er rincie Le 1 er rincie eut s exrimer ar une équation de continuité, analogue à l équation de conservation de la charge de l électrostatique. On en déduit comme en électrostatique une équation locale 6. Une surface fermée (Σ) délimite un volume ( ) contenant l énergie totale E telle que : de = δw + δq avec E = ρedτ et e = e M c + e ext + u (3.7) ( ) où les quantités e, e M c, e ext et u sont les énergies massiques 7 reliées aux énergies définies ar (3.1). L énergie E eut varier au cours du tems ar échange avec l extérieur à travers la surface (Σ) qui délimite le volume ( ). On introduit donc un vecteur densité volumique d énergie J e dont le flux à travers la surface (Σ) corresond à l énergie échangée endant dt : de = δe r = dt J e. n dσ = dt. J e dτ (3.8) (Σ) en aliquant le théorème d Ostrogradsky (A.5). On eut donc déduire de (3.7) que : ( ) (ρe) d ρedτ = dt dτ = dt. J ( ) ( ) t e dτ ( ) Comme le volume ( ) et l intervalle dt sont quelconques, on en déduit l équation locale de conservation de l énergie totale :. J e + (ρe) = 0 (3.9) t En régime stationnaire, (3.9) indique que. J e = 0. Le théorème d Ostrogradsky montre que J e est alors à flux conservatif. ( ) 3. Caacités thermiques - Enthalie On considérera dans ce aragrahe des systèmes macroscoiquement au reos (Ec M l énergie otentielle associée aux forces extérieures au système ne varie as (E ext = 0). = 0) dont 3..1 Caacité thermique à volume constant Une transformation isochore est une transformation ayant lieu à volume constant ( 1.4.1). Si le système ne eut échanger de travail avec le milieu extérieur que ar l intermédiaire de forces de 6. En électrostatique, on considère une surface fermée (Σ) délimitant un volume qui contient une charge q. Cette charge eut varier au cours du tems ar échange avec l extérieur. La quantité de charge échangée avec l extérieur ar unité de tems est égale au flux du vecteur densité de courant J q à travers la surface (Σ) : dq dt Z = (Σ) J q. n dσ où n est une normale sortante du volume délimité ar la surface. L équation locale associée est. J q + ρ = 0 t 7. L énergie massique e = E/M est simlement le raort entre l énergie E et la masse M du système. De manière générale, on utilisera les lettres minuscules our noter les quantités massiques (e, u, h,..). Thermodynamique classique, P. Puzo 58

5 3.. CAPACITÉS THERMIQUES - ENTHALPIE ression, on a W = 0 d où U = Q. Pour une transformation infinitésimale (our laquelle d = 0 à volume constant), on écrira que : ( ) U δq = du = C dt avec C = (3.10) T qui définit la caacité thermique à volume constant C du système (également aelée caacité calorifique à volume constant). Cette définition est comatible avec celle donnée au.3.3 our un gaz arfait et l étend dans le cas général. La caacité thermique (qui s exrime en J K 1 ) est évidemment extensive. On lui associe deux grandeurs intensives : la caacité thermique (ou calorifique) molaire à volume constant c telle que C = n c. Cette caacité c s exrime en J K 1 mol 1 la caacité thermique (ou calorifique) massique à volume constant c (m) telle que C = m c (m). Cette caacité c (m) s exrime en J K 1 g 1 L intérêt des quatités intensives est de ermettre une comaraison simle entre matériaux ou entre deux états différents. 3.. Caacité thermique à ression constante - Enthalie Une transformation monobare est une transformation ayant lieu à ression externe ext constante ( 1.4.1). Si le système ne eut échanger de travail avec le milieu extérieur que ar l intermédiaire de forces de ression, on a W = ext d où U = ext + Q d arès le 1 er rincie. On en déduit que Q = (U + ext ). Or our une transformation monobare, on a I = F = d où : Q = (U + ) Le transfert thermique Q aaraît donc comme la variation au cours d une transformation monobare d une nouvelle fonction H, aelée enthalie, définie ar : H = U + (3.11) L