Cas d un dipôle RC. Le boîtier de celui- ci est de petite taille : 5 cm de large et 6 mm d'épaisseur. Sa masse est d'environ 30 g.

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1 Cas d un dipôle I. Un exemple d applicaion d un cricui : le pacemaker. Exrai de l inrocion suje bac Série S Réunion 2004 Nore cœur se conrace plus de fois par jour. Il ba 24 h sur 24 pendan oue nore vie, enre 60 e 80 fois par minue, grâce à un simulaeur naurel: le nœud sinusal. Lorsque celui-ci ne rempli plus correcemen son rôle, la chirurgie perme aujourd'hui d implaner dans la cage horacique un simulaeur cardiaque arificiel (appelé aussi pacemaker) qui va forcer le muscle cardiaque à bare régulièremen en lui envoyan de peies impulsions élecriques par l'inermédiaire de sondes. Le boîier de celui- ci es de peie aille : 5 cm de large e 6 mm d'épaisseur. Sa masse es d'environ 30 g. Le pacemaker es en fai un généraeur d impulsions ; il peu êre modélisé par le circui élecrique en dérivaion, ci-conre, qui comprend un condensaeur de capacié C, un conceur ohmique de résisance R, une pile spéciale e un ransisor qui joue le rôle d inerrupeur, K. Quand l'inerrupeur es en posiion (1) le condensaeur se charge de façon quasiinsananée. Puis, quand l inerrupeur bascule en posiion (2), le condensaeur se décharge lenemen à ravers le conceur ohmique de résisance R, élevée, jusqu'à une valeur limie u limie. A ce insan, le circui de déclenchemen envoie une impulsion élecrique vers les sondes qui la ransmeen au cœur : on obien alors un baemen! Cee dernière opéraion erminée, l inerrupeur bascule à nouveau en posiion (1) e le condensaeur se charge, ec Quesion discussion réponse Un circui es consiué d une e d un Le condensaeur peu se charger e ou se décharger. ou.. Réponse : Un circui es consiué d une résisance (conceur ohmique) e d un condensaeur Le condensaeur peu se charger e ou se décharger Insananémen ou lenemen. Nous allons découvrir dans ce cours commen faire varier le emps de charge ou de décharge d un condensaeur.

2 II. Les condensaeurs. 1. Définiion. Un condensaeur es consiué de deux armaures don les surfaces en regard son séparées par un isolan élecrique. Représenaion symbolique : 2. Orienaion d un circui en uilisan la convenion récepeur. Si q A es la charge de l armaure A e q B celle de l armaure B, on a : q A = -q B q A > 0 En convenion récepeur, la flèche ension es oriené vers l armaure où arrive le couran. 3. Relaion charge-inensié. La charge q condensaeur évolue au cours emps. Lors de la charge condensaeur, q augmene. Ce débi de charge correspond à l inensié i. Charge condensaeur : Décharge condensaeur : i es une grandeur algébrique. i = i > 0 i = i < 0 En convenion récepeur Quand q ne varie pas, l inensié es nulle. Le condensaeur se compore comme un isolan. q : charge de l armaure i : inensié : emps unié : Coulomb (C) unié : Ampère (A) unié : seconde (s)

3 4. Relaion charge-ension Monage d éude de la charge d un condensaeur à couran consan. Afin d éablir la relaion charge ension il fau s affranchir de l inensié qui doi reser consane. Pour cela, on uilise un généraeur idéal de couran. L inensié couran es fixée à i = 15,0 µa On relève les valeurs de la ension à différenes daes. Les résulas son indiqués dans le ableau ci-dessous : (s) 0 0,67 1,25 1,77 2,20 2,76 3,23 3,78 4,32 u (V) 0 2,04 3,79 5,44 6,73 8,41 9,82 11,5 13,1 Quesion discussion réponse : Tracer le graphe u = f() Que consaez-vous? Sachan que pour une valeur consane de l inensié i, on a q = i, compléer le ableau suivan : (s) 0 0,67 1,25 1,77 2,20 2,76 3,23 3,78 4,32 u (V) 0 2,04 3,79 5,44 6,73 8,41 9,82 11,5 13,1 q (C) Tracer le graphe q = f(u) Que consaez-vous? Quelle relaion exise enre q e u? Quelle es la valeur coefficien direceur? Sur le condensaeur, on peu lire l indicaion capacié C = 5, Farad. Qu en concluezvous? Conclusion : la relaion charge-ension es :

