UTILISATION DES COPULES POUR ANALYSER L IMPACT DES DEPENDANCES SUR UN PORTEFEUILLE DE CREDITS RAPPORT DE STAGE D INGENIEUR CONFIDENTIEL

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1 Yohan KABLA ECP - 3 EME ANNEE MAP SMF UTILISATION DES COPULES POUR ANALYSER L IMPACT DES DEPENDANCES SUR UN PORTEFEUILLE DE CREDITS RAPPORT DE STAGE D INGENIEUR CONFIDENTIEL 5 MAI NOVEMBRE 00 MAITRES DE STAGES : Mkael BOUVIER Vven BRUNEL

2 REMERCIEMENTS Je tens à remercer en premer leu messeurs Km Ly et Rchard Dalaud pour m avor accuell dans leur servce et m avor offert la possblté de mener cette étude Il m est dffcle de trouver les mots pour exprmer mon énorme grattude vs-à-vs de Mkael Bouver et Vven Brunel qu m ont encadré, consellé et drgé pendant ces sx mos J a partculèrement apprécé leur grande expérence du méter et leur professonnalsme à toute épreuve Je termnera en remercant tous les membres de l équpe RISQ/RCE et les stagares de l été 00 J a été très sensble à leur haut degré de compétence et de manère générale à leur constante dsponblté

3 SOMMAIRE INTRODUCTION 4 I STRUCTURE DE DÉPENDANCE ET GESTION DE PORTEFEUILLES DE CRÉDITS6 Résumé : 6 DÉPENDANCE : 9 CORRÉLATION 0 Tau de Kendall (corrélaton de rang : 0 LES COPULES 4 Défnton 4 Copules Archmédens bvarés 6 La noton de tal dependence ou dépendance de queue 0 Chox du bon copule Copules multdmensonnels 5 Copules de la famlle H n 5 Copule Gaussen 7 Copule t de Student 7 ALGORITHMES 3 CADRE FINANCIER 36 Portefeulle homogène modèle KMV 36 Le modèle de Merton (publé en Modèle de la frme à un facteur 37 Captal économque 40 Captal margnal 4 Contrbuton 4 SIMULATION 44 II CALCUL DES PROBABILITÉS DE DEFAUT JOINT 49 Résumé : 49 PROBABILITE DE DEFAUT JOINT 5 Barrère affne : 5 Barrère affne par morceaux 5 Calcul des probabltés de défaut jont : 55 DEROULEMENT DU STAGE 56 BILAN ET PERSPECTIVES 59 BIBLIOGRAPHIE 60 ANNEXES 6 Copules archmédens à un paramètre et leur générateur 63 Tau de kendall pour les copules archmédens à un paramètrecalcul de Andersen 65 Calcul de Andersen 66 Le modèle APT 67 3

4 INTRODUCTION Dans le domane des actvtés de crédts, la concurrence nterbancare est aujourd hu telle que la recherche d une melleure rentablté est devenue un objectf prortare pour les banques Pour ce fare, depus 997, la Socété Générale met en place un projet RAROC Rsk Adjusted Return On Captal dont l'objectf est de mesurer le captal apporté par l'actonnare en couverture du rsque lé aux actvtés de crédt et d'en estmer la rentablté Le département RISQ/RCE (Rentablté Captal Economque est en charge de ce projet, ans que de l'estmaton du captal économque assocé aux autres types de rsque (marché, opératonnel RISQ/RCE a développé des modèles et outls nformatques pour attendre ces objectfs Il s'agt essentellement, au fnal : d'outls de notaton ("ratng", qu permettent de mesurer la qualté fnancère d'un (éventuel clent, d'outls d'ade à la structuraton, qu permettent d'ajuster la structure d'un crédt dans le souc de la rentablté pour l'actonnare, d'un outl de geston de portefeulles : estmaton de la dstrbuton des pertes futures, et en partculer de la perte moyenne et du captal économque, pour l'ensemble du portefeulle de crédt de la banque ou pour tout sous-portefeulle L'outl permet également l'estmaton de la rentablté et de la valeur créée La modélsaton d un portefeulle de crédt passe névtablement par la dépendance qu exstent entre les dfférentes frmes du portefeulle En effet, le rsque lé à un crédt est d autant plus élevé qu l est fortement corrélé avec l ensemble de ceux déjà présents en portefeulle On évalue souvent la dépendance entre deux frmes à l ade de leur corrélaton Or cet ndcateur ne permet pas de modélser la dépendance d une part et dépend des marges d autre part Les copules, qu sont une «foncton de dépendance», permettent de séparer la structure de dépendance et les marges En effet le rsque d un portefeulle de crédt ne dépend que du copule et pas des lo margnales Tout comme ce rapport, mon stage s est dvsé en deux mssons La premère msson, consstat à étuder les copules pus à les utlser dans la geston d un portefeulle de crédt La deuxème msson consste à calculer les probabltés de défaut jont de deux entreprses, en utlsant une approche type «marché» qu s ntéresse aux cours des actons 4

5 Les copules étant un sujet complexe, nous n avons pas voulu fare de ce rapport un cours théorque sur les copules mas plutôt un outl faclement utlsable par l entreprse et compréhensble par un non nté Dans cette optque, nous ne démontrerons pas les théorèmes que nous utlserons, mas les résultats utles pour une applcaton drecte des copules Le lecteur souhatant avor une étude plus théorque sur le sujet pourra se rapporter aux dfférentes références présentes dans le rapport 5

6 I STRUCTURE DE DEPENDANCE ET GESTION DE PORTEFEUILLES DE CREDITS Résumé : En fnance, la dépendance est stratégque dans de nombreux domanes comme le rsque de crédt, le rsque pays, les dérvées de crédt, etc Il est courant de représenter la dépendance en n utlsant que le coeffcent de corrélaton lnéare, or cet usage ntrodut forcément une erreur car celu-c ne reflète pas la structure de dépendance de deux varables aléatores, mas seulement un résumé potentellement dangereux Pour résoudre ce problème, nous allons donc utlser les copules, qu sont un outl prometteur pour évaluer la dépendance Le copule est une écrture de la foncton de répartton jonte qu permet de dsposer de toute l nformaton sur la structure de dépendance Durant mon stage, nous avons étudé et utlsé les copules pour analyser l mpact de la dépendance sur un portefeulle de crédt En effet lorsqu une banque détent un portefeulle de crédt, elle cherche à évaluer l nfluence que peut avor ce portefeulle sur sa santé fnancère Pour cela, elle calcule le captal économque du portefeulle, qu n est d autre qu un quantle des pertes Pour smplfer notre étude, nous consdérerons que ce portefeulle est homogène, c est à dre que tous les crédts qu le composent sont de même exposton, ont la même probablté de fare défaut et sont de même corrélaton Nous dsposons d une formule analytque pour calculer le captal économque de ce portefeulle, dans ce cas Lorsque l on ajoute un deuxème portefeulle (qu sera lu auss consdéré comme homogène au premer, le calcul du captal économque du portefeulle total devent beaucoup plus complexe Il faut en effet tenr compte lors du calcul du captal du fat que les deux portefeulles ne soent pas ndépendants Ce calcul est le plus souvent réalsé à l ade de smulatons de Monte Carlo L une des méthodes couramment utlsée pour obtenr le captal économque de deux portefeulles consste à calculer dans un premer temps le coeffcent de corrélaton lnéare 6

