Nom : Groupe : Date : Chapitre 4 : Test 1

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1 Chapitre 4 : Test 1 1. Résous algébriquement les systèmes d équations du premier degré à deux variables suivants. Méthode de réduction a) 4x + 6y = 0-2x - y = 2 On utilise la méthode de réduction. En multipliant la deuxième équation par 2, on obtient les équations suivantes : 4x + 6y = 0 4x 2y = 4 4y = 4 y = 1, x = 3 2 Solution : ( 3 2, 1) b) 3x - y 2 = x + 11y = - 4 On utilise la méthode de réduction. En multipliant la première équation par 22, on obtient les deux équations suivantes : 66x 11y = 20 22x + 11y = 4 88x = 16 x = 2 11, y = 8 11 Solution : ( 2 11, 8 11) Reproduction autorisée Les Éditions de la Chenelière inc. 1

2 2. Combien y a-t-il de solutions aux systèmes d équations suivants? Méthode de substitution et méthode de réduction a) x + 2y = x + 4y = 35 On utilise la méthode de réduction. En multipliant la première équation par 3, on obtient les deux équations suivantes : x + 6y = 75 x + 4y = 35 10y = 110 y = 11, x = 9 Ce système a une seule solution : (9, 11). b) x + 6y = 0-2x - 12y = 2 On utilise la méthode de substitution. En isolant x dans la première équation, on trouve l équation suivante : x = 6y En remplaçant la valeur de x dans la seconde équation, on obtient l équation suivante : 2( 6y) 12y = 2 0y = 2 Ce système n a aucune solution, car il n existe aucun nombre qui multiplié par 0 donne 2. 2 TESTS Intersection CST Guide A Reproduction autorisée Les Éditions de la Chenelière inc.

3 3. Voici la représentation graphique de la droite D 1. Résolution d un système d équations à l aide de la représentation graphique y D x Une autre droite, D 2, est représentée par la table de valeurs suivante. x y Quelle est la solution du système d équations formé des droites D 1 et D 2? En traçant la droite D 2, on trouve que le point d intersection des deux droites D 1 et D 2 est le point (3, 5). La solution du système formé par les deux droites est donc (3, 5). Reproduction autorisée Les Éditions de la Chenelière inc. 3

4 4. Deux droites sont décrites par les équations suivantes : Nombre de solutions d un système d équations 5x + 3y = 1 2x + y = 3 Ces deux droites sont-elles parallèles, confondues, ou sécantes? On résout le système à l aide de la méthode de substitution. En isolant y dans la deuxième équation, on obtient l équation suivante : y = 2x + 3 En remplaçant la valeur de y dans la première équation, on obtient l équation suivante : 5x + 3( 2x + 3) = 1 5x 6x + 9 = 1 x = 8 x = 8, y = 13 Le système a une solution unique, (8, 13). Par conséquent, les deux droites ont un seul point d intersection et sont sécantes. 5. Pour lequel ou lesquels des systèmes d équations suivants le point ( - 1, 5) est-il une solution? Nombre de solutions d un système d équations 1 x + 2y = 9 x - 3y = x + y = 3 y - 5 = 0 3 x + 1 = 0-3x + y = 8 Le système d équations 2 et Une bibliothèque offre une salle de consultation regroupant des postes informatiques, dont certains sont branchés à Internet. On dispose de deux fois moins de postes informatiques branchés à Internet que de postes sans branchement. Le nombre de postes qui n ont pas le branchement Internet dépasse de 50 le nombre de postes branchés. Soit x, le nombre de postes branchés à Internet et y, le nombre de postes sans branchement. Lequel des systèmes d équations suivants modélise cette situation? Modélisation algébrique 1 2x - y = 0 x - 50 = y Le système d équations 3. 2 y = 2x y + 50 = x 3 x = y 2 y = x TESTS Intersection CST Guide A Reproduction autorisée Les Éditions de la Chenelière inc.