4 Réponse : Graphe u =f() On consae que la ension aux bornes condensaeur es une foncion linéaire emps. (s) 0 0,67 1,25 1,77 2,20 2,76 3,23 3,78 4,32 u (V) 0 2,04 3,79 5,44 6,73 8,41 9,82 11,5 13,1 q (C) , , , , , , , , On consae que la charge es une foncion linéaire de la ension. q = consane u Le coefficien direceur es égal à 5, Le coefficien direceur de cee droie es appelée capacié condensaeur C = 5, F (unié : Farad) Conclusion : la relaion charge-ension es : q = Cu

5 III. Dipôle. a. Réponse d un dipôle à un échelon de ension. Un échelon de ension correspond au passage rapide d une valeur de ension u = 0 à une valeur u = E Monage d un dipôle alimené par un généraeur basse fréquence (G.B.F). Expérience de cours : On réalise le monage suivan : R = 100 Ω C = 0,12 µf Asuce afin de placer correcemen les bornes de l oscilloscope. Si on veu mesurer à la fois la ension aux bornes GBF e condensaeur : - Placer dans un premier emps la masse enre ces deux composans. - Placer ensuie les deux bornes de mesures Y A e Y B de l aure côé des composans. Ainsi oriené, la ension u es posiive Oscillogrammes obenus. En bleu : la ension aux bornes GBF En rose : la ension aux bornes condensaeur Quesion discussion réponse : o La ension aux bornes condensaeur subi-elle une variaion bruale? Es-elle disconinue?

6 Réponse : o Non, la ension ne subi pas de variaion bruale. Elle n es pas disconinue. Elle varie progressivemen conrairemen à la ension délivrée par le GBF qui prend une valeur déerminée insananémen Commen procéder pour visualiser l inensié circulan dans le circui à l aide de l oscilloscope? Aux bornes de la résisance, la loi d ohm s énonce ainsi u R = Ri. Il suffi de mesurer la ension u R afin de visualiser l inensié i. La valeur de i es i = R u R Quesion discussion réponse : o Dans le monage suivan, la ension mesurée par un oscilloscope aux bornes de la résisance es-elle posiive ou négaive? Réponse : La flèche ension es dirigée vers la masse. La ension ainsi mesurée aux bornes de la résisance es donc négaive Résoluion analyique de la charge condensaeur Eablissemen de l équaion différenielle de charge condensaeur.

7 La méhode d éablissemen de l équaion différenielle es la suivane : o Ecrire la loi d addiivié des ensions. o Exprimer i en foncion de u On applique la loi d addiivié des ensions : E = u R + u E = Ri + u avec la loi d Ohm : u R = Ri E = E = R + u avec i = dcu R + u avec q = Cu L équaion différenielle peu donc s écrire : E = + u Soluion de l équaion différenielle. Vérifions que la soluion analyique u = A + B e es une soluion de l équaion différenielle E = + u Méhode : - Dans un premier emps, on dérive u = A + B e - Dans un deuxième emps, on repore la dérivée e u dans l expression E = + u - Dans un roisième emps, on idenifie A e, en s affranchissan emps. - Dans un quarième emps, on idenifie B en enan compe des condiions iniiales à = 0. - Dans un premier emps, on dérive l expression u = A + B e B x a = 0 e Rappel : f(x) = ae b alors f (x) = e b - Dans un deuxième emps, on repore e u dans l expression E = E = + u B = E e + A + B e E = A + B e + e E = A + B e 1 + u x b

8 - Dans un roisième emps, on idenifie e A. Pour ce faire, il fau s affranchir emps, c es à dire éliminer la parie de l expression de E qui dépend emps. = + E A B e 1 cee parie Il suffi que 1 = 0 Alors = e A = E quelque soi la valeur de. - Dans un quarième emps, on idenifie B. On prend en compe les condiions iniiales à = 0. à = 0 u = 0 u = A + B e = 0 0 A + B = 0 car e 0 = 1 Donc B = -A = -E B = - E La soluion de l équaion différenielle s écri alors : = = u E E e E 1 e avec = Expression de l inensié. Pour rouver l expression de l inensié, il suffi d uiliser les expressions suivanes : q = Cu e i = On a alors i = C i = C i = E R e = C E e Résoluion analyique de la décharge d un condensaeur. Quesion discussion réponse : - Eablissez l équaion différenielle de la décharge d un condensaeur. Asuce : Dans cee phase, il n y a plus de généraeur E = 0 - Monrez que u = A + B e es une soluion de l équaion différenielle en idenifian, A e B. - Eablissez l expression de l inensié.