enthalie, comme U et est une fonction d état, à caractère extensif, dont l unité est le Joule. Pour une transformation infinitésimale, on écrira que : ( ) ( ) H H dh = C dt + d en osant C = (3.1) T T qui définit la caacité thermique à ression constante C du système (également aelée caacité calorifique à ression constante). Cette grandeur (qui s exrime en J K 1 ) est évidemment extensive. On lui associe deux grandeurs intensives : la caacité thermique (ou calorifique) molaire à ression constante c telle que C = n c. Cette caacité c s exrime en J K 1 mol 1 la caacité thermique (ou calorifique) massique à ression constante c (m) Cette caacité c (m) s exrime en J K 1 g 1 telle que C = m c (m). La caacité thermique d un fluide déend fortement de sa temérature et de sa ression, en articulier autour du oint critique (voir ar exemle figure 3.). Ce aragrahe s alique également a fortiori our une transformation quasi statique, our laquelle la ression interne est définie à chaque instant et égale à la ression externe ext. On a dans ce cas : dh = δq + d + δw Thermodynamique classique, P. Puzo 59

6 3.. CAPACITÉS THERMIQUES - ENTHALPIE Figure 3. Caacité thermique de l eau en fonction de sa temérature. Les courbes en trait lein traduisent le comortement de la vaeur, celles en ointillés le comortement du liquide (d arès [4, age ]) où δw rerésente le travail des forces autres que des forces de ression. Si de lus la transformation est isobare avec également δw = 0, on a : dh = δq Cette relation souligne l imortance de la fonction enthalie H car dans la ratique, de très nombreuses transformations ont lieu à ression extérieure constante (en articulier en chimie our toutes les réactions ayant lieu à la ression atmoshérique) Cas des gaz arfaits ème loi de Joule L équation d état ermet d écrire que our un gaz arfait, on a H = U + n RT. Comme l énergie interne d un gaz arfait ne déend que de sa temérature (.3), la relation récédente montre que l enthalie H d un gaz arfait ne déend que de sa temérature. On dit d un fluide ossédant cette roriété qu il suit la deuxième loi de Joule, dont l exression différentielle our un gaz arfait est : dh = C dt = n c dt = m c (m) dt (3.13) Cette relation est évidemment indéendante de la transformation (et n est en articulier as réservée aux transformations isobares). Relation de Mayer En dérivant l équation H U = n R T ar raort à T à ression constante, on obtient : ( ) ( ) H U = n R T T L énergie interne d un gaz arfait ne déendant que de sa temérature, on a ( U/ T) = ( U/ T) d où la relation de Mayer our les gaz arfaits : C C = n R (3.14) Thermodynamique classique, P. Puzo 60

7 3.. CAPACITÉS THERMIQUES - ENTHALPIE On définit le coefficient γ des gaz (arfois aelé coefficient d atomicité) ar : D arès (.1), on a évidemment our un gaz arfait : γ = C C (3.15) dh = γ du (3.16) En substituant (3.15) dans (3.14), on obtient les exressions de C et C en fonction de γ our un gaz arfait : aleurs usuelles de C, C et γ C = n R γ γ 1 et C = n R γ 1 (3.17) On déduit de l exression de l énergie interne des gaz arfaits monoatomique (.17) et diatomique (.18) l exression de leur enthalie H : H monoatomique = 5 n R T et H diatomique = 7 n RT d où les exressions de C = 5 n R our un gaz arfait monoatomique et C = 7 n R our un gaz arfait diatomique (table 3.1). En utilisant (3.17) et (.19), la relation dh = γ du ermet d écrire γ en fonction de l. On obtient : γ = + l l (3.18) où l est souvent assimilé au nombre de degrés de libertés des molécules du gaz. On a γ = 5/3 = 1,7 our un gaz arfait monoatomique et γ = 7/5 = 1,4 our un gaz arfait diatomique à la temérature ambiante. On rendra donc γ = 1,4 quand on assimilera l air à un gaz arfait. Cas articulier des hases condensées Pour les hases condensées (liquide ou gaz), on négligera souvent devant U dans l exression de l enthalie