7 des deux portefeulles, pus à générer par smulaton dans un second temps deux varables aléatores ayant cette même corrélaton et représentant les dstrbutons de pertes des deux portefeulles L enjeu fnancer de cette étude pour l entreprse est énorme : en effet le portefeulle de crédt de la Socété Générale se compte en dzanes de mllards d euro et le captal économque en mllards d euro, un changement dans la structure de dépendance peut donc avor un mpact conséquent sur le blan de la banque En plus de l enjeu quanttatf, cette étude présente également des ntérêts qualtatfs pour la banque : elle permettra d amélorer sa maîtrse des rsques, et pourra s étendre avec de nouvelles applcatons En effet, ben que nous ayons étudé les copules dans le cadre d un sujet précs, nos travaux restent néanmons utlsables dans une multtude d autres domanes fnancers utlsant comme outl la dépendance (banque, assurance Ma msson consste donc à : dans un premer temps, étuder les dfférents copules bvarés et plus précsément les archmédens présents dans la lttérature, notamment concevor des algorthmes pour les smuler et les dentfer réalser la même étude pour les copules multvarés obtenr un encadrement de la VaR (Value at Rsk en foncton de la structure de dépendance Applcaton à un cas réel : dentfer le copule multvaré sur les 8 sous portefeulles du portefeulle de crédts de la Socété Générale et l utlser pour calculer le captal économque ans que les contrbutons optmser un portefeulle de crédts à l ade des copules : à partr d un portefeulle ntal, détermner la part d un autre portefeulle à acquérr pour optmser l allocaton de captal Résultat : élaboraton d un rapport sur les copules avec les prncpaux algorthmes pour smuler et dentfer les copules dentfcaton du copule bvaré sur des dstrbutons de pertes provenant du smulateur de la Socété Générale optmsaton d un portefeulle de crédts composé de deux sous portefeulles homogènes à partr de leur structure de dépendance Mon rôle état donc d étuder les copules et de les rendre compréhensbles et utlsables par le reste de l équpe dans le but d une possble mplémentaton dans le smulateur de la Socété Générale Dffcultés et perspectves : 7

8 Il est pratquement mpossble de détermner la structure exacte de dépendance d une sére de donnée, on cherche à approcher le plus possble cette structure à l ade d une structure connue tels que les copules archmédens, Gaussen ou ben Student C est ce que l on fat lorsqu on utlse un test d dentfcaton : on ne détermne pas le copule emprque, mas le copule connu qu s en rapproche le plus Les prncpales dffcultés résdent dans le manque de copules multvarés (à ce jour, seulement le Gaussen et le Student sont utlsables, ans que le manque de données dsponble pour dentfer les copules Sur certans crédts par exemple, on ne dspose que d une centane d observatons, ce qu est nsuffsant pour utlser les dfférents tests Le copule est un outl récent, les promesses de ce domane est donc énorme, autant sur les types de copules que sur les tests En effet le test utlsé pour dscrmner le copule Gaussen et dentfer le Student ne date que de Jun 00, ce qu lasse magner les progrès possbles à venr Le passage du copule Gaussen vers le copule de Student (qu tend vers le gaussen quand le degré de lberté tend vers l nfn serat déjà une grande avancée en fnance En effet, JP Morgan et Lehmann Brothers sont les seuls organsmes fnancers suspectés d utlser les copules (et plus partculèrement le copule de Student pour prcer leurs dérvés de crédt Je pense donc que les copules seront largement utlsés par les banques et qu ls consttuent un domane d étude à ne pas néglger Les copules sont donc susceptbles d avor un mpact sur la fnance à long terme 8

9 DEPENDANCE : Lorsque l on évoque le concept de dépendance, le premer mot qu vent généralement à l esprt est celu de coeffcent de corrélaton lnéare de Pearson Ce coeffcent a pourtant ces lmtes car l sous entend que le monde est ellptque (dstrbutons Normales ou Student multvarées Il s agt d une mesure symétrque de dépendance lnéare alors que certanes dépendances ne le sont pas Exemple Les varables aléatores X de los normales centrées rédutes, et X², ben que dépendantes l une de l autre («comonotomes», présentent une corrélaton nulle au sens du coeffcent de Pearson Nous présenterons un autre coeffcent de corrélaton, à savor le coeffcent de Kendall, qu présente les avantages de demeurer nchangé sous l hypothèse d une transformaton strctement crossante des varables aléatores et d être un estmateur robuste du coeffcent de corrélaton lnéare de Pearson pour des dstrbutons ellptques Une mesure de dépendance dot en fat nous permettre de nous fare une dée de la structure de dépendance entre deux varables aléatores En toute rgueur, la dépendance entre deux varables est fonctonnelle, va, au chox : La densté jonte La foncton de répartton jonte La transformée de Laplace ou de Fourer Les los condtonnelles Le copule est une écrture «unformsée», c est à dre ndépendante des marges, de la foncton de répartton jonte de X et Y Elle est d une mportance crucale en fnance, car ce sont les dépendances qu nous ntéressent dans l étude des rsques Nous examnerons également les notons de tal dependence ou de dépendance de queue, très mportantes dans l étude des dépendances entre les valeurs extrêmes et drectement assocées aux copules 9

10 CORRELATION Le tau de Kendall est une mesure de la dépendance entre deux varables aléatores, mas contrarement au coeffcent de corrélaton lnéare, l ne dépend pas des los des deux varables étudés mas que de leur ordre Il est d une mportance fondamentale dans l étude des copules, car l exste une relaton analytque entre le taux de Kendall et le copule Tau de Kendall (corrélaton de rang : Défnton : le Tau de Kendall entre les varables aléatores X et Y est égal à la dfférence entre la probablté de concordance et la probablté de non concordance Pour les varables ( X, Y, le Tau de Kendall emprque est donné par : c d τˆ = c + d où c est le nombre de pares concordantes et d le nombre de pares non concordantes Pour un échantllon de n ponts ( x, y j, l y a n ( n pares de ponts (( x, y,( x j, y j avec < j La pare (( x, y,( x j, y j est concordante s ( x x j ( y y j > 0 et non concordante s ( x x ( y y < 0 # ˆ τ = j j {(, j : ( x x ( y y > 0, < j} # {(, j : ( x x ( y y < 0, < j} j j n( n j j proprétés : Pour toutes fonctons T et T strctement crossantes de τ ( X, Y = τ ( T ( X, T ( Y R R on a : Soent les varables aléatores X, Y de lo normale (ou ellptque de coeffcent de corrélaton lnéare de Pearson, alors on a la relaton suvante : τ = arcsn (cf [7] π La premère proprété sera de grande mportance dans l utlsaton des copules, et la deuxème permettra d utlser le Tau de Kendall comme estmateur du coeffcent de corrélaton lnéare En effet le Tau de Kendall est un estmateur plus robuste que l estmateur standard 0

