Resumé des travaux. 3. si κ(x) = 1, alors il existe un morphisme f : Y Z, avec Y birationnelle

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1 Resumé des travaux Je m intéresse à des problèmes concernant la classification des variétés projectives complexes. Le développement des techniques a amené à considérer comme objets de la classification, plutôt que des variétés, des paires (X, B) où X est une variété projective normale et B est un Q-diviseur Weil tels que le Q-diviseur K X +B est Q-Cartier. De plus on doit autoriser certains types de singularités. Une classe importante de singularités pour lesquelles on sait prouver la plupart des résultats sont les singularités klt. Malheureusement cette classe est limitée, et pour que la théorie marche il faudrait obtenir des résultats pour une classe de singularités plus grande, celle des singularités lc. Le passage des singularités klt aux singularités lc est la plupart des fois très difficile. La dimension de Kodaira est le premier invariant birationnel pour les paires et mesure l ordre de croissance des sections du diviseur log-canonique K X + B. Il est défini par la formule κ(x, B) = lim sup m log(h 0 (X, m(k X + B) )). log m Si X est une surface lisse et B = 0, on a quatre cas : 1. si κ(x) =, alors X est birationnel à une surface reglée ; 2. si κ(x) = 0, alors le diviseur canonique K X est un diviseur de torsion et plus précisément il existe m {1, 2, 3, 4, 6} tel que mk X = OX. Les surfaces lisses de ce type sont classifiées modulo isomorphisme ; 3. si κ(x) = 1, alors il existe un morphisme f : Y Z, avec Y birationnelle à X, qui est une fibration à fibre générale une courbe elliptique ; 4. si κ(x) = 2, alors X est de type général. En général, on a κ(x, B) {, 0,..., dim X} et, si κ(x, B) = dim X, alors on dit que X est de type log général. Par analogie avec le cas des surfaces algebriques, le premier pas d une classification birationnelle des variétés devrait être : si κ(x, B) = l existence d une fibration f : (Y, B Y ) Z, telle que (Y, B Y ) est un modèle birationnel de (X, B), dont le diviseur logcanonique est négatif sur les fibres. La donnée de la paire (Y, B Y ) et de la fibration f est appelée espace fibré de Mori ; si κ(x, B) 0 l existence d un modèle log-minimal. Il y a plusieurs définitions de modèle log-minimal (Y, B Y ) d une paire (X, B), mais toutes ont en commun les propriétés suivantes : 1

2 il existe une application birationnelle µ: X Y ; le diviseur K Y + B Y est nef ; on a B Y = B + E où B est la transformée étroite ode B dans Y et E est un diviseur exceptionnel sur X. L existence d un modèle minimal est en relation stricte avec les trois problèmes ouverts suivants : 1. le programme du modèle minimal (MMP), un algorithme qui, étant donnée une paire, produit soit un espace fibré de Mori soit un modèle log-minimal, termine ; 2. l anneau log-canonique R X (K X + B) est de type fini, où R X (K X + B) = m 0 H 0 (X, m(k X + B) ) ; 3. il existe une décomposition de Zariski pour K X + B. Certains des résultats pricipaux pour ce qui concerne (1) et (2) sont [Theorem 1.2, [7]] Soit (X, B) une paire klt. Si K X + B est big alors 1. (X, B) a un modèle log-minimal ; 2. R X (K X + B) est de type fini. [Corollary , [7]]Soit (X, B) une paire Q-factorielle klt. Supposons que K X + B n est pas pseudoeffectif. Alors on peut exécuter un MMP sur (K X + B) et avoir en sortie un espace fibré de Mori g : Y W. La décomposition de Zariski est, grosso modo, une façon d écrire un diviseur D comme somme de deux diviseurs, D = P +N, où N est un diviseur effectif et P est un diviseur nef qui soit maximal parmi les diviseurs nef L tels que D L est effectif. Plusieurs exemples (voir [37, Example 6.7]) montrent que, en dimension plus grande que 2 il est très rare de trouver des décompositions de D sur X et qu il est beaucoup plus naturel de considérer des décompositions de µ D sur X où µ: X X est une modèle birationnel. L exemple suivant explique la relation entre l existence de la décomposition de Zariski et l existence des modèles log-minimaux. Soit (X, B) une paire qui a un modèle log-minimal (Y, B Y ) et soit V une résolution de l application ϕ: X Y V [ld] g [rd] h X@ >[rr] ϕ Y. Alors h (K X + B) = g (K Y + B Y ) + N où N 0 et P = g (K Y + B Y ) est nef par définition de modèle minimal. De plus, h (K X + B) = P + N est une décomposition de Zariski de K X + B sur un modèle birationnel de X. 2