et on considérera qu en remière aroximation on aura H U. On en déduit que C C. On arle alors souvent d une caacité thermique C, sans réciser si elle est définie à ression constante ou à volume constant (table 3.1) Le zéro de l énergie interne et de l enthalie Les mesures exérimentales ar calorimétrie 8 ne donnent accès qu à des différences d énergie interne ou d enthalie, ou, ce qui revient au même, à leurs dérivées. Ceci est logique uisque U et H contiennent des termes d énergie otentielle, définis à une constante additive rès. L énergie interne U et l enthalie H ne sont donc définies qu à une constante additive rès 9. Remarque : Ceci n est as en contradiction avec les exressions absolues de U et H obtenues our un gaz arfait uisque dans ce cas il n existe as de terme d énergie otentielle! 8. La calorimétrie est le nom sous lequel on regroue les mesures de chaleur dans le cas où (E M c + E, ext) = 0. On trouvera une bonne descrition des méthodes de mesures calorimétriques dans [34, chaitres 6 et 0]. 9. En chimie, on fixe cette constante de manière arbitraire en attribuant une valeur nulle à un état articulier. Thermodynamique classique, P. Puzo 61

8 3.. CAPACITÉS THERMIQUES - ENTHALPIE Gaz arfait Monoatomique Diatomique Cas général Phase condensée U 3 n RT 5 n R T du = C (T)dT du C (T) dt C 3 n R 5 n R C (T) 3 n R C C C H 5 n RT 7 n RT dh = C (T)dT dh C (T) dt C 5 n R 7 n R C (T) 5 n R C C C C C n R n R n R 0 γ à 9 7 γ(t) γ 1 Table 3.1 Résumé des roriétés de U, H, C, C et γ our le gaz arfait et en hase condensée Exercice 3.1 : Elévation de la temérature ar brassage Un calorimètre en cuivre de 108 g et de chaleur massique 385 J/kg/K contient 800 g d huile dont la chaleur massique est 180 J/kg/K. Le liquide est brassé ar des alettes auxquelles on alique un coule de 10 Nm. Combien de révolutions faut-il our élever la temérature de 5 C? Exercice 3. : Equivalence travail - chaleur Une voiture de 1000 kg roule à 108 km/h et s arrête brusquement. On suose que toute l énergie se dissie dans ses quatre disques de 3 kg chacun. Quelle est l élévation de temérature des disques, sachant que leur caacité thermique vaut c = 0, 4 J/g/K? Exercice 3.3 : Chutes du Niagara Les chutes du Niagara sont roduites ar une dénivellation de h = 50 m. Calculer la variation de temérature de l eau du fait de cette chute, c est à dire avant qu elle n ait échangé de chaleur avec l extérieur. Exercice 3.4 : Enthalie de la réaction S β S α A 5 C sous la ression atmoshérique, les enthalies de combustion du soufre octaédrique S α et du soufre rismatique S β sont resectivement H 1 = 89, 67 kj/mol et H = 90 kj/mol. Quelle est la variation d enthalie dans les mêmes conditions our la transformation du soufre S β en soufre S α? Thermodynamique classique, P. Puzo 6

9 3.3. ETUDE DES PRINCIPALES TRANSFORMATIONS DES GAZ PARFAITS 3.3 Etude des rinciales transformations des gaz arfaits On considérera toujours dans ce aragrahe des systèmes macroscoiquement au reos (Ec M = 0) dont l énergie otentielle associée aux forces extérieures au système ne varie as (E ext = 0). On suosera de lus que toutes les transformations étudiées sont quasi statiques et s aliquent à un gaz arfait. On a vu que our une transformation quasi statique, on avait δw = d ( 1.5.1). En intégrant : F W = d (3.19) I En général, la ression est une fonction du volume. Le système reçoit du travail lors d une comression ( F < I ) et en céde lors d une détente ( F > I ) Transformation isochore Pour une transformation isochore au volume 0 constant, on a, en suosant C indéendant de la temérature : I W = 0 et Q = U = C (T F T I ) avec = F (3.0) T F 3.3. Transformation isobare Pour une transformation isobare à la ression 0 constante, on a, en suosant C indéendant de la temérature : T I W = 0 ( I F ) et Q = H = C (T F T I ) avec Transformation isotherme I T