11 Pour llustrer cela, nous allons smuler 3000 échantllons ndépendants de talles 90, de lo Student-3 bvarée de coeffcent de corrélaton lnéare 05 Pus nous allons estmer avec les deux dfférents estmateurs Estmateur standard : ˆ = n X n ( X Y X n X Y Y ( Y πˆ τ Estmateur de Kendall : ˆ = sn( Estmateur standard 0,8 0,6 0,4 0, 0-0, ,4-0,6-0,8 - Estmateur de Kendall 0,8 0,6 0,4 0, 0 0-0, ,4-0,6-0,8 -

12 Hstogramme : estmateur standard, en abscsse le coeffcent de corrélaton lnéare en % et en ordonnée le nombre de réalsatons Moyenne : Ecart type : 07 Estmateur de Kendall Hstogramme : estmateur de Kendall, en abscsse le coeffcent de corrélaton lnéare en % et en ordonnée le nombre de réalsatons Moyenne : 0497 Ecart type : 00

13 Concluson : Il est donc évdent au vu de ces résultats que l estmateur de Kendall est plus précs que l estmateur standard Il sera donc utlsé comme estmateur du coeffcent de corrélaton de Pearson pour les los ellptques, et pour évaluer la dépendance gaussenne pour les autres types de corrélatons Mes recherches ont donc perms de trouver une utlsaton nouvelle du tau de Kendall pour l équpe RISK/RCE Maîtrsant le tau de Kendall, nous allons mantenant exposer les copules, qu sont un outl mathématque qu permet de modélser la dépendance et qu utlse ce coeffcent de corrélaton de rang 3

14 (cf [3] [4] LES COPULES La dépendance entre les varables aléatores réelles X,, X n est totalement décrte par leur foncton de répartton jonte F(x,,x n = P[X x,, X n x n ] Consdérons les varables aléatores X,, X n de fonctons de répartton contnue F,, F n Cec permet d ntrodure le copule F(x,,x n = P[F (X F (x,, F n (X n F n (x n ] = C(F (x,, F n (x n Le copule est donc une écrture de la foncton de répartton jonte des varables aléatores X,, X n ndépendante de leurs dstrbutons (où marges En effet, on rappelle le résultat fondamental suvant : F (X est de lo unforme Défnton Le copule C est une applcaton de [0,] n [0,] qu vérfe ces tros proprétés : C(x,, x n est une applcaton crossante pour toutes les composantes x C(,,, x,,, = x {,, n }, x [0,] 3 Pour tout (a,,a n, (b,,b n [0,] n avec a b on a : = + + n ( C( x,, n= où x j = a j et x j = b j nn 0 j {,, n } En deux dmensons, on a : Un copule C de dmenson est une applcaton de [0,] [0,] qu vérfent C(u,0 = C(0,v = 0 u, v [0,] C(u, = u et C(,v = v u, v [0,] 3 Pour tout (u, v, (u, v [0,] avec u u et v v on a : C(u, v - C(u, v - C(u, v + C(u, v 0 Il exste un len entre la densté jonte et le copule : 4

15 f, ( x, y f ( x f ( y c, ( F ( x, F ( y X Y = X Y X Y X Y où c X, Y ( u, v = C X, Y u v ( u, v Théorème: Soent deux varables aléatores contnues X et deux fonctons strctement crossantes, alors ( h ( X, h ( X C( X X C =, X de copule ( C X, X S h et h sont Donc, l applcaton de transformatons crossantes ne modfe pas le copule mas seulement les marges C et Copules C, C, + C : + C sont les copules extrémaux de Fréchet : C + ( u, u = max( u + u C ( u, u = mn( u, u,0 C est le copule ndépendant : C ( u = u u, u Défnton : Soent C et C deux copules On dt que C est plus pett que C et on note C s et seulement s u, u C ( u, C C pour tout [ ] ( u Quel que sot le copule C, nous avons toujours la relaton ( u, u 0, C C C + Nous étuderons d abord les copules archmédens à dmensons et ensute nous généralserons à ceux de n dmensons ( avec n > 5

16 Copules Archmédens bvarés Sot Ψ la classe des applcatons défnes sur [0,] à valeurs dans [0, strctement décrossantes et convexes, pour lesquelles ϕ ( = 0 On désgne par Alors la foncton ϕ la foncton nverse de ϕ C ϕ + est le copule archméden de générateur ϕ + [, contnues, ( u, v = ϕ ( ϕ( u ϕ( v pour u, v ]0,] ( Famlle Générateur ϕ(t Espace de Copule bvaré C ϕ ( u, v Défnton de α Indépendant ln t Pas applcable uv Clayton (978, Cook-Johnson (98, Oakes (98 Gumbel (960, Hougard (986 Frank (979 > α t α α ln ( t α e t ln e α ( u α α α + v α / α { } α α exp [( lnu + ( lnv ] < α < ( e ln + α Tableau : Quelques copules archmédens à un paramètre et leur générateur αu αv ( e α e Fgure : Copule de Gumbel, ( u, v C Gumbel pour α = 6

17 La représentaton des copules en 3D ne présente pas de grand ntérêt, en effet elle est llsble Les courbes so-denstés quand à elles, fournssent l nformatons sur la structure de dépendance De plus on utlsera ces courbes dans un plan Norma-Normal (cf fgure 3 pour meux vsualser leur valeurs extrêmes ce qu est plus dffcle dans le plan Unforme- Unforme Exemple, pour le copule de Gumbel, les courbes de nveaux reflètent l asymétre de ce copule (cf fgure 3 : copule de Gumbel En effet, les pettes valeurs sont fortement corrélées (forme en «pque» du copule de Gumbel dans les pettes valeurs tands que les grandes ne le sont pas Il exste des paramètres qu permettent d estmer la dépendance des valeurs extrêmes suvant le copule 7

18 Exemple de courbes so-densté de copule 8

19 Le tau de Kendall ne dépendant pas des marges mas que de la structure de dépendance, l exste donc un len entre le paramètre α et τ pour les copules archmédens (cf annexe A Exemple : Smulaton de 000 varables aléatores de même tau de Kendall et de marges gaussenne ( = 60% Fgure 4 : copule gaussen Fgure 5 : copule Gumbel 9

20 La noton de tal dependence ou dépendance de queue Cette noton est très mportante dans l étude de la dépendance asymptotque entre deux varables aléatores Cela va nous permettre de vor le nveau de dépendance dans les valeurs extrêmes (upper tal dependence et dans les valeurs pettes (lower tal dependence Ce concept sera totalement basé sur celu des copules Upper tal dependence L objet est donc l étude de la dépendance dans la queue commune de la dstrbuton bvarée Prenons donc deux varables aléatores contnues X et Y ayant pour foncton de dstrbuton respectves F x et F y Le coeffcent d upper tal dependence de X et Y est défn λ u ( > F (u X > F (u = lm P Y Y X = lm u u s toutefos cette lmte λ u [0,] exste C(u, u u + u La quantté λ est une foncton du copule et est donc nvarante par transformaton crossante S λ (0,], l exste alors une dépendance asymptotque S λ=0, on dt qu l y a ndépendance asymptotque Le copule la plus fréquemment donnée en exemple dans la lttérature pour llustrer ce concept est celu de Gumbel Exemple pour le copule de Gumbel donc α α C Gu ( u, u = u (Rappel : α λ u α = lmu = lmu u + u u α u u On obtent donc : λ u u α = lm α u = u La dépendance augmente vers au fur et à mesure que α tend vers l nfn 0

