Signal 5 Les oscillateurs forcés

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1 Signal 5 Les oscillateurs forcés Lycée Vauvenargues - Physique-Chimie - PTSI Contenu du programme officiel : Notions et contenus Régime sinusoïdal forcé, impédances complexes. Association de deux impédances. Oscillateur électrique ou mécanique soumis à une excitation sinusoïdale. Résonance. Capacités exigibles - Établir et connaître l impédance d une résistance, d un condensateur, d une bobine en régime harmonique. - Remplacer une association série ou parallèle de deux impédances par une impédance équivalente. - Mettre en œuvre un dispositif expérimental mettant en évidence le phénomène de résonance. - Utiliser la méthode des complexes pour étudier le régime forcé. - À l aide d un outil de résolution numérique, mettre en évidence le rôle du facteur de qualité pour l étude de la résonance en élongation. - Relier l acuité d une résonance forte au facteur de qualité. - Déterminer la pulsation propre et le facteur de qualité à partir de graphes expérimentaux d amplitude et de phase. En gras les points devant faire l objet d une approche expérimentale. Table des matières Le régime sinusoïdal forcé 2. Exemple du circuit RC série Le régime forcé La notation complexe pour l étude des signaux 3 2. Rappel mathématique sur les nombres complexes L amplitude complexe d un signal Dérivations et intégrations en notations complexes Les impédances 4 3. Définition Impédance des dipôles usuels Lois de l électrocinétique en régime sinusoïdal forcé 6 4. Lois de Kirchhoff Association d impédances Ponts diviseurs Étude du régime forcé du circuit RC 9 5. Position du problème Détermination de l amplitude complexe Utilisation de la fonction de transfert Étude des phénomènes de résonance du circuit RLC 6. Position du problème et mise en évidence expérimentale de la résonance La résonance en tension La résonance en intensité Dans les premiers chapitres d électricité ou de mécanique, nous avons toujours étudié les régimes transitoires entre deux régimes constants. Mais que se passe-t-il lorsque le régime d excitation n est pas constant, mais qu il dépend du temps? C est la question que nous allons traiter dans ce chapitre en étudiant en détail le régime sinusoïdal forcé. - /4

2 Le régime sinusoïdal forcé. Exemple du circuit RC série Étudions le circuit électrique de la figure. U R (t) i e(t) = e 0 sin ωt R C U C (t) Fig. Un générateur de tension sinusoïdale e 0 sin ωt est branché sur un condensateur initialement déchargé en série avec une résistance. Relations des dipôles : loi d Ohm U R (t) = Ri(t) ; relation du condensateur i(t) = dq(t) = C du C(t). dt dt Loi des mailles : e(t) = U R (t) + U C (t). Équation différentielle : Par substitution, on trouve au final l équation différentielle avec τ = RC. du C (t) dt + τ U C(t) = e 0 τ sin ωt (.) Forme de la solution générale de l équation : Solution homogène : U SH (t) = K exp( t/τ) avec K une constante ; Solution particulière : le second membre de l équation est une sinusoïde de pulsation ω, ainsi la théorie générale des équations différentielles implique que la solution particulière est une fonction sinusoïdale de même pulsation, d amplitude différente et éventuellement déphasée. On note U SP (t) = U sin(ωt + ϕ) avec U et ϕ des constantes que nous ne cherchons pas à déterminer pour le moment. Solution générale : au final, la solution de l équation différentielle (.) est de la forme.2 Le régime forcé U C (t) = U SH (t) + U SP (t) = K exp( t/τ) + U sin(ωt + ϕ). (.2) La solution (.2) est une somme de deux fonctions du temps : la partie exponentielle représente le régime transitoire que nous avons déjà étudié en détail dans les chapitres précédents. En particulier, nous savons que pour t > 5τ, cette fonction est quasiment nulle et nous pouvons la négliger ; la partie sinusoïdale représente le régime permanent, au sens où cette fonction ne diminue pas d amplitude en fonction du temps. Définition. Le régime sinusoïdal forcé correspond au régime permanent d un système physique lorsque l élément excitateur est de forme sinusoïdale. Ce régime est toujours établi après la disparition d un régime transitoire. Expérience : Le régime forcé du circuit RC. En pratique, on suppose toujours que le régime transitoire est suffisamment court pour pouvoir être négligé. 2/4