5 7. Charlotte est représentante pour Benito, un artisan qui fabrique des chevaux de bois qu il vend dans les centres de métiers d arts. Le salaire de Charlotte comprend un salaire de base hebdomadaire, auquel s ajoute un montant pour chaque cheval vendu. Au cours des deux dernières semaines, Charlotte a reçu la rémunération suivante. Modélisation algébrique Semaine Chevaux vendus Salaire ,60 $ ,20 $ Modélise cette situation à l aide d un système d équations à deux variables. x : le salaire de base hebdomadaire y : le montant pour chaque cheval vendu Le système d équations qui décrit la situation est : x + 18y = 413,60 x + 21y = 429,20 8. Le magasin Vidéo inc. vend, entre autres, des DVD de spectacles d artistes québécois. L an dernier, il a réalisé des ventes de $ pour ces produits. Il vend deux fois moins de DVD de spectacles de musique que de spectacles d humour. Si un DVD se vend 19,95 $ (taxes incluses), combien de DVD de spectacles de musique Vidéo inc. a-t-il vendus? Modélisation algébrique et méthode de substitution x : le nombre de DVD de spectacles de musique y : le nombre de DVD de spectacles d humour Puisque le total des ventes est $ et que chaque DVD coûte 19,95 $ (taxes incluses), Vidéo inc. a vendu = DVD. 19,95 On pose le système d équations : x = y 2 x + y = x + 2x = x = x = 760 y = = Vidéo inc. a vendu 760 DVD de spectacles de musique et DVD de spectacles d humour. Reproduction autorisée Les Éditions de la Chenelière inc. 5

6 9. La longueur d un rectangle est le triple de sa largeur. Si on retranche 8 cm à la longueur du rectangle et qu on les ajoute à sa largeur, on obtient un carré. Quelles sont les dimensions de ce rectangle? Modélisation algébrique et méthode de réduction x : la mesure de la longueur du rectangle y : la mesure de la largeur du rectangle Le système d équations qui décrit la situation est : x = 3y x 8 = y + 8 x 3y = 0 x y = 16 y = 8, x = 24 Les dimensions du rectangle sont 24 cm sur 8 cm. 10. Jérémie prépare des collations à l avance pour la cantine de l école ; chaque collation doit contenir au moins un fruit. Voici le prix de trois collations : Modélisation algébrique et méthode de substitution Première collation 2 clémentines 1 pomme 1 muffin au son Total : 2,55 $ Deuxième collation 1 clémentine 1 muffin au son Total : 2,00 $ Troisième collation 2 pommes 1 clémentine Total : 0,90 $ À quel prix Jérémie pourrait-il vendre une collation composée de 1 pomme, 3 clémentines et 1 muffin? On définit les variables : x : le prix d une clémentine y : le prix d une pomme z : le prix d un muffin au son 2x + y + z = 2,55 x + z = 2 x + 2y = 0,9 6 TESTS Intersection CST Guide A Reproduction autorisée Les Éditions de la Chenelière inc.

7 On résout le système d équations par la méthode de substitution. On isole la variable z dans la deuxième équation. z = 2 x On remplace dans la première équation la variable z par l équation trouvée ci-dessus. On forme un système d équations à partir de cette nouvelle équation et de la troisième équation. 2 x + y + (2 x) = 2,55 x + y = 0,55 x + 2y = 0,9 x + 2y = 0,9 On résout le système d équations afin de trouver les valeurs de x et de y. x = 0,20 y = 0,35 On remplace les variables x et y par leur valeur respective dans la deuxième équation pour trouver la valeur de z. 2(0,20) + 0,35 + z = 2,55 0,75 + z = 2,55 z = 1,80 Le prix d une clémentine est 0,20 $, celui d une pomme, 0,35 $ et celui d un muffin au son, 1,80 $. Par conséquent, la collation composée de 1 pomme, 3 clémentines et 1 muffin pourra se vendre 2,75 $. Reproduction autorisée Les Éditions de la Chenelière inc. 7

8 11. De la lumière pour toutes! Communiquer à l aide du langage mathématique (CD3) Interprétation Production Validation Échelle : A Très satisfaisant B Satisfaisant C Partiellement satisfaisant D Insatisfaisant E Nettement insatisfaisant ou incomplet Gabriela est architecte paysagiste. Elle a dessiné un plan d aménagement pour la cour de M me Tanguay, comprenant, entre autres, un quadrilatère de verdure entouré de fleurs et de graminées. Afin de mettre en valeur l aménagement, elle a recommandé à sa cliente d installer un luminaire, muni d une minuterie, à l endroit où se croisent les diagonales du quadrilatère de verdure. M me Tanguay trouve l idée excellente. Comme les fils du luminaire seront enfouis dans le sol, elle doit connaître l endroit exact où elle devra placer ce luminaire avant de réaliser le quadrilatère et le reste de l aménagement. Gabriela doit donc ajouter cette information sur son plan. Elle trace le plan à l échelle ci-contre. y Terrasse (6, 6) Îlot (8, 1) x A (11, 9) (13, 5) À partir du plan cartésien et des coordonnées fournies, détermine les coordonnées précises du point A qui représente l endroit exact où M me Tanguay devra installer le luminaire. Le point A cherché se trouve à l intersection des droites passant respectivement par les points ayant pour coordonnées (6, 6) et (13, 5) ainsi que (11, 9) et (8, 1). On trouve l équation de la droite passant par les points (6, 6) et (13, 5) : y = ax + b = 1 7 x On trouve l équation de la droite passant par les points (11, 9) et (8, 1) : y = ax + b = 8 3 x 61 3 Pour trouver le point d intersection, il faut résoudre le système d équations suivant : 7y = x + 48 x + 7y = 48 ou 3y = 8x 61 8x + 3y = 61 On résout le système d équations par la méthode de réduction. 8 x + 56y = (x + 7y = 48) 8x + 3y = 61 En additionnant les deux équations, on a 59y = 323, donc y = ,47. 8 TESTS Intersection CST Guide A Reproduction autorisée Les Éditions de la Chenelière inc.