I = F T F (3.1) Pour la transformation isotherme d un gaz arfait à la temérature T 0 constante, on a U = H = 0 d où W = Q. Le travail élémentaire à fournir à n moles lors d une comression quasi statique isotherme sera δw = d = n R T d/ soit en intégrant : ( ) I W = n R T ln = Q (3.) Transformation adiabatique Ce aragrahe suose toujours une transformation quasi statique (our ouvoir écrire δw = d ) et s aliquera donc a fortiori aux transformations réversibles. F Loi de Lalace Pour un fluide quelconque soumis aux seules forces de ression, on eut écrire our une transformation adiabatique : ( ) [ ( U ) ] U δq = 0 = du δw = du + d = d + + d (3.3) La ression et le volume sont donc reliés ar une équation différentielle dont les coefficients sont connus si on connait la fonction U(, ). Or dans le cas du gaz arfait, la relation (.0) ermet d écrire que U = l/. L équation différentielle (3.3) s écrit alors simlement : 0 = l d + [ l + 1 ] d soit encore 0 = d + γ d Thermodynamique classique, P. Puzo 63

10 3.4. LE 1 ER PRINCIPE POUR LES SYSTÈMES OUERTS en introduisant le raort γ défini au En intégrant cette équation, on obtient la loi de Lalace : γ = Cste (3.4) ou de manière équivalente en utilisant la loi des gaz arfaits et la masse volumique ρ = m/ : T γ 1 = Cste ou T γ 1 γ = Cste ou ρ γ = Cste (3.5) Conditions de validité de la loi de Lalace La loi de Lalace n est définie que our les transformations adiabatiques d un gaz arfait dans un domaine de temérature où γ reste constant. Elle ne eut as s aliquer à un fluide quelconque. Pour considérer qu une transformation est adiabatique, il suffira d établir que la comression est suffisamment raide our que le transfert thermique soit négligeable. Dans le cas d un iston, il faudra que la vitesse du iston soit nettement inférieure à la vitesse des molécules dans le gaz (.1.) our que la densité du gaz reste uniforme dans tout le cylindre. Par exemle, dans un moteur à exlosion, la vitesse moyenne tyique d un iston est de 5 à 10 m/s, et est largement inférieure à la vitesse moyenne des molécules d un gaz à 600 K ( 700 m/s). Si ce n était as le cas, on ne ourrait as considérer la transformation comme quasi statique. Travail et chaleur échangés lors de la transformation Pour une transformation adiabatique, on a évidemment Q = 0. On a de lus γ = I γ I travail à fournir au gaz eut donc se mettre sous la forme : = F γ F. Le soit finalement : W = F I d = F I W = F F I I γ 1 γ d γ = γ F I d γ = n R γ 1 (T F T I ) (3.6) Les relations (3.6) ont été obtenues dans le cas d une transformation adiabatique quasi statique. Mais dans le cas lus général d une transformation simlement adiabatique, on a W = U (car δq = 0). Dans ce cas articulier, le travail ne déend donc que de l état initial et de l état final et non du détail de la transformation. Les relations (3.6) sont donc valables our toute transformation adiabatique d un gaz arfait, que la transformation soit quasi statique ou non Transformation olytroique On dit d une transformation qu elle est olytroique d indice k s il existe une constante k telle que k = Cste au cours de la transformation. On excluera dans la suite le cas articulier k = 1 qui corresond à une transformation isotherme. En différentiant la relation de définition et en simlifiant ar k 1, on obtient : d + k d = 0 D autre art, d( ) = d + d. On en déduit d( ) = (k 1)d et le travail échangé : W = F I d = 1 k 1 F d( ) et finalement W = F F I I I k 1 (3.7) 3.4 Le 1 er rincie our les systèmes ouverts Les systèmes ouverts, ouvant échanger avec le milieu extérieur de l énergie et/ou de la matière, jouent un rôle réondérant dans la nature car de nombreux systèmes réels sont des systèmes ouverts (ar exemle les moteurs et tous les êtres vivants). Thermodynamique classique, P. Puzo 64

