Limites et comportement asymptotique. Fiche(1) Exercice 1. Exercice 2. Exercice 3. Exercice 4. Déterminer la limite de la fonction en.
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- Céline Déry
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1 Fiche() Déterminer la limite de la fonction en Etudier le comportement de au voisinage de. En déduire une équation d une asymptote Soit la fonction définie sur [ ; + [ par. Etudier les limites de aux bornes du domaine. 2. Etudier les variations de. 3. Montrer que l équation a une solution unique α dans [ ; + [. 4. Donner un encadrement d amplitude 2 de α. Exercice 4 Soit la fonction définie sur R par. Etude de. a. Etudier les limites de en + et. b. Calculer et étudier les variations de. c. Montrer que l équation admet une unique solution dans R. On note a cette solution. d. Montrer que. e. Donner une valeur approchée de a à près. 2. Tracer dans un repère les courbes D et C d équations respectives et. 3. Montrer que les courbes D et C se coupent en un unique point M dont vous donnerez les coordonnées.
2 Fiche(2) Déterminer la limite de la fonction :. En + avec ( ) 2. En avec ( ) 3. En + et avec On considère la fonction définie sur [ ; 4] par. On appelle C sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O,, ) (unité graphique : 2cm). Etudier les variations de. 2. Donner une équation de chacune des tangentes à C aux points d abscisses et Construire C ainsi que les tangentes précédentes. La courbe C ci dessous est celle d une fonction f définie sur l intervalle I = ]; + [. On sait que : lim f(x) x ; la courbe C coupe l axe des abscisses au point (2; ) ; la courbe C admet pour asymptote l axe des abscisses.. Déterminer lim f(x) x 2. La droite d équation x = est-elle asymptote à la courbe C? Justifier. 3. On définit une fonction sur J = ]2;+ [ par À l aide des informations de l énoncé, du graphique ou des réponses aux questions précédentes : a. Déterminer, en justifiant avec soin, lim g(x) x b. Déterminer, en justifiant avec soin, lim f(x) puis en déduire lim g(x) x x c. En déduire laquelle des trois courbes ci dessous est la représentation graphique de la fonction..
3 Fiche(3) La courbe (C) est celle d une fonction f définie sur I = ] ; + [. a. Lire les valeurs de f(2), f(3) et f(9). b. Lire graphiquement, donner une valeur approchée des solutions de l équation f(x) =. c. Déterminer le signe de f sur I. 2. a. Que vaut f (5)? (Justifier) b. Donner une équation de la droite (T). Quel nombre dérivé peut-on en déduire? c. Dresser le tableau de variations de f sur I. 3. f est de la forme. a. Calculer f (x) en fonction de a et de c. b. Exprimer que A et B sont des points de C et qu en S la tangente est horizontale. c. Ecrire un système d inconnues a, b et c puis le résoudre pour trouver l expression de f(x). 4. On admet que. a. Montrer que la droite (D) d équation est asymptote à la courbe (C) en +. Etudier leur position relative. c. Déterminer l équation de la tangente à (C) au point d abscisse 2. d. Résoudre par le calcul l équation f(x) = et retrouver le résultat de la question. b. Soit f définie sur R par :.. Etudier les variations de f sur R (variation, limites). 2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe C f au point d abscisse. Etudier sa position par rapport à C f. 3. Soit la parabole P d équation :. a. Préciser les éléments caractéristiques de P. b. Vérifier que le point A(2 ;) est un point qui appartient aux deux courbes C f et P. c. Etudier la position de C f par rapport à P. 4. Tracer les courbes C f et P dans un même repère. Soit f la fonction définie sur R {} par.. Etudier les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. En déduire que la courbe C représentative de la fonction f admet une asymptote verticale dont on donnera une équation. 2. a. Vérifier que, pour,. Peut-on en déduire que la droite d équation y = 3x est asymptote oblique à la courbe C? Justifier. b. Trouver les réels a, b et c tels que, pour,. En déduire que C admet, au voisinage de et de, une asymptote D dont on donnera une équation. c. Etudier suivant les valeurs de x la position de C par rapport à D. 3. Dresser son tableau de variation. 4. Construire la courbe C et ses asymptotes.
