Chapitre III. Gaz parfaits

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1 Chatre III Gaz arfats IIIA : Déftos rorétés IIIAI : Gééraltés : U gaz arfat est u flude déal qu satsfat à l équato d état vr, ou ecore c est u gaz qu obét rgoureusemet aux tros los MARIOE, GAY LUSSAC et CHARLES Das ce chatre, o désge ar v le volume d ue uté de masse (UDM) de gaz arfat et ar m le volume molare d u gaz arfat avec : mole 6,030 3 Molécules A (ombre d Avogadro) O cosdère ue masse gazeuse occuat le volume sous la resso et la temérature Lo de MARIOE Eocé de la lo : A temérature costate, le rodut de la resso d ue masse gazeuse ar so volume est costat (cette lo est d orge exérmetale ) Sous fables ressos, tous les gaz se comortet de la même maère quelque sot leur ature ar défto, u gaz arfat (G) sera u gaz our lequel, Cte lo de MARIOE our u gaz arfat, le rodut e déed que de la temérature f() La relato récédete à temérature costate eut s écrt à u secod éocé de la lo de MARIOE Cte, ce qu codut A temérature costate, la resso d ue masse gazeuse est versemet roortoelle au volume qu elle occue S o cosdère deux états dfférets d ue même masse gazeuse à la même temérature avec : et resso et volume à l état () et resso et volume à l état (), la lo de MARIOE sera alors : Cours de thermodyamque (ar Dr HENNI MANSOUR Z) age 7

2 Lo de GAY-LUSSAC Eocé de la lo : A resso costate, l augmetato de volume d u gaz arfat (dlatato ou détete) est roortoelle à la temérature absolue Cte Ou Cte lo de GAY-LUSSAC S o cosdère deux états dfférets d ue même masse gazeuse à la même resso avec : et temérature et volume à l état () et temérature et volume à l état () O a la relato : t ou + 73 t + 73 Secode forme de la relato Sot ue masse gazeuse chauffée à resso costate, 0 est le volume à 0 c 73 k est le volume à t c (73+t) k D arès GAY-LUSSAC o à : ( αt ) 0 t + 73 t ou t avec α/73 coeffcet de dlatato du gaz 3 Lo de CHARLES (ou eme lo de GAY-LUSSAC) Eocé de la lo : d où A volume costat, l augmetato de resso d u gaz arfat est roortoelle à l élévato de la temérature O à : Cte Lo de Charles S o cosdère deux états dfférets d ue même masse gazeuse das lesquelles elle occue le même volume la resso et la temérature sot : et resso et temérature à l état () et resso et temérature à l état () Cours de thermodyamque (ar Dr HENNI MANSOUR Z) age 8

3 O a la relato t + 73 t + 73 Secode forme de la relato Sot 0 et les ressos à 0 c et t c d ue même masse gazeuse dot le volume est varat (costat) o à : 0 t 0 + t Où ( + βt) 0 avec β/73 Coeffcet d augmetato de resso 4 emérature cetésmale temérature absolue a- Echelle cetésmale : L échelle cetésmale léare est défe ar la relato thermométrque tax+b où a et b sot deux ots fxes choss arbtraremet, o affecte : * La temérature 0 C, lorsque le thermomètre est das la glace fodate saturée d eau sou la resso atmoshérque ambate * La temérature 00 C, lorsque le thermomètre est das la vaeur d eau boullate sous resso atmoshérque ormale S l o désge ar x, x 0, x 00 les valeurs de la varable thermométrque, resectvemet aux temératures, t c, 0 c et 00 c, la relato récédete s écrt : 0 ax0 + b 00 00x0 a et b 00 ax00 + b x00 x0 x00 x 0 0 Sot t 00 x x x 00 x 0 La varable thermométrque x, eut être le volume, la resso d u flude etc b- Echelle absolue : S o rered la lo de CHARLES, hysquemet ue resso e eut être que ostve S 0 0 ( + βt) 0 + βt 0 t β La temérature la lus basse qu exste vaut t 73 c β Cours de thermodyamque (ar Dr HENNI MANSOUR Z) age 9