11 3.4. LE 1 ER PRINCIPE POUR LES SYSTÈMES OUERTS Enoncé On considère un système ouvert 10 défini ar le contenu matériel d une surface (S). On note M(t) la masse du système à l instant t. Le bilan de masse entre les instants t et t + dt s écrit : M(t) + δm e = M(t + dt) + δm s où δm e et δm s sont resectivement les masses entrantes et sortantes du système endant dt. L idée maîtresse est de ramener le système ouvert originel au système fermé constitué à l instant t de M(t) et de δm e, et à l instant t + dt de M(t + dt) et de δm s. En notant e e et e s les énergies massiques en entrée et en sortie, l énergie totale de ce système fermé est E(t) +e e δm e à l instant t et E(t +dt) +e s δm s à l instant t +dt. En notant δw et δq le travail et la chaleur reçus ar le système endant dt, le 1 er rincie aliqué au système fermé ermet d écrire que : [E(t + dt) + e s δm s ] [E(t) + e e δm e ] = δw + δq dont on déduit l exression du 1 er rincie our un système ouvert : de = δw + δq + e e δm e e s δm s (3.8) Dans cette exression, δw, δq et e e δm e e s δm s rerésentent resectivement les termes d échange d énergie ar travail, ar transfert thermique et ar transfert de matière, ou convection Forme locale La matière qui traverse la surface (dσ) entre t et t + dt se trouve, à l instant t, dans le cylindre de volume dσ v n dt = dσ dt v. ( n) où n est une normale sortante du volume. L énergie δe conv reçue ar délacement de matière, est donc, en notant ρ la masse volumique et e l énergie massique : δe conv = ρ e dt v. ndσ = dt. (ρ e v)d (Σ) en aliquant le théorème d Ostrogradsky (A.5). En lus du terme δe r défini ar (3.8), le bilan d énergie inclu δe conv. L équation locale de conservation de l énergie totale s écrit alors : ( ). ( J e + ρ e v) + (ρ e) t = 0 (3.9) En régime stationnaire, on a cette fois. ( J e + ρ e v) = 0 qui montre que J e + ρ e v est à flux conservatif. Exercice 3.5 : Bilan énergétique d un système ouvert On ome l eau d un bassin à la temérature T b = 363 K avec un débit q v = 180 l/min, vers un réservoir lacé 0 m lus haut. Avant de énétrer dans le réservoir, l eau est refroidie dans un échangeur en cédant 45 MJ/min. On considère le régime stationnaire our lequel l énergie cinétique macroscoique est négligeable. La uissance mécanique fournie ar la ome est P m = kw. La caacité thermique de l eau est c = 4, J/g. Quelle est la temérature T r de l eau qui entre dans le réservoir? 10. La remière formulation du 1 er rincie our un système ouvert a été faite en 1859 ar Zeuner. Thermodynamique classique, P. Puzo 65

12 3.5. QUELQUES APPLICATIONS 3.5 Quelques alications Méthodes de mesure du coefficient γ Adiabatique versus isothermes dans le diagramme de Claeyron L équation d état des gaz arfaits imlique que our une transformation isotherme, on a : d + d ( ) = 0 soit encore = Par contre, on aura our une transformation adiabatique réversible (3.4) en suosant γ constant : d + γ d ( ) = 0 soit encore = γ T Adiabatique 0 Isotherme Adiabatique A 0 Dans le diagramme de Claeyron (figure cicontre), le raort entre la ente d une adiabatique en un oint A 0 et la ente d une isotherme en ce même oint est donné ar : ( ) Figure 3.3 Pentes des adiabatiques et des isothermes dans le diagramme de Claeyron 0 ( ) Adiabatique T = γ La méthode de mesure de γ décrite ci-dessous exloite cette idée. Méthode de Clément et Desormes Cette méthode a été déveloée ar Clément et Desormes en 1819 our la remière détermination exérimentale de γ. Un ballon en verre de quelques dizaines de litres (figure 3.4) eut communiquer avec l atmoshère avec un robinet R. Un manomètre ermet de mesurer la différence de ression entre la ression extérieure 0 et la ression dans le ballon. Initialement R est fermé et il règne dans le ballon une légère déression 1 (état A dans le diagramme de Claeyron de la figure 3.5). Le ballon est à la temérature T 0 de la salle : A est donc sur l isotherme