3 Remarque : L étude des régimes transitoires a déjà été réalisée précédemment. Pour les systèmes d ordre, on renvoie à la lecture du chapitre E3 sur les circuits linéaires du premier ordre. Pour les systèmes d ordre 2, le régime transitoire sera de la forme de ceux décrits dans le chapitre S4 précédent sur les oscillateurs amortis. Propriété. Considérons un système linéaire dont le signal d entrée est de la forme e(t) = e 0 sin ωt (.3) avec e 0 l amplitude du signal d entrée et ω sa pulsation imposée par l opérateur. Alors en régime sinusoïdal forcé, la théorie générale des équations différentielles linéaires impose que les différents signaux mesurables en sortie seront tous des signaux sinusoïdaux de même pulsation et de la forme s(t) = U sin(ωt + ϕ) (.4) avec U l amplitude du signal de sortie et ϕ le déphasage du signal de sortie par rapport au signal d entrée. L objectif d un problème en régime sinusoïdal forcé est de trouver ces deux constantes. Attention, comme nous l avons constaté expérimentalement, ces constantes dépendent de la pulsation ω. Le régime sinusoïdal permet d étudier tous les régimes forcés des systèmes linéaires. En effet, si le signal d entrée n est pas sinusoïdal, le traitement par le théorème de Fourier permet de le décomposer en une somme de signaux sinusoïdaux, et donc de lui appliquer les règles que nous allons décrire dans ce chapitre. En cours de mathématique, plusieurs méthodes ont étés décrites pour trouver les constantes U et ϕ. On peut par exemple injecter cette solution dans l équation différentielle pour en déduire des équations sur ces constantes ou, de manière équivalente, utiliser une méthode complexe. Dans le cadre de notre étude, nous présentons la méthode standard en physique, qui consiste à formaliser cette méthode complexe sur les systèmes électriques et mécaniques. 2 La notation complexe pour l étude des signaux 2. Rappel mathématique sur les nombres complexes Le module d un nombre complexe z = a + ib vaut z = a 2 + b 2. L argument φ d un nombre complexe z = a + ib vaut φ = arctan(b/a). Ces résultats se retrouvent géométriquement par une étude dans le plan complexe. Avec ces notations, le nombre complexe peut s écrire z = z e iφ. Iz b = z sin φ O z = a 2 + b 2 z φ a = z cos φ Rz Le module d une fraction z /z 2 vaut le rapport des modules z / z 2. L argument d une fraction z /z 2 vaut arg z - arg z L amplitude complexe d un signal Définition. Lors de l étude des signaux, on note j le nombre complexe tel que j 2 =. 3/4

4 Application : Quelle est la notation exponentielle du nombre j? Et celle de /j? On utilise cette notation pour ne pas confondre ce nombre complexe avec le courant électrique, noté généralement i. Propriété. Prenons la fonction réelle u(t) = U cos(ωt + ϕ). L application de la formule mathématique d Euler implique que u(t) est la partie réelle d une exponentielle complexe soit ( U cos(ωt + ϕ) = R Ue j(ωt+ϕ)). En s appuyant sur la propriété précédente, plutôt que de manipuler des fonctions sinusoïdales, on utilisera toujours la forme exponentielle complexe, plus simple à manipuler grâce à la propriété de l exponentielle e a e b = e a+b. Définition. Soit le signal physique u(t) = U cos(ωt + ϕ). Sa notation complexe est U(t) = Ue jϕ e jωt. On note l amplitude complexe du signal u(t) À partir de l amplitude complexe, on déduit U = Ue jϕ. l amplitude réelle du signal U = U ; la phase du signal ϕ = arg U. Le soulignement permet de ne pas oublier que l on manipule des grandeurs complexes. Remarque : Si le signal est un sinus au lieu d un cosinus, cela rajoute un déphasage de π/2 dans l exponentielle qui ne change rien au raisonnement global. Propriété. Les deux inconnues U et ϕ de la solution du régime forcée (.4) sont contenues dans la grandeur complexe U. L objectif d une étude d un oscillateur forcé est donc de trouver cette grandeur. 2.3 Dérivations et intégrations en notations complexes Calculons la dérivée du signal complexe U(t). On a du(t) dt = d dt (Ue jωt) = U dejωt dt = Ujωe jωt = jωu(t). Propriété. La dérivation du signal complexe U(t) correspond à une multiplication par jω. Cette propriété permet de simplifier grandement tous les calculs de dérivée, et même d intégrales. Application 2 : Comment manipuler une dérivée d ordre 2? Et une intégration? 3 Les impédances 3. Définition Une impédance est une grandeur physique définie comme un rapport de proportionnalité entre deux grandeurs physiques dont le produit a une signification énergétique. 4/4