3 Dans mes travaux je me suis intéressée à la géométrie des variétés (ou plutôt aux paires) de type Fano, qui apparaîssent comme fibres des espaces fibrés de Mori, aux variétés de dimension de Kodaira positive et, plus en particulier, à la manière dont elles se décomposent en partie ayant dimension de Kodaira nulle et en partie à dimension de Kodaira maximale, à la décomposition de Zariski en dimension 3 et, plus récemment, à la géométrie birationnelle des feuilletages Variétés de Fano Une variété de Fano est une varété projective Q-Gorenstein X dont le diviseur anticanonique K X est ample. L indice d une variété de Fano X est i(x) = sup{t Q K X Q th, H ample, Cartier}. Les variétés de Fano ont dimension de Kodaira κ(x) = κ(x, 0) = et apparaissent de façon naturelle dans le programme du modèle minimal comme fibres des espaces fibrés de Mori. Si X a des singularités log-terminales, le groupe de Picard P ic(x) est sans torsion. Alors le diviseur de Cartier H tel que K X Q i(x)h est determiné à moins d équivalence linéaire. Un tel diviseur est appelé le diviseur fondamental de X. Si X est de dimension n, alors i(x) n + 1. Par le critère de Kobayashi-Ochiai, si i(x) n alors X est isomorphe à P n ou à une hyperquadrique. Les variétés de Fano d indice n 1 et n 2 ont été classifiées par Fujita et par Mukai respectivement. Dans le cadre de mon mémoire de Master 2, j ai étudié les variétés de Fano de dimension n 3. Ce travail a été publié [14]. J ai étudié et donné une généralisation du résultat suivant qui est dû à Kawamata. [Theorem 5.2, [31]] Soit X une variété de dimension 4 à singularités Gorenstein canoniques. Supposons que D K X est ample. Alors 1. H 0 (X, D) Soit Y D un élement général. Alors (X, Y ) est PLT, donc K Y 0 et Y a singularités Gorenstein canoniques. J ai démontré que le système fondamental n est pas vide et que l élément général du système fondamental satisfait des propriétés de régularité. [Theorem 1.1, [14]] Soit X une variété de Fano de dimension n 4 avec singularités Gorenstein canoniques et indice n 3, avec H diviseur fondamental. Supposons que h 0 (X, H) 0 et soit Y H un élément général. Alors Y a singularités canoniques. [Theorem 1.2, [14]] Soit X une variété de Fano lisse de dimension n 4 et indice n 3, avec H diviseur fondamental. 3