T 0. Le système que l on considère est le gaz initialement résent dans la bouteille. On ouvre le robinet endant une seconde et on le referme aussitôt. Cette oération a our effet de faire rentrer un eu d air et de ramener la ression du ballon à la ression atmoshérique 0. La comression est raide, donc adiabatique. Le volume B occué ar le gaz constituant le système diminue. Le gaz a chauffé endant cette comression, il va ensuite refroidir lentement jusqu à ce que sa temérature redevienne T 0. La transformation A B est donc adiabatique, tandis que B C est isotherme (les transformations étant etites, on a assimilé AB et BC à des segments de droite). En aliquant le résultat du aragrahe récédent, on obtient : γ = Pente de AB Pente de BC = 1 1 Thermodynamique classique, P. Puzo 66

13 3.5. QUELQUES APPLICATIONS R Mesure de ression B C A = C B A Figure 3.4 Princie de l exérience de Clément et Desormes : détente ou comression adiabatique Figure 3.5 Diagramme de Claeyron our l exérience de Clément et Desormes En toute rigueur, on aurait du tenir comte de l air qui a énétré dans le ballon. Cette correction reste faible si 1 est etit devant 0. On aurait tout aussi bien u mettre le ballon en légère surression au début de l exérience. Pour mesurer le coefficent γ d un gaz autre que l air, il suffit de mettre l ensemble dans un grand réservoir contenant un gaz ur. Méthode de Rückhardt Cette méthode a été roosée ar Rückhardt en 199 et est décrite sur la figure 3.6. On considère un ballon de volume 0 muni d un tube en verre vertical de rayon r, dans lequel une bille d acier shérique (de masse m) très bien calibrée eut coulisser sans frottement et jouer le rôle d un iston comrimant le gaz suosé arfait contenu dans le ballon. On aelle 0 et 0 la ression et le volume du gaz à l équilibre. O z g Bille d acier Gaz Figure 3.6 Exérience de Rückhardt : mesure des oscillations d une bille dont le mouvement comrime un gaz adiabatiquement Lorsqu on laisse tomber la bille d une certaine hauteur, on constate qu elle oscille autour d une osition d équilibre avec une ériode de l ordre de la seconde. On suose que les transformations imosées au gaz ar la bille sont réversibles. La bille est d abord amenée lentement vers sa osition d équilibre. Le rincie fondamental de la dynamique aliqué à la bille s écrit : 0 π r ext π r mg = 0 soit 0 = ext + m g π r La bille est ensuite abandonnée sans vitesse initiale en haut du tube. On reère sa osition ar l(t). On a cette fois : (t)π r ext π r mg = m l soit [ 0 (t)]π r = m l (3.30) La comression eut être considérée comme adiabatique (car T 1 s) donc la loi de Lalace ermet Thermodynamique classique, P. Puzo 67

14 3.5. QUELQUES APPLICATIONS d écrire : d où : ( ) γ 0 (t) = 0 avec (t) = 0 π r l (t) ( (t) = 0 1 π ) γ ( r l π ) r lγ 0 0 (3.31) En combinant (3.30) et (3.31), on montre finalement que le mouvement de la bille est harmonique : l + ω0 π m 0 l = 0 avec T = = π ω 0 π r 4 γ 0 La mesure de la ériode T ermet une détermination de γ à quelques % rès. Méthode de Rinkel La méthode de Rinkel utilise le même disositif exérimental que celui décrit ci-dessus, mais consiste à mesurer la distance h = z i z f de chute de la bille avant qu elle ne remonte. La transformation est toujours suosée réversible (absence de frottement) et adiabatique (tro raide our qu un échange de chaleur uisse avoir lieu). Le théorème de l énergie cinétique aliqué à la bille entre les instants initial (z = z i ) et final (z = z f ) où la bille est immobile s écrit : E c = 0 = m g h + zf z i ( ext + )S dz (3.3) Si les variations de la ression sont etites, on écrira d ext. En différentiant la loi de Lalace (3.4), on écrit avec la même hyothèse : d = γ d γ 0 S h 0 En injetant ceci dans (3.3), on obtient : m g h + zf z i γ 0 S h 0 S dz = 0 soit arès calcul γ = m g 0 h 0 S Comme our la méthode de