21 A l nverse, le copule Gaussen par exemple ne présente aucune dépendance asymptotque Exemple pour le copule Student : Pour le copule de Student, nous avons une relaton entre la dépendance de queue ( upper tal dependence et le coeffcent de corrélaton lnéare de Pearson Nous en dédusons que λ = tν + U ( v + ( ( + / λ U > 0 : 0 s s > = Lower tal dependence En gardant, les mêmes notatons qu auparavant, le coeffcent de lower tal dependence de X et Y est défn comme étant ( Y FY ( u X FX ( u λl = lm P = lmu 0 u C( u, u u s cette lmte λ l exste Exemple pour le copule de Clayton C cl α donc ( u, u = u α α λ uu l = lmu 0 = lm α u 0 = α α α u α Le copule de Clayton possède donc un coeffcent de lower tal dependence λ = 0 pour Gumbel, ce qu confrme l nterprétaton des so denstés l

22 Chox du bon copule Après avor défn le concept de copule, on peut se demander comment détermner la structure de dépendance d une sére de données Il exste pluseurs méthodes qu permettent de fare le tr entre les dfférents copules archmédens à un paramètre Dans cette parte, nous allons exposer les deux méthodes qu nous parassent être les melleures Il s agt de la méthode utlsant la foncton de répartton du copule et de la méthode du maxmum de vrasemblance Foncton de répartton du copule (cas archméden Après avor calculé le Tau de Kendall de notre sére de données, on estme le paramètre du copule archméden que l on souhate tester (cf annexe A : relaton entre le tau de Kendall et paramètre des copules archmédens La foncton de répartton d un copule archméden bvaré est unque et est donnée par : K c ϕ( t ( t = P[ C( U, V t] = t U, V va de lo unforme ϕ' ( t On calcule la foncton de répartton emprque du copule et on la compare graphquement (ou ben avec un test de Kolmogorov Smrnov avec la foncton de répartton théorque K c Foncton de répartton emprque : z = nombre de pares { x, y } j j telles que x n j < x et y j < y K n ( z = { nombre de z z} n llustraton : On smule 000 varables aléatores unformes de copule de Gumbel de paramètre 7, et on teste cette méthode avec le copule de Gumbel et le copule de Clayton On calcule le tau de Kendall emprque ( τ = et on en dédut les paramètres du copule de Gumbel ( α = 6 et du copule de Clayton ( α =

23 lnt Copule de Gumbel : K Gumbel ( t = t( α / α Copule de Clayton : ( t = t + αt( t K Clayton 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 0 0, 0,4 0,6 0,8 Fgure 6 : foncton de répartton emprque et foncton de répartton théorque pour le copule de Gumbel 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 0 0, 0,4 0,6 0,8 Fgure 7 : foncton de répartton emprque et foncton de répartton théorque pour le copule de Clayton Dans cette exemple, l est donc évdent que le copule de Gumbel est plus proche que le copule de Clayton Cette méthode est graphque, elle présente donc l avantage d être vsuelle mas ayant estmé le paramètre du copule elle est mons précse que la méthode utlsant le maxmum de vrasemblance, qu est par alleurs plus facle programmer 3

24 Maxmum de vrasemblance Cette méthode consste, étant donné un échantllon de valeurs x, x,, xn à prendre comme estmaton de α la valeur de α qu rend maxmale la log-vrasemblance (cf Algorthme 5: log L( x, x,, x n ; α Justfcaton mathématque : cf [7] On utlse la même smulaton que pour la ere méthode, et on la teste avec la ème Copule Estmaton de α log-vrasemblance Gumbel 6 46 Clayton Al 5 Frank Gaussen Tableau : maxmum de vrasemblance pour 5 dfférents copules archmédens, (Cf algorthme 5 page 7 C est donc le copule de Gumbel, qu «ftte» le meux nos données Remarque : on trouve une valeur deα plus proche pour la ème méthode Concluson : Après pluseurs tests, on en dédut que la méthode du maxmum de vrasemblance est plus smple à mettre en oeuvre et donne de melleurs résultats pour les échantllons de grande talle De plus cette méthode n estme pas de paramètre, cela lu confère une plus grande robustesse En effet le len entre le paramètre du copule et le tau de Kendall n est pas toujours smple Elle présente auss l avantage d être utlsable pour les copules multdmensonnels, tands que la premère ne l est que pour les copules archmédens bvarés On utlsera donc cette méthode dans la sute du rapport pour ftter un copule 4

25 Copules multdmensonnels Après avor ntrodut les copules bvarés nous allons généralser les copules archmédens à n dmensons, pus présenter les copules multdmensonnels les plus courrant qu sont les copules Gaussen et Student, le but du stage étant de ftter un copule multvaré sur les 8 sousportefeulles de crédt de la Socété Générale, chaque sous portefeulle étant composé de crédts de même qualté (8 ratngs Copules de la famlle H n Pour smplfer, nous étuderons les los multdmensonnelles dont les marges sont unformes sur le carré unté [0,] Une premère généralsaton ntutve des copules archmédens de la forme ( à l ordre n 3 pourrat être de la forme : C ϕ ( n + n x,, x = ϕ ( ϕ( x + ϕ( x, 0 x,, x ( D après le théorème de Schwezer et Sklar, l applcaton de la forme ( est une foncton de répartton pour tout n 3 s et seulement s ϕ est complètement monotone, c est à dre : n ( k k t k ϕ ( x 0, k =, (3 En pratque, une modélsaton de cette forme n a pas grand ntérêt pusque les dépendances entre les sous-ensembles de varables aléatores de {X,, X n } ne sont pas mses en valeurs, seule une dépendance globale est prse en compte Pour cette rason nous allons donc étuder une famlle, notée H, de copules archmédens à l ordre n 3, proposée pour la premère fos par Joe (993,qu tent compte de toutes les dépendances entre les varables aléatores X,, X n S on note H n le copule archméden de dmenson n du vecteur aléatore (X,, X n, alors cette famlle est défne par : H n ( x,, xn = ϕ n ( ϕ ( H n ( x,, xn + ϕ ( xn n n ( n = n n n n + n n où H x,, x ϕ ( ϕ ( H ( x,, x ϕ ( x avec 0 x,, x l applcaton ϕ pour n appartent à la classe Ψ n n (4 et Proposton : Une applcaton H pour n 3 de type (4 est une foncton de répartton s et n seulement s les applcatons ( ϕ n oϕ n,,( ϕ oϕ sont complètement monotones Inconvénents de la famlle H n : 5