9 Réponse : On applique la loi d addiivié des ensions : 0 = u R + u 0 = Ri + u avec la loi d Ohm : u R = Ri 0 = R u + avec i = dcu 0 = R + u avec q = Cu L équaion différenielle peu donc s écrire : 0 = + u Soluion analyique : - Dans un premier emps, on dérive l expression u = A + B e B x a = 0 e Rappel : f(x) = ae b alors f (x) = e b - Dans un deuxième emps, on repore e u dans l expression 0 = 0 = + u B = 0 e + A + B e 0 = A + B e + e 0 = A + B e 1 - Dans un roisième emps, on idenifie e A. + u Pour ce faire, il fau s affranchir emps, c es à dire éliminer la parie de l expression de E qui dépend emps. = + 0 A B e 1 cee parie x b Il suffi que 1 = 0 Alors = e A = 0 quelque soi la valeur de. - Dans un quarième emps, on idenifie B. On prend en compe les condiions iniiales à = 0. à = 0 u = E

10 0 u = A + B e = E A + B = E car e 0 = 1 Donc B = E B = E La soluion de l équaion différenielle s écri alors : u = E e avec = Expression de l inensié. Pour rouver l expression de l inensié, il suffi d uiliser les expressions suivanes : q = Cu e i = On a alors i = C i = C i = E R e = C E e 2. Expression de la consane de emps Expression de la consane de emps. On a monré que la consane de emps a pour expression = pour un circui. 2.2.Vérificaion de l unié de la consane de emps par analyse dimensionnelle. L analyse dimensionnelle consise à écrire une équaion aux dimension. On noe [X] la dimension de la grandeur X. On cherche à exprimer la dimension de R e de C en foncion des dimensions de l inensié, de la ension e emps. u - D après la loi d Ohm, u = Ri soi R = i U La dimension de R s écri [ ] [ U ] R = = I (1) [] I - A parir de la relaion i = La dimension de la charge s écri [Q] = [I] [T] (2)

11 - A parir de la relaion q = Cu La dimension de la capacié s écri [ ] [ Q] C =, soi avec la relaion (2) [ ] [ U ] [ ] La dimension [] = [R] [C] = [] I Soi après simplificaion [] = [T] U [] I U [ ] [ T ] La consane de emps a la dimension d un emps. Son unié es la seconde (s). [ Q] [ U ] [] I [ U ] C = = [ T ] 2.3. Déerminaion graphique de la consane de emps. On déermine graphiquemen dans le cas de la charge condensaeur o en raçan la angene à l origine 0 o en déerminan le poin d inersecion de cee angene avec la droie d équaion u = E o en projean orhogonalemen ce poin sur l axe des abscisses. Quesion discussion réponse : Proposer une méhode afin de déerminer graphiquemen la consane de emps dans le cas de la décharge condensaeur. Rédigez-la e effecuez la déerminaion graphique.

12 Réponse : On déermine graphiquemen dans le cas de la décharge condensaeur o en raçan la angene à l origine E o en déerminan le poin d inersecion de cee angene avec la droie d équaion u = Quelle es la valeur de u() à la dae? Cas de la charge : u = E 1 e = 1 u E e u = E e u = E 0,63 1 ( 1 ) Lors de la charge, la ension aux bornes condensaeur es égale à 63% de sa valeur nominale Cas de la décharge : u = E e u = E e 1 u = E e u = E 0,37 Lors de la décharge, la ension aux bornes condensaeur es égale à 37% de sa valeur iniiale.

13 IV. Energie emmagasinée dans un condensaeur. a. Mise en évidence expérimenale. Voir TP b. Expression de l énergie emmagasinée. 1 = Cu 2 E 2 On peu égalemen exprimer cee énergie en foncion de Q avec la relaion Q = Cu : 1 E = Qu Q E = 2 C