4 O eut défr la ouvelle échelle de temérature, le degré Kelv qu se dvse des degrés Celsus ar ue traslato Cette ouvelle temérature exrmée e Kelv s aelle temérature absolue ou temérature thermodyamque Notato habtuelle t : emérature cetésmale exrmée e degré Celsus ( c) : emérature thermodyamque ou absolue exrmée e degré Kelv ( k) Avec : t + 73 > 0 t IIIA : Caractérstques d u gaz arfat : : Equato d état O recherche l équato qu le les aramètres d état (, v,) O cosdère ue (UDM) d u gaz arfat das deux états dfférets : Etat () : (,, ) Etat () : (,, ) Imagos u 3 eme état où la resso est, la temérature est Etat (3) : (,, ) O asse à resso costate de l état () à l état (3), o a doc e vertu de la lo de GAY-LUSSAC K( ) O asse de l état (3) à l état (), la temérature état costate, o a doc e vertu de la lo de MARIOE: K E multlat membre à membre les deux équatos () et () o obtet : cte ( ) our u gaz arfat o à : Cte our l uté de masse (UDM) cette costate est aelée (r), l équato d état devet : v r Ic, v : est le volume massque tel que v r : déed du gaz cosdéré ρ Cours de thermodyamque (ar Dr HENNI MANSOUR Z) age 0

5 our ue masse m de gaz arfat, occuat le volume sous la resso et à temérature, l équato d état devet : mr our l ar, qu est cosdéré comme u gaz arfat, r vaut : 87 J/kg K S o cosdère ue masse molare M de gaz arfat, elle occue le volume, o eut écrre : Mr R avec : RMr tel que R : costate uverselle des gaz arfat déedate du gaz cosdéré Doc our Mole de gaz arfat, l équato d état devet v R Ic, v : rerésete le volume molare,4 L our moles de gaz arfat occuat u volume, sous la resso et la temérature, l équato d état devet : R R83J/Mole K our tous les gaz : Lo de JOULE GAY-LUSSAC sur l éerge tere : Eocé de la lo our u gaz arfat, l éerge tere U est focto que de la temérature Exérece justfcatve (Détete de joule) A et B réservor de même volume relé ar u robet R L esemble est mmergé das l eau coteue das u calormètre A l stat tal, le réservor est reml d u gaz arfat et e équlbre thermque hermomètre Robet Calormètre A B Eau A la même temérature, o ouvre le robet R, le gaz se déted das le réservor B le volume et la resso du gaz varet Lorsque le système est reveu à l état d équlbre, o costate que la temérature de l eau a as varée Aalyse d exérece : O cosdère le système A+B+Gaz, le er rce de la thermodyamque ermet d écrre : Cours de thermodyamque (ar Dr HENNI MANSOUR Z) age

6 W + Q U + { E + { Ec 0 0 W : seules les forces de resso sot suscetbles de travaller W dv cte dv 0 W 0 Q : o cosdère le système S (eau) W + Q U U m c Or de l eau a as varée (exérece) Q U Chaleur échagée avec A+B+Gaz S, cette chaleur e eut rover que ar S car l extéreur est calorfugé Q Q 0 Falemet our S, o a : U 0 Or : U U 443 A + U B + arato de l'éerge tere des reservors U Gaz 3 arato de l'éerge tere du gaz U A U B 0 car les réservors à l état fal sot à la même temérature qu à l état tal Falemet o dédut : U Gaz 0 our le gaz arfat, la resso et le volume ot chagé ar cotre, la temérature est restée costate, auss que l éerge tere l éerge tere du gaz arfat e déed que de la temérature U v U 0 our u gaz arfat 3 : Eerge tere d u gaz arfat : O cosdère ue trasformato élémetare de l état () : (,, ) à l état (+d) : (+d, +dv, +d) O aelle du la varato de l éerge tere au cours de cette trasformato O cosdère mateat l état (+d ) : (+d,, +d) trasformato sochore our laquelle o a ue varato d éerge tere du Etat () : (,, ) }du Etat +d : (+d, +dv, +dt) d Etat () : (,, ) }U Etat +d : (+d,, +dt) du du car les temératures tale et fale sot les mêmes (u que U e déed que de la temérature (exérece de joule)) d U δ W + δq ( er rce de la trasformato système fermé) Cours de thermodyamque (ar Dr HENNI MANSOUR Z) age