9 En remplaçant la valeur de y dans la première équation, on obtient la valeur de x. 7( ) = x = x = x = x = x x = ,68 Le point A où installer le luminaire a environ pour coordonnées (9,68, 5,47). On peut vérifier si ces coordonnées sont compatibles avec celles qu on peut estimer à partir du graphique. Reproduction autorisée Les Éditions de la Chenelière inc. 9

10 12. Une visite! Déployer un raisonnement mathématique (CD2) Analyse et conjecture Concepts et processus Démonstration et preuve Communication Échelle : A Très satisfaisant B Satisfaisant C Partiellement satisfaisant D Insatisfaisant E Nettement insatisfaisant ou incomplet Alors que Jean-Philippe et Maï prennent un café ensemble, Simone, la sœur de Jean-Philippe, téléphone pour le prévenir qu elle viendra lui rendre visite en après-midi. Elle lui dit : «Je ne suis pas chez moi. Je ne sais pas à quelle heure j arriverai chez toi, tout dépendra des conditions de la route. Si je roule à 60 km/h, je serai chez toi à 15 h, et si je roule à 80 km/h, j arriverai à 13 h.» Jean-Philippe rapporte cette conversation à Maï, qui lui demande s il sait d où Simone partira. Jean-Philippe répond : «Non, je ne sais pas d où elle part. Mais j ai assez d information pour te dire la distance qu elle va parcourir et à quelle heure elle va partir.» Jean-Philippe a-t-il raison? Si oui, à quelle heure Simone partira-t-elle pour venir lui rendre visite? Justifie ta réponse. La distance parcourue est égale à la vitesse multipliée par le temps. On définit les variables et on modélise la situation. x : le temps nécessaire pour effectuer le trajet en roulant à 60 km/h y : le temps nécessaire pour effectuer le trajet en roulant à 80 km/h d : la distance parcourue (la même dans les deux cas) Le système d équations est le suivant : d = 60x d = 80y y = x 2 À partir des deux premières équations, par la méthode de comparaison, on trouve l équation suivante. 60x = 80y En remplaçant la valeur de x dans la première équation, on trouve la valeur de y. 60(8) 80y = 0 y = 6 Ainsi, dans le premier cas, Simone doit rouler durant 8 heures à 60 km/h. Dans le second cas, elle roule durant 6 heures à 80 km/h. Peu importe sa vitesse, elle doit parcourir 480 km. En roulant à 60 km/h, elle arrive à 15 h, après 8 heures de route. Elle partira donc à 7 h. On obtient la même heure de départ à partir du trajet effectué à la vitesse de 80 km/h. Jean-Philippe a raison. Il peut dire que Simone va parcourir 480 km, et qu elle partira à 7 h. 10 TESTS Intersection CST Guide A Reproduction autorisée Les Éditions de la Chenelière inc.

