a) Expliquer par une phrase comment on reconnait qu un nombre est divisible par 3 / 1 Donner un exemple et montrer qu il est divisible par 3

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1 Nom :.. CALCULATRICE AUTORISEE Sujet : ARITHMETIQUE DS MATHS n 2 Classe : 3 e C Octobre h Exercice 1 DEVOIR SEUL : / 19 RED/ORTH / 1 NOTE FINALE du DS : / 20 (La rédaction est comptée à l intérieur de chaque exercice - Un résultat sans explication vaut 0) a) Expliquer par une phrase comment on reconnait qu un nombre est divisible par 3 / 1 Donner un exemple et montrer qu il est divisible par 3 b) Expliquer par une phrase comment on reconnait qu un nombre est premier / 1 Donner un exemple et montrer qu il est premier c) Expliquer par une phrase comment on reconnait que 2 nombres sont premiers entre eux / 1 Donner un exemple et montrer qu ils sont premiers entre eux Collège ND Sion Avenue Beaumarchais - Grenoble Prof : P.CHEVALLIER - Page 1 sur 5-15/10/2015

2 d) En appliquant la méthode de votre choix, faire la division euclidienne des nombres 883 et 1088 / 1 Exercice 2 /2 Rendre irréductible de la fraction suivante : Exercice 3 /3 Marc dispose de 1634 feuilles blanches et 1505 feuilles à carreaux. Il veut faire des classeurs de feuille pour ranger ses documents d histoire de sorte que : Tous les classeurs contiennent le même nombre de feuilles blanches et de feuilles à carreaux Toutes les feuilles blanches et toutes les feuilles à carreaux soient utilisées. a) Quel nombre maximal de paquets pourra t-il réaliser? Justifier votre réponse. Expliquez votre démarche b) Combien y aura-t-il alors de feuilles blanches et de feuilles à carreaux dans chaque paquet? Collège ND Sion Avenue Beaumarchais - Grenoble Prof : P.CHEVALLIER - Page 2 sur 5-15/10/2015

3 Problème de Brevet (Marseille 2005 ) / 3 Un terrain rectangulaire a pour dimension 966 m de large et 1km et 8 m de long (voir schéma) Sur ces cotés, on veut planter des arbres régulièrement espacés d un nombre entier de mètres. Il doit y avoir un arbre à chaque coin du terrain, les autres doivent être répartis uniformément. Quel nombre minimum d arbres devra t-on planter? Expliquer bien votre démarche. Dessiner dans le rectangle les endroits où il faudra placer les arbres L = m Largeur = 966 m Collège ND Sion Avenue Beaumarchais - Grenoble Prof : P.CHEVALLIER - Page 3 sur 5-15/10/2015

4 Exercice 5 / 7 On considère les fonctions f, g et h telles que représentées par le dessin ci-dessous. 1) Compléter les phrases suivantes / 4 L image de 1 par la fonction f est... L image de -4 par la fonction h est... L image de 0 par la fonction g est... L image de 0 par la fonction h est... L antécédent de 4 par la fonction g est... L antécédent de -3 par la fonction f est... L antécédent de -3 par la fonction g est... L antécédent de -3 par la fonction h est... Fonction h Fonction g Fonction f 2) Compléter le tableau ci-dessous / 3 f(1) =.... f(2) =.... f(......) = -3 f(......) = 0 g(-1) =.... g(3) =.... g(......) = -1 g(......) = 5 h(-6) =.... h(4) =.... h(......) = -3 h(......) = -4 Collège ND Sion Avenue Beaumarchais - Grenoble Prof : P.CHEVALLIER - Page 4 sur 5-15/10/2015

5 Exercice 1 a) Un nombre est divisible par 3 si : si la somme successive de ses chiffres est divisible par 3, 6 ou 9 b) Un nombre est premier si : il n est divisible que par lui même et 1. Ex :.31 ou 13 c) Deux nombres sont premier entre eux si : ils n ont aucun diviseur commun autre que 1 ou si leur PGCD est égal à 1. Donner un exemple : 64 et 65 d) Je fais une division euclidienne : 1008 = avec 205 < 883 Exercice 2 Je calcule le PGCD des 2 nombres 1356 et 4972 pour rendre la fraction irréductible 4972 = = Le PGCD (4972 ; 1356) = = Grâce au PGCD on peut simplifier la fraction par son PGCD : = = 3 11 Exercice 3 a) On cherche le plus grand diviseur commun entre 1634 et 1505, c'est à dire leur P.G.C.D On constate que : 1634 = puis que 1505 = On constate que : 129= puis que 86 = On en déduit que le PGCD (1634, 1505 ) = 43 et donc que le nombre maximal de classeurs réalisables avec le nombre de feuilles données est de 43. b) On constate que : 1634 = 38 et = 35. Marc peut donc mettre 38 feuilles blanches et 35 feuilles à carreaux dans chacun des ses classeurs. Exercice 4 J utilise l algorithme d Euclide pour chercher le PGCD (966 ; 1008) Puisque 1008 > 966, on a : 1008 = = Donc PGCD (966 ; 1008) = 42 car c est le dernier reste non nul Conclusion : je peux donc planter des arbres tous les 42m Or : 966/42 = 23 et 1008/42 = 24 Il me faut donc (23+24) 2 = 94 arbres tous les 42m. Mais avec ce calcul j en compte 2 par coins Je dois donc en enlever 4 pour les coins soit 90 arbres Vérification : Périmètre = ( ) 2 = 3948m - Arbres = = 3948m Exercice 5 L image de 1 par la fonction f est 3 L image de -4 par la fonction h est. -2 L image de 0 par la fonction g est 1 L image de 0 par la fonction h est -4 L antécédent de 4 par la fonction g est -1,5 L antécédent de -3 par la fonction f est -2 L antécédent de -3 par la fonction g est 2 L antécédent de -3 par la fonction h est. -2 Fonction h Fonction g Fonction f f(1) = +3 f(2) = +5 f(-2) = -3 f(-0,5) = 0 g(-1) = +3 g(3) = -5 g(+1) = -1 g(-2) = 5 h(-6) = -1 h(4) = -6 h(-2) = -3 h(0) = -4 Collège ND Sion Avenue Beaumarchais - Grenoble Prof : P.CHEVALLIER - Page 5 sur 5-15/10/2015

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