7 Or : δ W dv 0 car v cte δ Q Cv d + Ldv { δq Cv d 0 Falemet du Cv d avec : Cv, chaleur massque à volume costat, e Joule/kg k our ue trasformato de à, o a : Remarque : U Cvd Quad o se lace das ue tervalle de temérature assez restrete (de 00 c à 00 c ar exemle), o eut cosdérer avec ue boe aroxmato que Cv est costate (érfeé exérmetalemet) o à doc : U Cv Lorsqu o e eut lus cosdérer Cv comme costate, o red ue moyee Cv etre t et t 4 : Ethale du gaz arfat : Cv t t L ethale est doée ar : H U +, Cv( t) dt doc U Cv U : est focto que de : est focto que de (lo de MARIOE) H H L ethale H d u gaz arfat e déed que de 0 gaz arfat our u O cosdère ue trasformato élémetare de () (+d) H U + dh du + d() du + d + dv or du δ W + δq d + δq dh d + Q + d + d δ Avec : dh δq + d δq C d + h d h : Coeffcet calormetrque Cours de thermodyamque (ar Dr HENNI MANSOUR Z) age 3

8 our u même rasoemet à celu de 3, mas our ue trasformato sobare () (+d ), o trouve falemet : dh C d H C d Avec c, C chaleur sécfque à ue resso costate Nb : même remarque que our l éerge tere S C cte (fables varatos de temérature), o obtet : Coséquece : S C cte t H C C C( t) dt H C t t O cosdère l UDM d u gaz arfat (C et Cv chaleurs sécfques à resso et à volume costats exrmées e J/kg k) t dh Cd dh d(u+) du+d du +d(rt) Or du Cvd dh Cvd+ rd (Cv+r)d dh Cd C Cv + r ou : C - Cv r Formule de MAYER C r Cv Cv r C Ic, r, Cv et C sot exrmés e J/kg k O trodusat le raort Cv Cv Cv( ) r C C Cv Cv Lorsqu o travalle sur ue mole de gaz arfat o a : C Cv R R Cv R C C, C v et R exrmées e J/Mole k : Coeffcet de osso ou adabatque Coséquece : er rce système fermé du δ Q + δw Cours de thermodyamque (ar Dr HENNI MANSOUR Z) age 4

9 δq Cv d + L dv δw dv du Cv d Cv d Cv d + L dv dv 0 ( L ) L dv dv dv 0 L our u gaz arfat er rce système ouvert Avec m δw +δq dh + dec + de dh δw + δq (avec dec et de 0) δq C d + h d δw d ( traval techque) dh C d C d d + C d + h d h d + d ( h + ) d 0 h - our u gaz arfat δq Cvd + ldv Cvd + dv δq Cd + hd Cd d our u gaz arfat Or r (Equato d état d u gaz arfat our m ) O dérvat, o obtet : d d dv + d rd d + r r C C C C δ Q d + d d d + d r r r 3 r Cv r δ Q ( C d + Cvd ) r Falemet o a les exressos des δq e focto des tros (03) varables d, dv, d our u gaz arfat : δq Cv d + d δq C d d δq r ( C d + C d) v Cours de thermodyamque (ar Dr HENNI MANSOUR Z) age 5