11 13. Si j avais un char Déployer un raisonnement mathématique (CD2) Analyse et conjecture Concepts et processus Démonstration et preuve Communication Échelle : A Très satisfaisant B Satisfaisant C Partiellement satisfaisant D Insatisfaisant E Nettement insatisfaisant ou incomplet Yan a loué une voiture pour faire un voyage aux États-Unis. Il a parcouru km en tout. Au bout de quelques jours, il a croisé Audrey, une voisine, qui avait loué une voiture auprès de la même entreprise, car on y offrait de bons tarifs. Le coût de location pour la voiture était de 46,95 $ par jour, auquel s ajoutaient des frais de 0,20 $ par kilomètre parcouru. Au retour, Yan reçoit par erreur la facture de location d Audrey. Il l appelle et procède à l échange des factures. «Ça ne change pas grand-chose, dit Audrey, nos factures indiquent le même montant!» «C est impossible, dit Yan, tu as loué ta voiture trois jours de plus que moi!» L entreprise a-t-elle fait une erreur de facturation? Que s est-il passé? Explique ton raisonnement. Il est tout à fait possible d arriver à un même montant avec un nombre différent de jours de location, car le montant varie aussi selon le nombre de kilomètres parcourus. Audrey a probablement parcouru moins de kilomètres que Yan. Pour vérifier si c est le cas ici, il faut d abord définir les variables et modéliser la situation. Dans les deux cas, on ignore le nombre de jours de location. Dans le cas d Audrey, on ignore le nombre de kilomètres parcourus. x : le nombre de jours de location de Yan x + 3 : le nombre de jours de location d Audrey y : le nombre de kilomètres parcourus par Audrey w : le montant de la facture de Yan (et d Audrey, puisque c est le même) On obtient le système d équations suivant : w = 46,95x + 0, w = 46,95(x + 3) + 0,20y On résout ce système d équations par la méthode algébrique de comparaison : 46,95x = 46,95x ,95 + 0,20y ,85 = 0,20y y = 1 145,75 Audrey a parcouru environ km. Comme on ignore le montant facturé, il n est pas possible de déterminer le nombre exact de jours de location. On voit cependant qu Audrey a parcouru une distance inférieure aux km parcourus par Yan, ce qui peut expliquer que les factures indiquent le même montant. Reproduction autorisée Les Éditions de la Chenelière inc. 11

12 14. La grande pyramide Résoudre une situation-problème (CD1) Compréhension Solution Validation Communication Échelle : A Très satisfaisant B Satisfaisant C Partiellement satisfaisant D Insatisfaisant E Nettement insatisfaisant ou incomplet Dans la cour extérieure d une garderie se trouve une structure très populaire auprès des enfants. Elle est constituée de 6 blocs cubiques posés les uns sur les autres et numérotés de 1 à 6, comme l illustre le schéma ci-contre. Afin que les enfants puissent y accéder durant l hiver, un parent propose d installer cette structure à l intérieur, sur un socle déjà existant, qui ne peut soutenir une masse excédant 50 kg. La masse de cette structure est difficile à évaluer, car les blocs ont été construits dans 6 matériaux récupérés différents. Toutefois, on connaît les faits suivants : La masse de chacun des blocs correspond exactement à la moitié de la masse des deux blocs qui le soutiennent. Les blocs 1, 4 et 6 ont une masse de 10 kg, 9 kg et 17 kg respectivement. Le bloc 3 a une masse 50 % plus grande que le bloc 2. Calcule la masse de chaque bloc afin de déterminer s il est possible d installer la structure sur le socle à l intérieur de la garderie Sachant que la masse de chaque bloc est égale à la moitié de la somme des masses des deux blocs qui le soutiennent, on peut déjà calculer la masse des blocs 2 et 3 : Soit m 2 : la masse du bloc 2 (kg) m 3 : la masse du bloc 3 (kg) Le système d équations est : m 3 = 1,5m 2 m 2 + m 3 = 20 On résout le système d équations par la méthode de substitution en remplaçant m 3 de la deuxième équation par l équation 1. m 2 + 1,5m 2 = 20 2,5m 2 = 20 m 2 = 8 m 3 = 1,5 8 = 12 Le bloc 2 a une masse de 8 kg et le bloc 3 a une masse de 12 kg. 12 TESTS Intersection CST Guide A Reproduction autorisée Les Éditions de la Chenelière inc.

13 Le bloc 5 a une masse de 7 kg, car : masse du bloc 2 = 0,5 (masse du bloc 4 + masse du bloc 5) 8 = 0,5 (9 + masse du bloc 5) 16 = 9 + masse du bloc = masse du bloc 5 7 = masse du bloc 5 Voici la masse de chaque bloc : Bloc 1 = 10 kg Bloc 2 = 8 kg Bloc 3 = 12 kg Bloc 4 = 9 kg Bloc 5 = 7 kg Bloc 6 = 17 kg En additionnant la masse de tous les blocs, on obtient un total de 63 kg. La structure est donc trop lourde pour le socle. Reproduction autorisée Les Éditions de la Chenelière inc. 13