4 CORRIGE Fiche(3) La courbe (C) est celle d une fonction f définie sur I = ] ; + [. a. Lire les valeurs de f(2), f(3) et f(9). f(2) = 8, f(3)=, f(9) =. b. Lire graphiquement, donner une valeur approchée des solutions de l équation f(x) =. f(x) = lorsque x = 3,5 ou x = 7,5 environ. c. Déterminer le signe de f sur I. f est positive sur [ ; 3,5] [7, 5 ; [ f est positive, sur [3, 5 ; 7, 5] f est négative. 2. a. Que vaut f (5)? (Justifier) f (5) vaut car la tangente à la courbe de f en 5 est horizontale. b. Donner une équation de la droite (T). Quel nombre dérivé peut-on en déduire? (T) passe par ( ; 7) et par (3 ; ) d où. Comme (T) est tangente à la courbe au point (3 ; ), on a f '(3) 3, coefficient directeur de (T). c. Dresser le tableau de variations de f sur I. 3. f est de la forme. a. Calculer f (x) en fonction de a et de c. b. Exprimer que A et B sont des points de C et qu en S la tangente est horizontale. donc, donc, donc. c. Ecrire un système d inconnues a, b et c puis le résoudre pour trouver l expression de f(x). x f f { { donc 4. On admet que. a. Montrer que la droite (D) d équation est asymptote à la courbe (C) en +. Etudier leur position relative. donc lim f( x) ( x ) on peut donc affirmer que la droite d équation y = x est asymptote en 6 Comme x >, donc C est au-dessus de D. x c. Déterminer l équation de la tangente à (C) au point d abscisse 2. et : la tangente a pour équation. d. Résoudre par le calcul l équation f(x) = et retrouver le résultat de la question. b. ( ) ; =7, et Soit f définie sur R par :.. Etudier les variations de f sur R (variation, limites). est dérivable sur R, et. a le signe de qui est positif à l extérieur de ses deux racines et. f est donc croissante sur ]- ; -] et sur [ ; + [, et f est décroissante sur [- ; ]. 3 3 lim x 3 x lim x et 3 3 lim x 3 x lim x. 2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe C f au point d abscisse. Etudier sa position par rapport à C f. Une équation de la tangente T à la courbe Cf au point d abscisse est :.. Or sur ]- ; ] et sur ] : + ]. C f est donc au-dessus de T sur [ ; + [ et 3. Soit la parabole P d équation :. a. Préciser les éléments caractéristiques de P. P est une parabole de sommet S( ; ), d axe la droite : C f est donc au-dessous de T sur ]- ; ]. et verticale.
5 b. Vérifier que le point A(2 ;) est un point qui appartient aux deux courbes C f et P. et Le point A(2 ; ) est un point des deux courbes C f et. c. Etudier la position de C f par rapport à P.. On vérifie que 2 est racine de. Après factorisation,. Or est toujours positif car son discriminant est négatif et le coefficient de est positif. est donc du signe de. C f est donc au-dessus de sur [2 ; + [ et C f est donc au-dessous de sur ]- ; 2]. 4. Tracer les courbes C f et P dans un même repère. Soit f la fonction définie sur R {} par.. Etudier les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. En déduire que la courbe C représentative de la fonction f admet une asymptote verticale dont on donnera une équation x 3x 2x lim lim lim 2x ; x x lim, lim : asymptote verticale x =. x x x x 2. a. Vérifier que, pour,. Peut-on en déduire que la droite d équation y = 3x est asymptote oblique à la courbe C? Justifier. ; on ne tire aucune information de cette écriture car tend vers l infini à l infini. b. Trouver les réels a, b et c tels que, pour,. En déduire que C admet, au voisinage de et de, une asymptote D dont on donnera une équation. { d où. En et en, tend vers, on a une asymptote D d équation. c. Etudier suivant les valeurs de x la position de C par rapport à D. Lorsque x >, donc C est au-dessus de D, lorsque x <, donc C est en dessous de D. 3. Dresser son tableau de variation. Le discriminant est négatif, f est du signe de 2, soit négative. 4. Construire la courbe C et ses asymptotes. x f (x) f
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