Corrigé de l épreuve de mathématiques du baccalauréat. Section : Mathématiques. Session de contrôle 2016

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1 Corrigé d l épruv d mathématiqus du baccalauréat Sction : Mathématiqus Sssion d contrôl 016 Exrcic 1 1) a) On sait qu OCID st un losang donc DI DO t OIDA st un losang donc IO ID, il n ID IO résult qu DI DO OI par suit l triangl DOI st équilatéral donc c qui ID, IO 3 prouv qu R D O. L triangl DOI st équilatéral t J st un cntr d symétri du losang OCID donc OCI st un IO IC triangl équilatéral donc c qui prouv qu R O C. IO, IC 3 b) L triangl DAO st équilatéral dirct (L symétriqu d DOI par (DO)) d donc son imag par R R O Ct st un triangl équilatéral dirct (L symétriqu d COI par (CO)) t puisqu R D O, l triangl OBC st équilatéral dirct donc l imag du triangl DAO par R st l triangl OBC, on n déduit qu R A B. ) a) g A S S S A S S A S B C. OL OI AD OL OI OL g D S S S D S S D S C B. OL OI AD OL OI OL b) g SOL SOI SAD SOL t S DJ OL t t puisqu DC st dirctur d (OL), il n DC résult qu g st un symétri glissant d vctur DC t d ax (OL). 3) a) st la composé d dux similituds dircts (R t h) d rapports rspctifs 1 t 1 t d un 1 similitud indirct g 1 1 d rapport 1 donc st un similitud indirct d rapport donc ll admt un cntr t puisqu C st l cntr d. 1 b) B R h g B R h D R J K. C R h g C R h A R O C, on n déduit qu c) h S AC st la composé d un similitud dirct t d un symétri orthogonal (similitud indirct) donc c st un similitud indirct h S AC C C φc d plus h S AC B h I K φb, on n déduit qu φ h S AC. C B

2 4) Soit D l miliu d [OB]. ABCD st un rctangl donc son imag par st un rctangl φ A h S AC A O φb K t OKCD st un rctangl, il n résult qu l imag du rctangl ABCD φc C par st l rctangl OKCD. Exrcic 3cos 9 sin 9 cos 9 sin 9 donc M st un point d (E). 1) a) b) xm x P. y M y N c) T : 3cos x 9sin y 9 x cos 3ysin 3. y 0 y 0 H x, y T O,i 3, il n résult qu x cos 3y sin 3 x cos ) a) x 0 x 0 K x, y T O, j 1, il n résult qu x cos 3y sin 3 y sin b) HK. cos sin cos sin 3) a) La fonction f st dérivabl sur 0, t 3 H,0. cos 1 K0,. sin cos sin cos sin 18sin cos 3sin cos f 4sin cos sin cos sin cos sin b) L sign d f st clui d f 0 sin , 0, f f 16 4sin 1 sin 1 sin 1.

3 D après l tablau d variation HK st minimal si t sulmnt si. 6 c) Voir figur. Exrcic 3 1) Soit r l rst d a (mod 5). 4 On a a st prmir avc 5, donc r 1,,3,4 or r 5 1 t 5 st prmir donc r 1mod Puisqu a r mod 5, il n résult qu a 1mod5. ) a) q pmod 4t p q q 4n p,n. q 4np 4n p p a a mod5 a.a mod5 a mod5. b) Soit r l rst d a modulo, donc r 0,1 Si q r 0alors a a 0mod t si q r 1alors a a 1mod On n déduit qu q a a mod a a 0 mod a a 0 mod 5, on n déduit qu q a a 0 mod 5 a a mod c) On a donc a a mod 5 ncor a a mod10. 3) a) b) 5x 1y divis 1 y donc 5x 1 1y 1 (*) donc 5divisy 1 donc y 5k 1, k En rmplaçant y dans (*), on obtint x 1k 1, k. S 1k 1,5k 1,k Ainsi c) A 1k 1,5k 1,k Exrcic 4 d) 1k 1t 5k 1, k, donc 4k 1) a) La fonction v : x ln x st dérivabl sur v ou α β on déduit d après ) qu 0, n particulir n v x ln x 1 lim lim v. x x x x n n mod10., il n résult qu

4 b) x x lim x f x ln x ln x lim lim., or x x ln x x ln x x, il n résult qu x x f x ln x ln x lim lim. x x ln x x lim x ln x x ln x d absciss un dmi-tangnt vrtical. vx v ln x 1 c) lim lim v. x x x x x x t. La courb C f admt au point f x ln x ln x lim lim.. On n déduit qu f n st pas dérivabl à x x ln x x droit n. ) La fonction f st dérivabl rspctivmnt n t d plus f s annul rspctivmnt n t n changant d sign donc ls points C t D sont dux points d inflxions d C. 3) a) Voir figur. b) Voir figur. 4) a) La fonction g st dérivabl sur, 4 4 t g x cos x 0 donc g st continu t strictmnt croissant sur, 4 4 par suit ll réalis un bijction d, 4 4 sur g, g,g, b) g st strictmnt coissant sur, 4 4 g st dérivabl sur, 4 4 donc h st dérivabl sur gx 0 sur, 4 4 f g,,. 4 4

5 h x y g y x 1 1 hx avc x, x, ghx cos y y, y, sin y x sin y x cos y 1 x x, x, x,. y, 4 4 y, y, 4 4 sin y t x d mêm sign On n déduit qu hx. 1 x c) La fonction u st dérivabl sur 1, 1 d) 1 1 ln x u x h. x ln x x x ln x 1 t 1 dx u x u u h h. x ln x ln x A f x dx dx 1 1 x 5) a) On pos u x ln x ux v x 1 x v x ln x x ln x ln x ln x ln x A ln x ln x dx dx x ln x x ln x b) Pour tout qu 1 fx x,, ln x x ln x x ln x ln x ln x ln x f x. x x ln x x ln x x ln x, il n résult ln x c) A dx dx f xdx A x ln x x ln x A ou ncor A 1ua., il n résult qu 1 1 1

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