Chapitre 3 La dérivation

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1 Capitre 3 La dérivation A) Nombre dérivé 1) Limite d'une fonction en zéro a) Eemple : La fonction g : est définie sur R *. g(0) n'eiste pas, mais g() eiste pour aussi petit qu'on le désire. On peut se demander ce qui se passe pour très petit. Cela s'appelle "cercer la limite de g() quand tend vers zéro". Or, pour non nul, on a = 242² 2 = 42² = 42 Pour = 0, cette epression vaut 4, et plus est petit, plus elle s'approcera de 4. On dit alors que 4 est la limite de g en 0 (ou "quand tend vers zéro"), et on écrit g =4. lim 0 Plus précisément, on dit que la limite de g() quand tend vers 0 est 4 parce que quel que soit le nombre ε > 0, si petit qu'il soit, on peut trouver un nombre α tel que l'intervalle ]0 - α ; 0 + α[ aura son image par g entièrement contenue dans l'intervalle ]4 ε ; 4 + ε[. Dans notre eemple, pour avoir 4 - ε < g() < 4 + ε, il suffit d'avoir ε < 2 < ε, c'est à dire : - ε/2 < < ε/2. Une valeur possible pour α est donc ε/2 (remarquons que la valeur de α dépend de celle du ε coisi). Cas général : Soit l un réel quelconque, on aura : g =l ssi 0, 0 tel que ] ;[ => g ] l ; l [ lim 0 Remarques : - Ce cas s'étend aisément à la limite de g() en a réel quelconque : g =l ssi 0, 0 tel que ]a ; a [ => g ]l ; l[ lim a. - Pour toutes les fonctions courantes, lorsqu'une fonction f est définie pour = a, la limite de f en a est égale à f(a). Les fonctions qui ont cette propriété sont appelées fonctions continues en a, ou continues tout court si c'est vrai pour tout a. Ce ci correspond à une fonction dont on peut tracer le grape sans lever le crayon (d'un trait continu). Page 1/8

2 2) Fonction dérivable en un point Soit une fonction f définie sur D f et a D f Pour tout 0 tel que [a ;a] D f, on peut définir t = f a f a Si la fonction t a une limite l en zéro, c'est-à-dire si lim t =l, on dit que f est 0 dérivable en a et l est le nombre dérivé de f en a. On note l = f'(a). On peut donc écrire dans ce cas f ' a=lim 0 f a f a. Eemples : a) Soit f() = ², et on cerce f'(3), le nombre dérivé de f en 3. On aura t = 32 3² 96² 9 Donc, si tend vers zéro, t() tendra vers 6. On a donc f'(3) = 6. = = 6² =6 b) Soit f = 1 et on cerce le nombre dérivé f'(1) 1 On aura 1 1 t = = = 1 = 1 1 Quand devient très petit, 1 + s'approce de 1 donc t() s'approce de -1. Donc f'(1) = -1. Contre eemple : Fonction en forme de ressort de plus en plus comprimé pour = 0 Page 2/8

3 f =sin 1 : pas de nombre dérivé en zéro! Remarque : Il est possible que f() ait un nombre dérivé en a sur [a ; b] (on suppose b> a), et un autre nombre dérivé sur [c ; a] (avec c < a). Par eemple la fonction f() = : On calcule aisément que le nombre dérivé est égal à -1 à gauce de zéro et égàl à 1 à droite : f n'est pas dérivable en zéro mais elle y est "dérivable à gauce" et "dérivable à droite". Elle est continue en zéro puisque sa courbe "se trace sans lever le crayon". B) Interprétation grapique de la dérivation 1) La tangente Page 3/8