4 1. Si la dimension de X est n = 4, 5, alors h 0 (X, H) n Si n = 6, 7 et le fibré tangent T X est H-semistable, alors h 0 (X, H) n Si la dimension de X est n 8, alors h 0 (X, H) n 2. Dans [25] Höring and Voisin démontrent le résultat suivant. [Theorem 1.4, [25]] Soit X une variété projective lisse rationnellement connexe et de dimension n 4. Supposons qu il existe un fibré vectoriel 1-ample E de rang n 3 sur X tel que dete = K X et tel que E a une section transverse dont le lieu des zéros Y a singularités canoniques isolés. Alors le groupe H 2n 2 (X, Z) est engendré sur Z par des classes de courbes (équivalemment, Z 2n 2 (X) = 0). Par le théorème 0.0.5, la condition h 0 (X, H) n 2 dans le théorème suivant est verifiée. [Theorem 1.6, [25]] Soit X une variété de Fano lisse de dimension n 4 et d indice n 3. Supposons que le diviseur fondamental satisfait h 0 (X, H) n 2. Soit Y le lieu des zéros de la section générale du fibré vectoriel E = H n 3. Alors Y a dimension 3 (i.e. la section générale est transverse) et a singularités canoniques isolés. Alors on a comme corollaire [Theorem 1.4, [14]] Soit X une variété de Fano lisse de dimension n > 7 et indice n 3. Alors le groupe H 2n 2 (X, Z) est engendré sur Z par des classes de courbes (équivalemment, Z 2n 2 (X) = 0) La formule du fibré canonique La formule du fibré canonique est un instrument pour étudier les paires (X, ) de log-dimension de Kodaira positive. Iitaka démontre que dans ce cas il existe un modèle birationnel µ: X X qui admet une fibration f : X Z telle que la dimension de Z est la log-dimension de Kodaira de (X, ) et la fibre générale de f a log-dimension de Kodaira zéro (cf. [32, Definition ]). De plus, il existent un diviseur Q-Cartier D sur Z, un diviseur Q-Cartier E sur X et un nombre entier r > 0 tels que rµ (K X + ) = f D + E (cf. [20]). Si on pose B = µ (K X + ) K X E/r, alors f : (X, B) Z est un fibration lc-triviale, c est-à-dire la donnée d une paire lc (X, B) et d une fibration f telles que K X + B Q f D. 4

5 Si la paire a singularités klt sur le point générique de Z on dit que la fibration est une fibration klt-triviale. L outil principal pour étudier les fibrations lctriviales est la formule du fibré canonique. La formule du fibré canonique est une façon d écrire D comme somme de trois diviseurs K X + B + 1 r (ϕ) = f (K Z + B Z + M Z ) où r est un nombre entier et ϕ une fonction rationnelle. Le diviseur B Z est appelé discriminant et il est défini par B Z = (1 γ P )P où P varie parmi les diviseurs premiers de Z et γ P = sup{t R (X, B + tf (P )) est lc sur P }. Le nombre γ P est appelé seuil log-canonique et donne une mesure de de la singularité de f sur P. Il vaut 1 si la paire (X, B + f (P )) satisfait la condition de réguarité lc, tandis qu on a γ P < 1 si elle est plus singulière. Le diviseur M Z est la partie modulaire et devrait être lié à la variation birationnelle des fibres. Ambro a démontré dans [1, Theorem 0.2] que, dans le cas des fibrations klt-triviales, il existe un morphisme birationnel µ: Z Z tel que la partie modulaire induite par le changement de base est Q-Cartier et nef. De plus, pour tout morphisme birationnel ν : Z Z on a M Z = ν M Z. Le résultat pour des fibrations lc-triviales est énoncé dans [10, Theorem 8.3.7] et a été démontré par Fujino en utilisant la théorie des variations de structure de Hodge mixte (voir [22] et [23]). Dans mon mémoire de thèse je présente une preuve qui généralise la preuve dans [1] et n utilise que la théorie des variations de structure de Hodge [18, Theorem 1.4.8]. La conjecture principale sur la partie modulaire est la conjecture suivante. [Effective b-semiampleness, Semiamplitude birationnelle effective, Conjecture , [38]] Il existe un nombre entier m = m(d, r) tel que pour toute fibration lc-triviale f : (X, B) Z avec d la dimension de la fibre générale, k la dimension de Z et r l indice de Cartier de la fibre générale (F, B F ) il existe un morphisme birationnel ν : Z Z tel que mm Z est sans point base. Un diviseur de Cartier D sur une variété Z est birationnellement semiample ou b-semiample, s il existe un morphisme birationnel µ: Z Z et un diviseur semiample D sur Z tel que µ D = D. Dans la suite on indiquera avec EbS la conjecture et avec EbS(k) la conjecture pour des fibrations dont la base a dimension k. La difficulté de la conjecture EbS est bien illustrée par un résultat de X. Jiang, qui a démontré en [27] que la conjecture EbS implique un énoncé d uniformité de la fibration de Iitaka pour toute variété avec dimension de Kodaira positive sous l hypothèse que les fibres ont un bon modèle minimal. 5