10 IIIA3 : Mélage des gaz arfats : O cosdère u mélage de gaz chmquemet erte (mélage qu e doe as leu à ue réacto chmque) : Lo de DALON GIBBS Sot, le volume occué ar le mélage Chaque gaz occue le volume comme s l été seul sous ue resso aelée resso artelle La resso du mélage est égale à la somme des ressos artelles des gaz comosats Exemle : mélage de 0 gaz () et () R ( moles gaz ()) R ( moles gaz ()) ( + ) ( + )R ou R tels que : ombre de moles du mélage : resso du mélage De lus, les gaz état chmquemet ertes, l éerge tere du mélage est égale à la somme des éerges des gaz et e déed doc, que de la temérature de gaz Falemet o a doc : U mélage de gaz arfats chmquemet ertes est u gaz arfat : aramètres d état d u mélage de gaz arfats : O cosdère u mélage de gaz arfats (,,,, ) our défr la comosto de ce mélage, o a beso de aramètres d état dot les lus fréquemmet utlsés sot : La fracto molare La fracto molare x du gaz das le mélage est le raort etre ombre de moles de gaz et, ombre de moles du mélage x avec, x Cours de thermodyamque (ar Dr HENNI MANSOUR Z) age 6

11 La fracto volumque La fracto volumque ν du gaz das le mélage est le raort etre volume qu occuerat le gaz sous la resso et la temérature du mélage et : volume total du mélage ν D arès la lo d AMAGA: R R O e dédut v ν x our u gaz arfat Remarque : O a auss ν état la resso artelle du gaz O a R ( : volume du mélage) o à our le mélage R O e dédut x ν La fracto massque La fracto massque µ du gaz das le mélage est le raort etre m masse du gaz et m masse totale du mélage µ Avec m 3 : Caractérstques d u mélage de gaz arfats : 3a : olume sécfque du mélage m m m µ mel ρ Avec : ρ mel ρ mel m m ρ ν 3b : La masse molare aarete du mélage M Mel m M x M ν M m Cours de thermodyamque (ar Dr HENNI MANSOUR Z) age 7

12 3c : Costate du gaz du mélage r Mel m m r µ r Remarque : our le mélage des gaz, l équato caractérstque se résete sous la forme suvate mr Mel IIIB : Etude de quelques trasformatos artculères des gaz arfats : Etablr les formules our des trasformatos artculèremet usuelles des gaz arfats à artr des résultas vus das le sous chatre A outes les formules serot doées our ue UDM de gaz à la temérature et sous la resso ( C v et C serot exrmées e J/Kg K) our alquer ces formules à ue masse m de gaz arfat, l suff de multler C v, C, r ar m et de remlacer v ar, le volume effectvemet occué ar la masse m S o travalle sur ue mole de gaz arfat, l faut remlacer r ar R (C, C v, R exrmées e J/Mole k) IIIB : rasformato sotherme : : Equato caractérstque our l uté UDM d u gaz arfat, l équato d état s écrt r A temérature costate Cte Où r Cte Das le dagramme de CLAYRON (, ), ue sotherme est rerésetée ar ue hyerbole équlatère Fasceau d hyerboles Isotherme A resso costate 3 > > Dagramme de ClayRo Cours de thermodyamque (ar Dr HENNI MANSOUR Z) age 8

13 r r, r ctes S > > O eut graduer le dagramme e temérature ar u fasceau d hyerboles équlatères Les temératures augmetet quad o s éloge de l orge :Exresso du traval de forces de resso : W dv Or v r r r Cte s v dv W s r rl v ou ecore e focto des ressos : W s rl W s rl r l IIIB : rasformato adabatque réversble : : Equato caractérstque Nous avos vu das le sous chatre A, ζ4, que la quatté de chaleur eut s exrmer ar : δ Q ( C dv + Cv vd) r rasformato adabatque δq 0 c-a-d C dv+ C v vd 0 O devse les deux membres ar C v v o obtet : C dv Cv v d + 0 C v C v v v C C v dv + v d 0 d v d + ou 0, s cte, o tègre et o obtet : l (v) + l () cte v cte ou l(v ) cte cte Lo de osso (varable, v) our ue trasformato de () à () o à : ϒ ϒ Cours de thermodyamque (ar Dr HENNI MANSOUR Z) age 9