4 Si je trace la droite passant par A(a ; f(a)) et B(a + ; f(a + )), je m'aperçois que sa pente est f a f a égale à, c'est à dire précisément le t() du A)! Si se rapproce de 0, B se rapproce de A en restant sur la courbe, et la droite va adopter la même pente que la courbe en A. La droite vers laquelle elle se rapproce s'appelle la tangente en A à la courbe de f, sa pente est f'(a) et son équation s'écrit : y = f'(a) ( a) + f(a) Démonstration : La pente (ou coefficient directeur) de la tangente est f'(a), donc son équation peut s'écrire (k étant un réel à déterminer) : y = f'(a) + k. Or elle passe par le point A(a ; f(a)), d'où f(a) = af'(a) + k ou encore k = f(a) a f'(a). On en déduit que son équation est : y = f'(a) + f(a) a f'(a), soit y = f'(a) ( a) + f(a). CQFD 9/9/09 2) Approimation affine locale L'approimation affine consiste à remplacer, au voisinage d'un point d'une courbe, cette courbe par une droite. Pour y arriver, le meilleur coi est de prendre pour cette droite la tangente en ce point. En effet, elle est celle qui se rapproce le plus, qui "suit" le mieu la courbe en ce point. Ceci est utile car il est toujours plus facile de calculer des points sur une droite que sur une courbe. Par etension, on peut aussi faire des approimations par des polynômes, ce qui permet de mieu "coller" à la courbe. Il faut cependant toujours évaluer l'errreur maimum commise dans l'intervalle étudié. Eemples : Eercices résolus page 61 17/9/07 C) Fonctions dérivées 1) Définition Soit une fonction f définie sur un intervalle I. Si f est dérivable en tout point de I, on dit qu'elle est dérivable sur I et on appelle dérivée, ou Page 4/8

5 fonction dérivée de f, et on note f', la fonction qui à tout de f en. Eemple f() = ² est dérivable sur R et sa dérivée est f'() = 2 I associe f'(), nombre dérivé En effet, t a = a2 a 2 = a2 2a 2 a 2 = 2a2 =2a Or lim 2a=2a 0, donc f'(a) = 2a pour tout a, ce qui amène bien f'() = 2 pour tout. 2) Dérivées usuelles Fonction Dérivée Domaine de définition f =a f ' =0 R f =ab f ' =a R f =a 2 f =2a R f = 1 f = f ' = 1 ² f = 1 2 f =sin f =cos R f =cos f = sin R Démontrer ces résultats par le calcul pour les lignes 2 et 4 La connaissance de la fonction dérivée permet de calculer aisément la pente de la courbe, c'est-à-dire de sa tangente, en tout point. En particulier, le signe de la dérivée donne le sens de variation de la fonction! On peut aussi trouver aisément l'équation de la tangente à la courbe en tout point donné. D) Opérations sur les dérivées On supposera que u et v sont deu fonctions définies et dérivables sur I, et k une constante réelle. 1) Somme et différence u + v et u v sont alors définies et dérivables sur I, et : (u + v)' = u' + v' R* R* Page 5/8

6 (démonstration évidente) Eemple : (2² )' = (2²)' (4)' + (3)' = 4-4 2) Produit uv est dérivable sur I, ainsi que ku et : Démonstration Eemples ( sin )' = ( 2 1cos )' = ( 3 1 )' = Conséquence n ' = n n 1 Démonstration par récurrence Eemples : 5 '=? 3 7 '=? 8 8 ' =? 1 4 ' =? 1 '=? (u v)' = u' v' (uv)' = u'v + uv' (ku)' = ku' 3) Inverse 1 ' v = v ' v 2 Démonstration (faire faire) Eemples : ' =? 1 sin '=? Page 6/8

7 4) Quotient Démonstration : u (par v =u 1 v ) Eemples '=? 2 sin cos '=? u u ' v u v ' v '= v 2 5) Puissances de u 18/9/09 Eemples : '=? sin 9 '=? u n '=n u ' u n 1 (noter l'écriture sin 9 () qui signifie (sin()) 9!) 6) Fonction composée a) Dérivation Soit (u(v()))' = v'() u' (v()) : (u o v)' = v'. (u' o v) Eemples : I) u() = cos u o v () = cos (2-3) v() = 2-3 (u o v)' () = 2 sin (2-3) II) u = sin u o v () = sin (2² ) v = 2² (u o v)' () = (4 3) cos(2² ) b) Cas particulier important Soit v() = a + b avec a et b réels : (u(a + b))' = a u' (a + b) Page 7/8

8 Eemples 2 1'=? '=? sin 1 '=? Eercices / Problèmes : 19/9/09 25/9/07 Page 73 e 11 à 16 Page 74 e 21 et 22, 24, 28, 29 Page 75 e 30 à 36, 42 à 49, 50, 52, 53 Page 77 e 65 Page 80 e 89 Page 81 e 104 Page 82 e 106 Page 8/8