Exercice 1 : Je dois signaler qu il manque une indication aux données de cet exercice.

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1 Exrcic : J dois signalr qu il manqu un indication aux donnés d ct xrcic AB, AC 6 Il fallait signalr qu ABCD st un rctangl d cntr O tl qu AB, AC 6 a) ABCD st un rctangl d cntr O tl qu CD, CO 6 donc Or OCID st un losang donc CI = CO t comm I miliu d [CD] alors I st miliu d [OI] donc ^ ^ (CD) st la médiatric d (OI) d où CI, CO CD, CO 3 Ainsi, IOC st un triangl équilatéral dirct d où R(O) = C AOID st un losang donc D st l symétriqu d C par rapport à (OI) donc IDO st un triangl équilatéral dirct d où R(D) = O b) Comm (OI) st la médiatric d [CD] alors IA = IB (IA) st la bissctric intériur d l angl ID, IO D mêm (IB) st la bissctric intériur d l angl ^ ^ IO, IB IO, IC 6 ^ ^ ^ D où IA, IB IA, IO IO, IB Par suit, R(A) = B 3 6 donc IA, IO ID, IO IO,IC a) OLOIAD OLOI OL g A S S S A S S A S A D g D S S S D S S D S C B OL OI AD OL OI OL donc b) g st la composé d trois symétris orthogonals donc g st un antidéplacmnt g ga g D B A donc g n st pas un symétri orthogonal D où g st un symétri glissant Soit l ax d g t u u l vctur d g g g t t g g A B donc u AB donc g(a) = D donc l miliu d [AD] appartint à g(d) = B donc O l miliu d [DB] appartint à ^ comm O n st pas l miliu d [AD] alors OL ^ u AB OL ^ ^ ^ ^ wwwmathscondairtn 06 / 8

2 3 a) R h R h g st un similitud dirct d rapport st un similitud indirct d rapport C R h g C, g A C g C A R h A, CO CA h A O R O C Comm l rapport d st différnt d alors C st l cntr d b) Soit K l miliu d [IC], B R h g B, g D B g B D t g st un similitud indirct d rapport donc R h D, CJ CD h D J R J, J miliu d [IO], K miliu d [IC] t R(O) =C donc R(J) = K K c) h S AC st un similitud indirct d cntr C t h S B h I car OBCI st un losang AC K Ainsi, h S AC car K miliu d [IC] B On a : A h S ACA ha O, t DS h DS AC ACJ, AC AC Donc A M K C, C S I B t J miliu d [IO] donc S J = M st l miliu d [OB] Ainsi, l imag du rctangl ABCD par st l rctangl OKCM Exrcic : a) 3cos 9 sin 9 cos 9sin 9 cos sin 9 donc M st un point d (E) b) Voir figur ci-dssous wwwmathscondairtn 06 / 8

3 c) Un équation d la tangnt (T) à l llips (E) n M st 3cos x 9 sin y 9 xcos3ysin 3 3 a) (T) coup l ax ds abscisss n H donc yh 0 t cos x H 0 3 xh cos donc 3 H,0 cos (T) coup l ax ds ordonnés n H donc xk 0 t 0 3yK sin 3 yk sin donc K 0, sin b) 3 9 HK 0 0 cos sin cos sin 9 cos sin, 0, 3 f a) Pour tout 0,, sin cos cos sin 9sin cos 9sin cos f cos sin cos sin cos sin 3sin cos 3sin cos 3sin sin 3sin cos 3 3 cos sin cos sin sin 3sin cos 3 cos sin wwwmathscondairtn 06 3 / 8

4 b) Pour tout 0, f 0 sin 0 sin sin 6, D autr part l sign d f sur 0, st clui d sin sin f Donc, la distanc HK st minimal si t sulmnt 6 c) On prnd 6 : 3 3 T : x y 3 wwwmathscondairtn 06 / 8

5 Exrcic 3 : a st un ntir naturl non nul t prmir avc 5 donc a 5q r, r,,3, Si a 5q, alors 3 3 a 5q 65q 500q 50q 0q 5 5q 00q 30q q donc a mod 5 Si a 5q, alors 3 3 a 5q 65q 000q 600q 80q 6 5 5q 00q 0q 6q 3 donc a mod 5 Si a 5q 3, alors 3 3 a 5q 3 65q 500q 350q 50q 8 5 5q 300q 70q 08q 6 donc a mod 5 Si a 5q, alors 3 3 a 5q 65q 3000q 00q 80q q 600q 80q 56q 5 donc a mod 5 p t q sont dux ntirs naturls p q t q p mod donc q k p, k q kp q k p a) a a mod 5 a a a mod 5 k p k p Or a mod 5 donc a mod5 donc a a a mod 5 donc q p a a mod 5 q p q p b) Si a st pair alors a t a sont pairs donc a a st divisibl par donc q p a a mod Si a st impair alors q p a a mod Donc q p a a mod a q p t a sont impairs donc a q p st divisibl par donc c) t 5 sont prmirs ntr ux, q p a a mod 5 t q p a a mod donc q p a a mod0 a 3 a) 5 donc (, ) st un solution d (E) : 5x y b) 5x y 5x y 5 5x y 5 t 5 divis (y ) donc 5 divis y donc il xist un ntir k tl qu, y = 5k d où y = 5k + Il n résult : 5(x - ) = 5k donc x = k d où x = k + Invrsmnt : si (x, y) = (k, 5k ), k, alors 5x y 5k 5k 55k 5 55k Donc l nsmbl ds solutions d l équation (E) dans st k, 5k, k c) L nsmbl ds solutions d l équation (E) dans st k, 5k, k d) Si, k,5k,k t n un ntir naturl non nul t prmir avc 5 alors donc n t n n n mod0 ont l mêm chiffr d unité ont l mêm rst dans la division uclidinn par 0 donc n wwwmathscondairtn 06 5 / 8 t n

6 Exrcic : a) ln lim lim ln' x x x x b) Pour tout rél x, f x x x x x x x x x x c) On a : D où Par suit x lim x x lim x 0 x x f f x lim lim x x lim x f x x dmi tangnt vrtical à gauch n donc donc f n st pas dérivabl à gauch n dirigé vrs l haut lim x x f x f lim lim lim x x x x x x x x Or Et Donc ln lim lim ln' x x x x x lim lim x f f x x lim x 0 x donc lim x x d où f n st pas dérivabl à droit n t Cf admt un La dérivé scond f '' s annul n changant d sign n t n t D,f sont dux points d inflxion à Cf 3 a) donc ls points C,f wwwmathscondairtn 06 6 / 8

7 b) Voir figur ci-dssus a) g st continu t dérivabl sur, t pour tout x d,, g x cos x 0 donc g st strictmnt croissant sur, Par suit, g réalis un bijction d, sur g, g,g, b) g st dérivabl sur, g,, t pour tout x d,, g x 0 donc h st dérivabl sur wwwmathscondairtn 06 7 / 8

8 x, y, g x y h y x hy g x cos x sin x y Donc pour tout x d,, h x x c) Pour tout x d, d) x x x, u x h dx ln ln l u x h h h h h h x NB : J dois signalr qu ls qustions 5a t qu l indication donné à la qustion 5b n st plus valabl 5 a) A = dx f x dx dx dx dx x x x x x dx b) Calculons par un intégration par parti dx A : x On pos u x v x x ux x v x Donc dx dx x A x c) A dx (- + A ) donc A = + d où A = x wwwmathscondairtn 06 8 / 8

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