Rückhardt, la mesure de la hauteur de chute h ermet une détermination de γ à quelques % rès Etude de quelques cycles Les machines thermiques seront étudiées en détail au chaitre 9. On ne donne ici que deux exemles simles d alication du 1 er rincie. Cycle de Carnot du gaz arfait On dit qu un système décrit un cycle de Carnot lorsqu il n échange de chaleur qu avec deux thermostats et que toutes les transformations sont réversibles. Pour que l échange thermique entre le système et la source chaude soit réversible, il est nécessaire qu au cours de l échange, la temérature du système soit égale à la temérature de la source chaude. La transformation doit donc être isotherme et réversible à la temérature de la source chaude. Le Thermodynamique classique, P. Puzo 68

15 3.5. QUELQUES APPLICATIONS même raisonnement ermet de dire que l échange avec la source froide doit être isotherme. En dehors de ces transformations, le système n échange as de chaleur. Il doit donc évoluer de manière adiabatique et réversible. Finalement, un cycle de Carnot doit comorter deux isothermes et deux adiabatiques. 3 Isotherme Adiabatique 1 4 Figure 3.7 Cycle de Carnot du gaz arfait On suose que le système fournit du travail au milieu extérieur (W < 0). La figure ci-contre rerésente un tel cycle. Le système est en contact avec une source chaude à la temérature T C sur l isotherme 3 et avec une source froide à la temérature T F sur l isotherme 4 1. Les deux isothermes sont reliées ar les branches adiabatiques 1 et 3 4. On a d arès (3.) : ( ) ( 4 ) Q 3 = n RT C ln 3 et Q 4 1 = n RT F ln 1 (3.33) Mais uisque les transformations 1 et 3 4 sont adiabatiques, on a également : T γ C 1 γ = T γ F 1 γ 1 et T γ C 1 γ 3 = T γ F 1 γ 4 d où : ( TC T F ) γ 1 γ = 1 = 4 3 et ln ( 3 ) = ln ( 4 1 ) On en déduit que (3.33) eut se réécrire : Q 3 T C + Q 4 1 T F = 0 (3.34) Cette relation est connue sous le nom d identité de Carnot-Clausius. On définit l efficacité η d un tel cycle ar le raort du travail fourni à la chaleur reçue de la source chaude, soit : η = W Q 3 En utilisant le fait que our un cycle U = 0 = W + Q 3 + Q 4 1, on obtient finalement : η = 1 T F T C (3.35) L efficacité du cycle de Carnot ne déend que des temératures des sources froides et chaudes. Thermodynamique classique, P. Puzo 69

16 3.5. QUELQUES APPLICATIONS Cycle de Lenoir On rerésente sur la figure 3.8 le cycle de Lenoir, introduit vers 1860 our la concetion d un des remiers moteurs à deux tems à combustion interne. A la fin de la hase d admission, le système est en ( 1, 1 ) sur le diagramme de la figure Figure 3.8 Cycle de Lenoir 3 3 Le travail échangé ar n moles de gaz au cours de chaque hase est : 1. W 1 = 0 Le cycle est constitué de trois transformations accomlies dans l ordre suivant :. W 3 = U 3 U = C (T 3 T ) = n R γ 1 (T 3 T ) d arès (3.17) 3. W 3 1 = 1 ( 1 3 ) = n R(T 1 T 3 ) Le travail total W échangé au cours du cycle est donc : 1. la combustion roduit une augmentation brutale de ression à volume 1 constant. les gaz résiduels subissent une détente adiabatique de 1 à 3 3. les gaz résiduels s échaent du cylindre à la ression d injection et le système retourne dans son état initial W = W 1 + W 3 + W 3 1 = n R γ 1 (T 3 T ) n R(T 1 T 3 ) Ce travail est négatif car le cycle est arcouru dans le sens direct : le système constitue bien un moteur qui fournit du travail au milieu extérieur. On eut définir l efficacité η du moteur ar le raort entre le travail fourni ar le moteur et le transfert thermique reçu ar le gaz endant la combustion du carburant. On en déduit que η s écrit : η = W Q 1 soit η = 1 γ T 3 T 1 T T 1 en écrivant que Q 1 = U U 1 = C (T T 1 ) = n R (T T 1 )/(γ 1). Finalement, grâce à T 3 /T 1 = a et T /T 1 = a γ, on obtient : η = 1 γ a 1 a γ 1 (3.36) où a est le raort volumétrique (a = 3 / 1 ). Thermodynamique classique, P. Puzo 70