26 Prenons le cas de dmenson 3 H 3( x, x, x3 = ϕ ( ϕ [ ϕ ( ϕ( x + ϕ( x ] + ϕ ( x3 = H ( H( x, x, x3 ( v où H u, v = ϕ ( ϕ ( u + ϕ ( ( v et H u, v = ϕ ( ϕ ( u + ϕ ( donc : H 3( x, x, = H ( H( x, x, = H( x, x H x,, x = H ( H ( x,, x = H ( x, 3( 3 3 x3 3(, x, x3 = H ( H(, x, x3 H ( x, x3 H = On en dédut donc : Le couple ( x, x a comme structure de dépendance un copule de générateur ϕ Les couples x, et x, ont comme structure de dépendance un copule de générateur ϕ ( x3 ( x3 En généralsant au degré n on obtent donc : Structure de dépendance : Copule de générateur couples ϕ ( x, x ϕ x,, x, x, x ( x ( x ( ϕ x,, x, x n, x n ( x n ( x n ( n Il vent mmédatement que lorsque les marges sont gaussennes, la matrce de corrélaton est de la forme 3 n n n n n n n n n n 6

27 Les copules multdmensonnels appartenant à la famlle H n sont donc dffclement utlsables compte tenu des énormes contrantes qu portent sur la structure de dépendance des couples x, x ( j Dans le cas multdmensonnel, ms à part la famlle H n, l n exste dans la lttérature que deux autres types de copules : le Gaussen et le Student Le copule de Student a deux paramètres, la matrce de corrélaton Σ et le degré de lberté v, tands que le Gaussen n a que Σ Ces deux copules sont donc très proches, ls ont le paramètre Σ en commun et le copule de Student converge vers le copule Gaussen quand le degré de lberté tend vers l nfn Copule Gaussen Sot Σ une matrce dagonale défne postve avec dag Σ = et Φ la dstrbuton normale multvarée standard de matrce de corrélaton Σ Le copule Normale est alors défne de la façon suvante : C( u,, un; Σ = Φ ( Φ ( u,, Φ ( un La densté du copule Normale est : u T c( u,, un; Σ = exp( ζ ( Σ I ζ Σ avec ζ = Φ ( et I la matrce dentté de dmenson ( n n En deux dmensons, le copule Gaussen s exprme de la façons suvante C ( u, v = Φ ( u Φ ( v π ( s exp st + t ( dsdt Copule t de Student Σ se calcul à l ade du tau de Kendal des va X et πτ j X j On à la relaton Σj = sn( 7

28 8 Comme pour le copule Gaussen, le copule t (ou copule de Student est la foncton de dépendance assocée à la dstrbuton t multdmensonnelle Sot Σ une matrce dagonale défne postve avec dag = Σ et v t, la dstrbuton de Student multvarée standard à v degrés de lberté et de matrce de corrélaton Le copule Student est alors défne de la façon suvante : (,, ( ( ;,, (, n v v v n u t u t t u u C = La densté du copule t-copule de dmenson d et de degré de lberté ν est : [ ] [ ] = Γ Σ Σ + Γ + Γ = Σ d d d T d d y y y d u u c ( ( ( (( ( ( ((, ;,, ( ν ν ν ν ν ν ν ν où,,, ( d y y y = et ( u t y = ν Σ est la matrce de corrélaton lnéare = Γ 0 exp( ( dt t t x x! ( n n = + Γ ( ( ( Γ = + Γ k k k π = Γ ( En deux dmensons, le copule de Student s exprme de la façons suvante dsdt v t st s v u C v u t v t v v v ( ( (, ( (, ( = π

29 exemple : Copule gaussen marges gaussennes Fgure 8 : smulaton de 000 va de copule gaussen ( = 70% et de marges gaussennes Copule student-3 marges gaussennes Fgure 9 : smulaton de 000 va de copule Student ( v = 3 ; = 70% et de marges gaussennes Note : Les pontllés représentent les quantles à 05% 9

30 Dans la geston de portefeulle ce sont les «catastrophes» qu nous ntéressent, c est à dre la fréquence des évènements jonts extrêmes Ces catastrophes dépendent de la dépendance de queue du copule (cf chaptre «Tal dépendence» Les copules Gaussen et Student sont très dfférents du pont de vue de cette dépendance En effet l y a ndépendance des valeurs extrêmes pour le copule Normale tands que le Student présente une forte dépendance de queue Nombre de «Catastrophes» à 99% 995% Copule Normale 0 Copule Student-3 9 Tableau 3 : Nombre de valeurs extrêmes pour une smulaton de 000 va de copule Normale et Student de degré de lberté 3 (cf Fgure et Dans cet exemple, on réalse l mpact que peut avor le copule sur les valeurs extrêmes Le nombre de «catastrophes» à 99% (d 995% est multplé par (d 5 lorsque l on passe d une structure de dépendance Gaussenne à une Student de degré de lberté 3 30

31 ALGORITHMES L un des but du stage fut de réalser ces algorthmes qu permettent : - de smuler les copules archmédens bvarés - de smuler les copules de la famlle H n - de smuler les copules Gaussen et Student multvarés - de ftter un copule archméden - d dentfer le copule de Student Algorthme 0 : Algorthme permettant de générer deux varables aléatores unformes ( u, v dont la foncton de répartton jonte est un copule C ( On génère une varable aléatore u de lo unforme ( On génère une varable aléatore v de foncton de répartton C( u, v P( V v / U = u = u Remarque : En pratque l est dffcle d utlser cet algorthme, en effet on ne connaît que rarement la foncton de répartton condtonnelle Algorthme : Algorthme permettant de générer deux varables aléatores unformes ( u, v dont la foncton de répartton jonte est un copule archméden C de générateur ϕ ( On génère varables aléatores ndépendantes, s et q de los unformes ( ( ( On calcule t = KC ( q, ou K C ( q est l nverse de la foncton de répartton (3 On obtent donc la par ( u, v avec [ ] ϕ [ ] u = ( sϕ( t et v = ϕ (( s ϕ( t K C exemple pour un copule Gumbel de paramètre θ : ( On génère varables aléatores ndépendantes, s et q de los unformes lnt ( On résout q = t( θ (3 Et donc : u = t s ( θ et v = t ( ( s θ Algorthme : Algorthme permettant de générer des varables aléatores unformes ( u, u,, un dont la foncton de répartton jonte est un copule archméden multdmensonnel de la famlle H n On génère une varable aléatore q de lo unforme 3

32 ( Cθ ( K C θ On calcule t = K ( q, ou ( q est l nverse de la foncton de répartton On génère une varable aléatore de lo unforme s ndépendante de q [ ] θ θ [ ] θ On obtent donc a = ϕ ( sϕ ( t et u n = ϕ (( s ϕ ( t ( = C ( θ On calcule t K a On génère une varable aléatore de lo unforme s ndépendante de q et de s,, s [ ] θ θ On obtent donc a = ϕ ( s ϕ ( t et u = ϕ (( s ϕ ( t On calcule t K a ( n = C ( θ n n θ [ ] n+ θ θ On génère une varable aléatore de lo unforme sn ndépendante de q et de s,, s n [ ] n θ n On obtent donc u = ϕ θ ( s n ϕ ( t n et u = ϕ θ (( s n ϕ ( tn K C [ ] n θ n On obtent donc les varables ( u, u,, un de foncton de répartton jonte n C u, u,, u ; θ, θ,, θ ( n n Algorthme 3 : Algorthme permettant de générer des varables aléatores unformes ( u, u n dont la foncton de répartton jonte est le copule Gaussen de matrce de corrélaton Σ ( Applquer la décomposton de Cholesky à la matrce Σ ( A A = Σ, T Atrangulare nféreur ( Générer des varables aléatores ( z, z n de lo Normale centrée rédute (3 Calculer x = Az (4 Calculer u = Φ x pour =,, n : Φ la dstrbuton normale ( (5 On obtent donc les varables ( u,, u n de foncton de répartton jonte le copule Normale de matrce de corrélaton Σ Algorthme 4 : Algorthme permettant de générer des varables aléatores unformes ( u, u n dont la foncton de répartton jonte est le copule de Student de degré de lberté v et de matrce de corrélaton Σ 3