6 Si les fibres sont des courbes rationnelles La conjecture est vraie si la fibre générale a dimension 1 : si la fibre est une courbe elliptique et B = 0 par la formule du fibré canonique due à Kodaira and Ueno [41] et si la fibre est une courbe rationnelle par [38, Theorem 8.1]. Dans [38, Theorem 8.1] Prokhorov et Shokurov trouvent un nombre entier m qui dépend juste de r et tel que mm Z est sans point base, mais ils conjecturent[38, Remark 8.2] que l entier qui rend la partie modulaire sans point base est 12r. Dans mon travail [15] j ai trouvé des exemples de fibrations lc-triviales à fibre générale une courbe rationnelle tels que 12rM Z n a même pas coefficients entiers. Plus précisément, j ai démontré [Theorem 1.6, [15]] 1. Il ne peut pas exister une borne polynomiale en r sur les dénominateurs de M Z. Précisément, pour tout N, il existe une fibration lc-triviale f : (X, B) Z telle que dim Z = 1 et pour laquelle V r N+1 pour tout V tel que V M Z à coefficients entiers. 2. Soit f : (X, B) Z une fibration lc-triviale dont la fibre générale est une courbe rationnelle. Alors il existe un entier N(r) qui ne dépend que de r, tel que N(r)M Z à coefficients entiers. Plus précisément N(r) = r ppcm{l l 2r}. Approche par récurrence à la b-semiamplitude effective Dans [16] j ai développé une approche par récurrence à la conjecture [Theorem 1.2, [16]] EbS(1) implique EbS(k). L étape de récurrence de la preuve du théorème consiste à couper la base Z d une fibration lc-triviale f : (X, B) Z avec une section hyperplane H Z telle que la restriction de la partie modulaire M Z H est la partie modulaire de la fibration induite sur H, f : (X H, B H ) H où X H = f 1 H et B H = B XH. Avec cette approche et des méthodes provenant de la théorie des variations de structure de Hodge, il est possible de préciser le résultat suivant. [Theorem 3.5, [2]] Soit f : (X, B) Z une fibration klt-triviale telle que M Z 0. Alors M Z Q 0. En effet, on peut démontrer qu il existe un nombre entier m(b) qui dépend d un certain nombre de Betti b canoniquement associé à la fibration et tel que O Z (m(b)m Z ) O Z. [Theorem 1.3, [16]] Il existe un nombre entier m = m(b) tel que pour toute fibration klt-triviale f : (X, B) Z avec Z lisse ; M Z 0 ; 6

7 Betti dim E (E ) = b où E est un modèle lisse du revêtement E F associé à l unique élément de r(k F + B F ) on a mm Z 0. Si la paire (X, B) est lc mais non klt sur le point générique de la base, on démontre le théorème suivant qui généralise [2, Theorem 3.5]. [Theorem 1.4, [16]] Soit f : (X, B) Z une fibration lc-triviale avec Z lisse et M Z 0. Alors M Z est un diviseur de torsion. La stratégie pour démontrer le théorème est la même que pour le théorème , mais on utilise la théorie des variations de structure de Hodge mixtes. b-semiamplitude Une version plus faible de la conjecture 0.0.1, qui est très importante dans les applications, est la conjecture de b-semiamplitude. Pour toute fibration lc-triviale f : (X, B) Z il existe un morphisme birationnel ν : Z Z tel que M Z est semiample. Dans un travail posterieure à ma thèse [17, Theorem 1.3] j ai démontré que la conjecture est impliquée par la même conjecture dans le cas klt : Pour toute fibration klt-triviale f : (X, B) Z il existe un morphisme birationnel ν : Z Z tel que M Z est semiample. La réduction de lc à klt est très importante dans la théorie et parfois très difficile. Dans ce cas j ai utilisé une construction géométrique due à Fujino et Gongyo [23] et une technique présente dans la preuve du théorème Décomposition de Zariski Si D est un diviseur pseudoeffectif sur une surface lisse, une décomposition de Zariski est la donnée de deux diviseurs P et N tels que D = P + N ; P est nef, N est effectif ; soit N = 0, soit la matrice (N i N j ) est définie négative ; (P N i ) = 0 pour tout i. Une telle décomposition existe toujours par [21] et [42]. De plus, Fujita remarque dans [24] que le diviseur P est l unique diviseur qui satisfait la propriété suivante : (α) pour tout modèle birationnel f : X X et pour tout diviseur nef L sur X tel que f L D on a f L P. À cause de la grande importance de la décomposition de Zariski en dimension 2, il existe plusieurs généralisations de la définition en dimension supérieure. La propriété (α) donne lieu à la généralisation suivante. [Definition 6.1, [37]] Soit X une variété projective lisse et D un diviseur pseudoeffectif. Une décomposition D = P f + N f est appelée une décomposition de Zariski au sens de Fujita (où décomposition de Fujita-Zariski) si 7