14 Remarque : La lo de osso eut s exrmer e focto de deux varables arms les tros varables (,,) arables (, ) r cte () - cte r - cte Or : r cte - cte ou cte eme lo de osso, varable (, ) - our ue trasformato de () à () o eut écrre arables (, ) r r - cte r cte () - cte - cte 3 eme lo de osso, varables (, ) rasformato de () à () - - Remarque : * E toute rgueur, les formules de osso e sot as valables que our cte, c-a-d C v et C sot costates O ratque, même our des varatos de temérature de 00 à 300 C et C v varet assez eu our que l o usse cosdérer les formules de osso comme exactes et cec avec ue boe récso δ δ Q δ δ Isoterme Ada revers L sotherme et l adabatque (, ) Cours de thermodyamque (ar Dr HENNI MANSOUR Z) age 30

15 * Dagramme de CLAYRON Les adabatques réversbles sot rerésetées ar des courbes d équato cte Calculos au ot M, les etes de l adabatque et de l sotherme qu y asse (or fgure c dessous) Isotherme : r r d d d d r } r Adabatque : d d d + d ϒ cte + 0 d d Où E géérale ϒ > Q d d d d Q d d Q d d Formule de REECH Q : rerésete das le dagramme (, v) la ete au ot M, de la courbe qu rerésete la trasformato adabatque : rerésete das le dagramme (, v) la ete au ot M, de la courbe qu rerésete la trasformato sotherme Or, comme ϒ > cela veut dre que l adabatque assat ar M a ue ete suéreure à l sotherme : raval de forces de resso : W ; dv rasformato adabatque ϒ cte où ϒ ϒ ϒ cte Cours de thermodyamque (ar Dr HENNI MANSOUR Z) age 3

16 Cours de thermodyamque (ar Dr HENNI MANSOUR Z) age 3 ( ) dv dv W / * ar et Or W K ( ) W D où falemet W Or r r ( ) kg m our r W Remarque :, E utlsat ces deux relatos, o trouve auss : W W W W Ou W W

17 3 : Eerge tere traval techque : Eerge tere W+ Q U, c Q 0 (trasformato adabatque) U W W * raval techque d d d Or o à cte + 0 d d + 0 d d Multlos ar d +d 0 où W W IIIB3 : rasformato oly troque: : Défto Les trasformatos réelles e sot e géérale tout a fat sotherme ( cte) tout a fat adabatques réversbles cte, mas se rarochet des trasformatos d équato K cte aelées trasformatos olytroques, avec e gééral <k< : raval de forces de resso traval techque A artr de la lo k cte A artr de l exresso δw -dv A artr de l exresso δw d, o eut fare u résoemet detque à celu de ζ II (trasformatos adabatques réversbles) mas e remlaçat ar k E artculer : W W k W k k k ( ) 3 : Chaleur massque d ue trasformato olytroque a : Défto Sot ue trasformato quelcoque C, assat ar u ot M (,, ) La chaleur massque du système étudé au cours de la trasformato C et calculée au ot M est : Cours de thermodyamque (ar Dr HENNI MANSOUR Z) age 33

18 Cc ( M ) Q Cc (M) : Chaleur massque M our ue trasformato doée Cc (M) déed du ot M mas auss de la trasformato C cosdérée E artculer our les trasformatos sobares (resectvemet sochores), o retrouve la chaleur massque C resectvemet Cv O effet, o a vu our u gaz arfat, δq Cvd + dv rasformato sochore dv 0 δq Cvd où Q Cv chaleur massque à volume costat De même our u gaz arfat, δq Cd d rasformato sobare d 0 δq Cd ou Q C chaleur massque à resso costate b : Alcato à ue trasformato olytroque: er rce δw + δq du or du Cvd ( ) δ d Sous forme dfféretelle de : W k W k δ W ( ) ( r ) d k d r d r d k k k r d δw k Cv d k δq du - δw Cv d Cv d Cv d k k k + k Q Cv d Cv d k k δ D où Remarque : S k o a C k 0 δq 0 δq C C k k d k Cv k O retrouve be l adabatque δq 0 Cte Cours de thermodyamque (ar Dr HENNI MANSOUR Z) age 34

19 S k C k (hysquemet mossble) Il faut que d 0 our que δq sot fe d 0, o retrouve be l sotherme cte cte Cours de thermodyamque (ar Dr HENNI MANSOUR Z) age 35