33 ( Applquer la décomposton de Cholesky à la matrce Σ ( A A = Σ, T Atrangulare nféreure ( Générer des varables aléatores z, z de lo Normale centrée rédute ( n (3 Générer une varable s de lo χ ndépendante de z, z (4 Calculer y = Az (5 Calculer x = v y s (6 Calculer u = t x pour =,, n v ( v ( n (7 On obtent donc les varables ( u,, u n de foncton de répartton jonte le copule Student de degré de lberté v de matrce de corrélaton Σ Ftter un copule : A Copules bvarés Algorthme 5 : Algorthme permettant de ftter un copule archméden C bvaré de paramètre α sur une sére de données ( Transformer les données ( X, Y en rang ( U, V, en utlsant la foncton de répartton emprque U n + n ( = { X } V ( = { Y } où {} = est la foncton ndcatrce n + ( Calculer le maxmum de vrasemblance : n = ˆ α = arg max L( α; U, V = arg max α R α R n = logc ( U, V où R représente les valeurs possbles de α (vor en annexe et C( u, v = C( u, v u v (3 On estmera chaque copule canddat par maxmum de vrasemblance On retendra comme «melleur» copule celu qu à la plus grande vrasemblance (crtère AIC - Akake s Informaton Crteron La dffculté résde dans le calcul de la densté du copule En effet pour certan copules archmédens on ne peut calculer une formule explcte de leur densté Exemple : densté du copule gaussen En utlsant la relaton entre la densté jonte et le copule 33

34 34 [ ] (, ( ( (, ( x F x F C x f x f x x f = dans le cas d une lo Gaussenne bvarée centrée rédute de coeffcent de corrélaton lnéare, on obtent : [ ] (, ( ( exp( x x e e x F x F C x x x x = + π π π La densté est donc : ( exp(,, ( + = x x x x u u C où = = ( ( u F x u F x B Copule multdmensonnel Identfcaton du t-copule de Student : Algorthme 6 : Algorthme permettant d dentfer un copule de Student de dmenson d sur une sére de données ( Transformer les données,, ( d d X X X = avec,, ( n X X X = en rang d U, en utlsant la foncton de répartton emprque { } + = = j n j X n F ( ˆ pour,, d j = où {} est la foncton ndcatrce On obtent donc : ( ˆ,, ( ˆ ( ˆ d d X F X F U = ( Estmer la matrce de corrélaton Σˆ en utlsant l estmateur de Kendall : ˆ sn( ˆ j τ j π = Σ où, ˆ, ˆ ˆ( ˆ j j U U τ = τ

35 (3 Utlser un calcul numérque pour trouver νˆ tel que : ( c( ˆ,, Σˆ n νˆ = arg maxlog U ν ν (, ] = On a la statstque : Λ vˆ v = log n ( 0 n = n = c( Uˆ, v, Σˆ c( Uˆ, vˆ, Σˆ 0 où vˆ est détermner à l ade du maxmum de vrasemblance en (3 et où v0représente 5 l hypothèse que l on souhate tester On prendra v0 = 0 comme approxmaton du copule gaussen Quand n tend vers l nfn, on a l approxmaton : Λ ( vˆ v χ n 0 35

36 CADRE FINANCIER On s ntéresse au rsque assocé au portefeulle de crédt de la Socété Générale Pour cela nous allons défnr le modèle de Merton à un facteur et consdérer que nous sommes dans le cas du portefeulle homogène Pus mous allons ntrodure le concept de Captal Economque, qu représente le «rsque» du portefeulle Et enfn nous allons utlser pluseurs types de structures de dépendance (ou copules pour évaluer le rsque lé a un portefeulle composé de deux sous portefeulles homogènes Portefeulle homogène modèle KMV Le modèle de Merton (publé en 974 Dans la théore de la frme, Merton nterprète les actons d une socété en terme d optons Supposons que l entreprse n at que deux classes de passf : les fonds propres et la dette, consdérés comme homogènes (notamment, de même maturté La socété promet le remboursement de la dette aux créancers à maturté A cette unque date, ou ben la valeur de la frme est supéreure à la valeur facale de la dette, qu peut alors être remboursée les actonnares reçovent donc la dfférence entre cette valeur et la dette ou ben la frme fat défaut, les créancers s emparent des actfs de la socété et les actonnares n ont ren En termes fnancers, les actonnares détennent un call (une opton d achat sur l entreprse de strke (ou prx d exercce la dette et de maturté celle de la dette V E (captalsaton boursère V D (valeur de marché de la dette V A (valeur de marché des actfs Fgure 0 : captalsaton boursère en foncton de la valeur de marché des actfs 36

37 Modèle de la frme à un facteur : Sot un portefeulle de crédts composé de N oblgors Le défaut de chaque contreparte dépend de la valeur de sa frme à échéance V (T, la contreparte fat défaut s la valeur de sa frme est nféreur a un seul s donc s : V ( T s Dans le modèle de la frme à un facteur, la valeur de la chaque contreparte dépend d un facteur Y et est égale à : V ( T = Y + ε N où Y et ε, N suvent une lo normale centrée rédute Remarques : Les valeurs des actfs de deux oblgors et j avec lnéare j ont pour coeffcent de corrélaton Pour une réalsaton de Y donnée, les valeurs des actfs sont ndépendantes Défnton : Un portefeulle est homogène s les N contrepartes qu le composent ont - même probablté de défaut - même exposton - des corrélaton dentques C est donc le cas partculer du modèle de la frme à un facteur où tous les oblgors ont même seul s et même exposton E Pour smplfer nous allons consdérer que E = Le taux de défallance du portefeulle sachant Y est donc égale à : L( Y N { ( T s Y } V = = N { V ( T s Y } pour N sont des varables aléatores ndépendantes de même lo, donc en utlsant la lo des grands nombres on a : 37

38 ( V ( T s Y L Y E ( { } Pour un portefeulle homogène de talle mportante on a donc : L (Y = E { } ( V ( T s Y = P( V ( T sy = P( Y + ε s s Y = P( ε s Y donc : L (Y = N ( où N est la foncton de répartton de la lo normale centrée rédute Calculons la foncton de répartton de L s Y P( L x = P( N ( x s N ( x = P( Y N ( x s = P( Y N ( x s donc : P( L x =N ( on en dédut que L a pour densté : f ( x = exp ( N ( x ( s N ( x KMV (Kealhofer McQuown Vascek est le nom le plus souvent donné à ce type de lo Algorthme : Algorthme permettant de générer une varable aléatore de lo KMV de seul s et de corrélaton ( Générer f varable aléatore de lo Normale centrée rédute 38

