Mathématiques Sciences Techniques Corrigé de la session principale Juin 2013

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1 Mathématiqus Scincs Tchniqus Corrigé d la sssion principal Juin 03 Exrcic I) ) c Rmarqu : Par un lctur graphiqu on put détrminr ls variations d la fonction f, puis établir l sign d f '(x) : Sur,0f st strictmnt décroissant, donc f '(x) 0, pour tout x, 0. Sur 0, f st strictmnt croissant, donc f '(x) 0, pour tout x 0,. Sur 0,f st strictmnt décroissant, donc f '(x) 0, pour tout x 0,. Sul l graphiqu n c) corrspond au sign d f '(x), donc la courb d f' st cll donné n c). ) a Rmarqu : L air chrché st égal à 0 0 II) ) c ) a Rmarqu : f '(t)dt f (t) f () f (0) 3 ( ) unitéd'air. L équation (E) st d la form : z Sz P 0 où S z z ( i) t P zz 3 3 i. 5 i 5 arg(z z ) arg( ( i)) arg( ) z z 3 3 i Exrcic L spac st rapporté à un rpèr orthonormé dirct O,i, j,k. x On a : (,, ), (5,,3) t C (,, ) t la droit : y ; z (P) st l plan passant par t prpndiculair à la droit. ) a) L vctur u st un vctur dirctur d la droit t puisqu l plan (P) st prpndiculair à, donc u st un vctur normal au plan (P). On a alors (P) : x y z c 0.

2 (,, ) (P) 8 c 0 c insi (P): x y z 0 b) (5,,3) ; 5 ( ) 3 0 d'où (P) C (,, ) ; 90 d'où C (P) c) En prnant 0 dans ls équations paramétriqus d on obtint l point C, donc C. On rmarqu qu tout point d a son absciss x st égal à son côt z. Or x z d où (,, ). )a) (P): x y z 0. 3)a) D (3,,3) ; d'où D (P). CD u, d où CD st un vctur normal à (P). (CD) (P) D (P) C (P) d où l point D st l projté orthogonal d C sur l plan (P). 8 b) On a : C 3 ; D ; C D t. 0 0 ( C D) D où ls vcturs C, D t n sont pas coplanairs, par suit ls points,, C t D n sont pas coplanairs. 8 c) v ( C D). 3 unité d volum. 6 6 ; D 0 on a :.D ( ) ( ) 0 0. D où ls droits (D) t () sont prpndiculairs. Par conséqunt b) On a ; CD d d(d;()) D (3 ) ( ) (3 ). ( ) 8 3 t CD 9 3. dcd v. 6 6

3 Exrcic 3 ) a) i i (i) 8i 8i b) z ( i)z 6i 0. Calculons l discriminant : ( i) ( 6i) i i 8i i 3i 8i i δ ( i) ( i) ( i) ( i) ( i) z i ; z 3 3i. ), t C ls points d affixs rspctivs z 3 3i, z i t z C ( 3) ( 3)i. a) z z ( 3) ( 3)i (3 3i) ( 3) ( 3)i. C z z i (3 3i) i ( i). zc z ( 3) ( 3)i z z ( i) ( 3) ( 3)i ( i) ( i)( i) ( 3) ( 3)i ( 3) ( 3)ii i( 3 3) 8 3 ( 3) i 8 z z 3 3 C On a donc i d 'où zc z i (z z ). z z i d 'où i t arg( i ). 3 i b) 3 3 c) On a zc z i (z z ) Par suit C. 3 d où zc z i z z zc z 3 D autr part on a i. z z z z 3 arg arg i. z z 3 C lors

4 z z z z 3 C Or arg (, C) d 'où (, C) d où C st un triangl 3 L triangl C st tl qu C t (, C) équilatéral. z z 3 3i ( i) 3) a) i zω d où st l miliu du sgmnt. b) Placr ls points,,, C t D. c) D st l symétriqu du point C par rapport à Ω, d où Ω st l miliu du sgmnt CD. Ls diagonals t CDdu quadrilatèr CD s coupnt n lur miliu Ω, d où CD st un parallélogramm. On a aussi C C, d où CD st un losang. d) L air du losang CD st égal à DC ΩC. z z ( i). C ΩC z z 3 ( 3)i ( i) Ω 3 3 i 3 i 3 6. ΩC D où L air du losang CD st égal à 6 3 unitéd'air.

5 Exrcic f la fonction défini sur par f (x) (x ). ) a) x x lim f (x) lim (x ). x f (x) (x ) x lim lim lim ( ). x x x x x x D où la courb (C) admt un branch paraboliqu d dirction l ax (O, j). b) lim f (x) lim (x ) x x lim x x x x x x lim x x lim 0, car lim t lim 0 x x x x x x x x D où la droit d équation y = 0 (l ax ds abscisss) st un asymptot horizontal à la (C) courb au voisinag d +. x ) f (x) 0 (x ) 0 x 0 x ; d 'où E(, 0) f (0) ; d'où F(0,). 3)a) x x x f '(x) (x ) x ; x. L sign d f '(x) st clui d puisqu 0, pour tout x.

6 x ; b) f '(x) x x. x x x. f ''(x) x (x ) ; x. x f ''(x) 0 (x ) 0 x 0 x. f '' s annul n n changant d sign, d où l point K(, f ())st un point d inflxion pour la courb (C). c) La courb (C). K(, ) ) On pos I 0 t dt t pour tout * n ; I (t ) n t dt n. a) t t I0 dt. b) n t I n (t ) dt. n n On pos : u(t) (t ) u '(t) (n )(t ) t t v'(t) v(t) En appliquant la formul d intégration par partis on a :

7 n t n t I n (t ) (n ) (t ) dt n (n ) I n n insi pour tout n, I n (n ) I n. 5 c) I I I I ( ). 5) On désign par (D) l domain du plan limité par la courb (C), l ax ds abscisss t ls droits d équations x t x. a) Voir figur. b) x 6 π (f (x)) dx π (x ) dx π I π( ).