8 1. N f 0 ; 2. P f est nef ; 3. pour tout modèle birationnel µ: X X et pour tout diviseur nef L sur X tel que µ L D on a µ L P f. Plusieurs exemples (voir [37, Example 6.7]) montrent qu il est plus naturel de considerer le problème d existence de la décomposition de Zariski comme un problème birationnel. Soit X une variété projective lisse et D un diviseur pseudoeffectif. Le diviseur D admet une décomposition de Fujita- Zariski birationnelle s il existe un morphisme birationnel µ: X X tel que µ D admet une décomposition de Fujita-Zariski. On définit le lieu de base diminué d un diviseur pseudoeffectif D comme B (D) = B(D+A) B(D+A) = {Supp(D+A) 0, R D+A}. A ample Le lieu de base diminué mesure combien le diviseur pseudoeffectif D est loin d être nef, il dépend de la classe d équivalence numérique de D par [13, Proposition 1.19] et il est vide si et seulement di D est nef. De plus, si D admet une décomposition de Fujita-Zariski birationnelle, alors le lieu de base diminué de D n est pas dense dans X. Il existe un contreexemple à l existence de la décomposition de Fujita-Zariski birationnelle : dans [33] J.Lesieutre trouve une variété lisse de dimension trois X et un diviseur pseudoeffectif D dont le lieu de base est dense dans X. L existence d une décomposition de Fujita-Zariski est conjecturée pour une classe très importante de diviseurs, celle des diviseurs log-canoniques. En effet, Birkar [4] et Birkar-Hu [5] ont démontré l équivalence entre l existence des modèles log-minimaux des paires et l existence de la décomposition de Fujita-Zariski birationnelle pour les diviseurs log-canoniques. Il existent aussi des résultats partiels d existence en dimension trois dus à Nakayama. Soit X une variété lisse, D un diviseur pseudoeffectif sur X et Γ une courbe telle que D Γ < 0. Si le fibré conormal de Γ est semistable, alors par [35, Lemma III.4.5] il existe un morphisme birationnel µ: X X et une décomposition µ D = P + N où P est nef sur Exc(µ). Ce résultat illustre l importance de l étude des propriétés de stabilité du fibré conormale d une courbe dans une variété de dimension 3. Le résultat suivant, qui est contenu dans ma thése, pourrait constituer une première étape vers une preuve de l existence de la décomposition de Zariski pour des diviseurs sur des variétés de dimension 3 dont le lieu de base diminué est l union d un nombre fini de courbes. Soit X une variété lisse de dimension 3. Soit Σ X une courbe lisse dont le fibré conormale n est pas semistable. Alors il existe une suite d éclatements ϕ: ˆX X de courbes lisses non contenues dans Σ telle que, si ˆΣ est la transformée stricte de Σ in ˆX, alors le fibré conormale de ˆΣ est semistable. 8

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