39 s f ( Calculer L = N ( (3 On obtent donc la varable aléatore L de lo KMV de seul s et de corrélaton remarque : f est appelé facteur de la lo KMV Proprété : La structure de dépendance de deux los KMV est la même que la structure de dépendance de leurs deux facteurs f et f Démonstraton : Sot deux varables aléatores L et L de lo KMV s L = N ( f avec { ;} f et f étant des varables aléatores symétrque, en ntrodusant les fonctons h on a donc : s L = h ( f = N ( + f avec { ;} h et h sont des fonctons strctement crossantes, donc d après le théorème prncpal sur les copules, on a donc : ( h ( L, h ( L C( L L C =, De cette proprété on en dédut l algorthme Algorthme : Algorthme permettant de générer deux varables aléatores de lo KMV de seuls s,s de corrélaton, et de structure de dépendance un copule C ( Générer u et u deux varables aléatores unformes de structure de dépendance le copule C (cf smulaton de copules algorthme ( Calculer f = N u et f = N u ( ( s f s f (3 Calculer L = N ( et L = N ( (3 L et L sont donc les deux varables aléatores recherchées 39

40 Captal économque : La défnton la plus répandue du captal économque d un portefeulle de crédts utlse la noton de quantle de la dstrbuton des pertes Pour un portefeulle de talle, le captal économque à α % est égal a la dfférence entre le α -quantle de la dstrbuton des pertes et l espérance des pertes, plus précsément : EC (α = qα ( L E( L α où : q α (L = nf y P[ L > y] > 00 C est donc le captal dont dot dsposer la banque pour couvrr α % de ses pertes Remarque : la noton de α -quantle est équvalente à celle de la VaR (Value at Rsk à α % q α (L = VaR α % ( L Proprété : Sot f une foncton crossante et L une varable aléatore, alors VaR % ( f ( L f ( VaR % ( L α = exemple : Captal économque à 90% pour un portefeulle de crédt dont la dstrbuton des pertes sut une lo KMV α Dstrbuton des pertes 0 E(L 0, 0,4 q(90% 0,6 0,8 CE(90% En rsk management, on retendra une valeur de 9998 pour α, ce qu représente la probablté de défaut à 3 ans d une entreprse notée AA L espérance des pertes au dessus d un seul K peut être une autre défnton du captal économque : EC K = E[ L / L > K] 40

41 Captal margnal : Sot deux portefeulles de crédt P et P, alors le captal margnal du portefeulle P est égal à la dfférence entre le captal économque du portefeulle composé de P et P et le captal économque du portefeulle P CM ( P = EC( P + P EC( P Le captal margnal représente donc l ncrément de captal lé à l acquston de P, partant de P Contrbuton : Nous allons défnr la noton de contrbuton dans le cadre de lo Normale, mas pour cela nous allons exposer la proprété de la VaR dans ce cadre Sot N σ, une varable aléatore de lo Normale centrée d écart type σ, on a le résultat suvant VaR = α ( Nσ kα σ Donc s la dstrbuton des pertes d un portefeulle P de montant E sut une lo N( m, σ alors : CE = α ( P = VaRα ( Nσ * E E kα σ Sot un portefeulle P composé de sous portefeulles P et P de montants E et E Le captal économque étant homogène en foncton de E et E, on a donc d après le théorème d Euler : CE CE = E + E E CE E Sot σ l écart type du portefeulle P, on a donc la relaton : + σ σ σ = ( σ + σ où σetσ sont les écarts types respectfs des portefeulles P et P En posant σ = E s σ = E s 4

42 On a donc : CE E E = E s + E E s s σ cov( L, L EC = EC Var( L avec { ;} où L et L sont les los des pertes des portefeulles P et P La contrbuton du portefeulle P dans le portefeulle total est donc : cov( L, L Cb = * CE( SG Var( L + M 4

43 Identfcaton de la structure de dépendance entre le portefeulle SG et une tranche d ABS Il s agt d dentfer la structure de dépendance (copule entre le portefeulle de la Socété Générale et un autre portefeulle représenté par une tranche d ABS Ans on pourra calculer le captal margnal et comparer les résultats obtenus avec le cas Gaussen Pour cela on dspose de couples de données représentant les pertes des deux portefeulles Après avor maxmsé la vrasemblance pour les dfférents copules archmédens (algorthme 5, page 8, on constate que le copule qu satsfat le crtère AIC est le Gaussen Nous avons ensute utlsé le test d dentfcaton du copule de Student (algorthme 6, page 8 Ce test nous permet de détermner, avec une erreur fxée, l ntervalle auquel appartent le degré de lberté du copule de Student ans que celu qu maxmse la pseudo vrasemblance Erreur de % Erreur de 005% ν [8 ;30] [6 ;35] Tableau 4 : ntervalle de v, maxmum attent pour = v (cf fgure, Test % 0,05% Fgure : test d dentfcaton du copule de Student entre le portefeulle SG et une tranche d ABS, en abscsse le degré de lberté Dans notre étude, nous prendrons comme tranche d ABS (Asset Back Securte un portefeulle homogène 43

44 SIMULATION Pour des rason de confdentalté, nous allons supposer que les deux portefeulles homogènes suvants, représentent le portefeulle de la socété générale ans que celu de la tranche d ABS : Probablté Corrélaton entre les actfs Montant de défaut P(SG % 30% 000 P(ABS 3% 40% 00 On prendra une corrélaton de 5% entre les facteurs Pour calculer le captal économque et le captal margnal, nous prendrons pour structure de dépendance des facteurs un copule de Student de degré v Pour alléger le temps de calcul, nous prendrons un captal économque à 99% : EC 99% = ( VaR Pm * E ( 99% où Pm et E sont les pertes moyennes et le montant total du portefeulle Calcul du captal margnal et de la contrbuton de l ABS en captal à 99% pour de smulatons CM ( 99% = EC99% ( SG + ABS EC99% ( SG Cb cov( LABS, L 99% = Var( L * EC99 ( SG ABS SG+ ABS ABS ( % + SG+ ABS 44

45 smulatons 0 Captal margnal et contrbuton Degré de lberté Fgure : la courbe du haut représente les contrbutons et celle du bas le captal margnal Les deux drotes, représentent le cas ou la structure de dépendance des facteurs est le copule gaussen Ben que les courbes ne soent pas trop lsses, on remarque que lorsque le degré de lberté tend vers l nfn, on converge vers le copule gaussen Néanmons l est possble de lsser les courbes en fasant la moyenne de pluseurs smulatons Voc les résultats pour la moyenne de 30 smulatons de de smulatons chacune moyenne de 30* smulatons Captal margnal et contrbuton Degré de lberté 45

46 Sur ce portefeulle, s l on prenat comme structure de dépendance un copule de Student de degré de lberté 5, on multplerat le captal margnal (resp la contrbuton par 7 (resp 3 A partr de ces résultats, on peut recalculer le captal margnal et comparer avec le cas gaussen : degré de varaton du varaton de lberté captal margnal la contrbuton 6,5% 9,0% 7,45% 8,44% 8 0,54% 7,98% 9 9,66% 7,58% 0 8,7% 7,% 8,7% 6,86% 7,49% 6,56% 3 6,69% 6,4% 4 6,0% 5,98% 5 5,69% 5,78% 6 5,% 5,5% 7 4,47% 5,3% 8 4,% 5,08% 9 3,66% 4,9% 30 3,3% 4,84% 3,79% 4,65% 3,55% 4,49% 33,3% 4,33% 34,76% 4,4% 35,40% 4,06% Ben que les degrés de lberté du copule de Student soent élevés, on constate que les varatons sont mportantes : entre % et % d augmentaton du captal margnal Les varatons des contrbutons sont elles, beaucoup mons mportantes : entre 4% et 9% Cependant, les varatons du captal margnal dépendent de la corrélaton entre les facteurs Dans cet exemple, on à fxé une corrélaton de 5%, nous allons mantenant calculer le captal margnal en la fasant varer 46

47 Calcul du captal margnal en foncton du coeffcent de corrélaton lnéare : Sot portefeulles homogènes de caractérstques : Probablté Corrélaton entre les actfs Montant de défaut P(SG % 30% 50 P(ABS % 50% 0 Pour nos calculs, le nombre de smulatons est de 30 fos de smulatons Fgure 0 : captal margnal en foncton du coeffcent de corrélaton lnéare (en% - Courbe du haut : copule Student de degré de lberté 5 de paramètre - Courbe du mleu : copule Gaussen de paramètre - Courbe du bas : copule de Gumbel de paramètre π arcsn 3,5 3,5,5 0, Fgure 0 : Captal margnal en foncton du coeffcent de corrélaton lnéare (en% 47

48 3,5 3,5,5 0, Fgure : Contrbuton en foncton du coeffcent de corrélaton lnéare (en% Remarques : - le copule de Gumbel est à ttre ndcatf - le copule de Student est susceptble d être utlsé par la Socété Générale, nous nous ntéressons donc aux dfférence de celu-c avec le Gaussen Concluson : les dfférences entre les copules Gaussen et Student sont mportantes lorsque la corrélaton est fable En effet, lorsque la corrélaton est nulle, les varables aléatores sont ndépendantes dans le cas du copule Gaussen, ce qu n est pas le cas avec le copule de Student Dans le cas ou les corrélatons sont élevés, les dfférences sont très fables Les contrbutons sont elles mons sensble au copule lorsque les corrélatons sont fables Nous avons donc constaté que seul les copules Gaussen et Student sont utlsables dans le cas multdmensonnel Une deuxème étude m a donc état confé à la m septembre Elle consste à calculer la probablté de défaut jonte de deux entreprses en utlsant une approche de type «marché» 48

49 II CALCUL DES PROBABILITES DE DEFAUT JOINT Résumé : Lorsqu une banque accorde un crédt garant ou ben lors de dfférents autres types de contrats, elle dot tenr compte de la probablté de défaut jont, c est à dre la probablté pour que l oblgor et le garant fassent défaut a la même pérode Dans le cas où ls sont fortement corrélés (par exemple une mason mère et sa flle, cette probablté n est pas néglgeable En se basant sur le modèle de la frme de Merton, nous avons consdéré que les actons d une socété étaent assmlables à un call sur l entreprse de strke la dette et de maturté celle de la dette, et que l on peut donc modélser le logarthme de la valeur des actons d une entreprse par un mouvement Brownen smple Toujours d après la même théore, le coeffcent de corrélaton lnéare des deux los Normales génératrces des deux mouvements Brownens est égale au coeffcent de corrélaton lnéare du logarthme des rendements des frmes, c est à dre au logarthme du rendement de leurs valeurs en bourse On peut donc, en smulant deux mouvements Brownens «corrélés» représenter la valeur de leurs actfs Il ne reste plus qu à détermner la valeur de leurs dettes (ou barrères pour détermner la probablté de défaut jonte Enjeux : Aujourd hu les probabltés de défaut jont sont calculées à partr de la lo Normale bvarée, L nconvénent est qu elle est réputée sous estmer la fréquences des défauts jonts, de plus, ne dsposant pas d autre modèle, on ne peut donc pas évaluer sa valdté L enjeu est donc de dsposer d une autre approche plus précse pour évaluer les défauts jonts Ma msson consste donc à: Etuder le modèle de barrère contnue de M Avallaneda et J Zhu A partr de ce modèle, détermner la barrère contnue à dx ans pour chacune des 7 notatons nternes de la Socété Générale (notatons équvalentes à celles des agences de notatons, Standard & Poors, Moody s Mon but sera de calculer la probablté de défaut jont par année de deux entreprses à partr de leur coeffcent de corrélaton lnéare (on ne peut dans ce cas utlser les copules car les 49

50 actfs sont représentés par un mouvement brownen Je pourras alors comparer ces valeurs avec celles obtenues par la méthode «classque» de la lo normale bvarée Résultat : j a détermné la barrère affne à 8 ans avec un pas de temps d un an pour les notatons 7 et 4 (cas le plus courant pour un oblgor garant avec une erreur relatve de l ordre de 05% pour la notaton 7 et de % pour la 4 j a ms en place un programme qu calcule par smulaton de Monte Carlo la probablté de défaut jont à 8 ans, d un oblgor de notaton 7 et de son garant de notaton 4 pour une corrélaton rhô donnée j a comparé ces résultats avec la méthode «Gaussenne» : contrarement à ce que l on pourrat penser, les résultats obtenus avec la méthode de la Normale bvarée sont proches de ceux obtenus avec la méthode de la barrère affne Dffcultés rencontrées : A l orgne, le but de ma msson état de détermner les barrères contnues pour chacune des notatons nternes de la Socété Générale Je devas pour cela reprodure la méthode utlsée dans l artcle «Dstance to default» (cf [8] Après avor passé plus de deux semanes à tenter de résoudre ce problème, je n a réuss, en fn de compte, à ne détermner que la barrère affne par morceaux, pus on m a demandé de calculer par smulaton les probabltés de défaut jont entre deux entreprses de notaton 7 et 4 (équvalentes à des notaton CCC et A pour Standard & Poor s Ce n est que plus tard que je me sus aperçu que la barrère contnue n avat pas grand ntérêt pour le calcul de ces probabltés et que le modèle affne suffsat amplement J a donc perdu du temps sur ce calcul alors que j auras pu dès le début me satsfare d une méthode plus smple basée seulement sur des smulatons Ce fut donc lors smulatons que j a rencontré la prncpale dffculté de cette étude En effet, les probabltés de défaut de la notaton 4 étant très fable, l me fallut réalser un nombre de smulaton très mportant pour obtenr les résultats recherchés, ce qu a énormément augmenté les temps de calcul Pour paler ce problème, j a utlsé deux ordnateurs pour effectuer mes smulatons, cela m a ans perms de détermner les barrères en une semane seulement 50