5 Définition. En électricité, on définit l impédance Z d un dipôle comme le rapport entre la tension U(t) et le courant i(t) en convention récepteur, soit la loi d Ohm en régime sinusoïdal forcé U(t) = Z i(t). L impédance électrique Z a la dimension d une résistance, l unité de son module est l ohm. U(t) i(t) Z Fig. 2 Une impédance en convention récepteur. Le régime sinusoïdal forcé en électricité est donc l étude des tensions ou courants en notation complexe. La notion d impédance permet d exprimer toutes les grandeurs électriques en notation complexe, et donc permet l étude des régimes sinusoïdaux forcés. Propriété. Comme pour les résistances, l impédance Z = 0 impose une tension nulle quel que soit le courant, c est un fil ; Z + impose un courant nul quelle que soit la tension, c est un interrupteur ouvert. 3.2 Impédance des dipôles usuels Les résistances On a en régime réel la loi d Ohm U(t) = Ri(t), soit en régime complexe, on a donc U(t) = Ri(t). Propriété. L impédance Z R d une résistance R vaut Z R = R. Déphasage : Si U R (t) = Ue jωt, on a donc i R (t) = U R ejωt. Il n y a pas de déphasage entre courant et tension. C est dû au fait que l impédance d une résistance est réelle. Le courant traversant une résistance et la tension à ses bornes sont en phase. Les condensateurs On a en régime réel la loi i(t) = C du(t), soit en régime complexe i(t) = C du(t) = jcωu(t). dt dt Propriété. L impédance Z C d un condensateur C vaut Z C = jcω. Déphasage : Si U C (t) = Ue jωt, on a donc i C (t) = U Z C e jωt = jcωue jωt = CωUe j(ωt+ π 2 ). Il a un déphasage de π/2 entre courant et tension. C est dû au fait que l impédance d un condensateur est un imaginaire pur. Le courant traversant un condensateur est en avance de phase de π 2 bornes. par rapport à la tension à ses i C (t) Iz U C (t) O ωt Rz Fig. 3 Schématisation dans le plan complexe de la tension aux bornes d un condensateur et du courant le traversant. 5/4

6 Comportement fréquentiel : Pour un condensateur d impédance Z C = jcω, on a aux basses fréquences, soit ω 0, il vient Z C +, le condensateur est équivalent à un interrupteur ouvert ; aux hautes fréquences, soit ω +, il vient Z C 0, le condensateur est équivalent à un fil. Remarque : Le régime basses fréquences en régime forcé est équivalent au régime permanent en régime temporel. En effet, un signal de fréquence nulle correspond bien à un signal constant. Les inductances On a en régime réel la loi U(t) = L di(t), soit en régime complexe U(t) = Ldi(t) = jlωi(t). dt dt Propriété. L impédance Z L d une bobine L vaut Z L = jlω. Déphasage : Si U L (t) = Ue jωt, on a donc i L (t) = U e jωt = U Z L jlω ejωt = U ωl ej(ωt π 2 ). Il a un déphasage de π/2 entre courant et tension. C est dû au fait que l impédance d une bobine est un imaginaire pur. Le courant traversant une inductance est en retard de phase de π 2 bornes. par rapport à la tension à ses Iz U L (t) O ωt i L (t) Rz Fig. 4 Schématisation dans le plan complexe de la tension aux bornes d une bobine et du courant la traversant. Comportement fréquentiel : Pour un condensateur d impédance Z L = jlω, on a aux basses fréquences, soit ω 0, il vient Z C 0, l inductance est équivalente à un fil ; aux hautes fréquences, soit ω +, il vient Z C +, l inductance est équivalent à un interrupteur ouvert. Les impédances en mécanique On utilise les équivalence électriques et mécaniques décrites en fin de chapitre précédent. Électricité Mécanique Impédance mécanique Capacité /C Raideur du ressort k k jω Résistance R Coefficient de frottement λ λ Inductance L Masse m jmω 4 Lois de l électrocinétique en régime sinusoïdal forcé L intérêt des impédances est qu elles vérifient la loi d Ohm. Ainsi, tout se passe en régime sinusoïdal forcé comme si tous les dipôles étaient des résistances. Les lois de l électricité en continu des chapitres E et E2 se retrouvent donc toutes. 6/4

7 4. Lois de Kirchhoff Les lois de Kirchhoff restent vraies dans le cadre de l ARQS (voir chapitre E), c est-à-dire qu on peut négliger les phénomènes de propagation des courants et tensions électriques. Théoriquement, cela impose une fréquence limite dépendant de la vitesse de propagation et de la taille du circuit. En pratique, cette fréquence sera toujours beaucoup plus grandes que les fréquences utilisées. Propriété. La loi des mailles et la loi des nœuds restent valables en régime sinusoïdal forcé dans le cadre de l ARQS. 4.2 Association d impédances Association en série Considérons deux impédances Z et Z 2 en série, donc parcourues par un même courant i(t). On note U(t) la tension aux bornes des deux impédances. Z i(t) Z 2 U (t) U(t) U 2 (t) On a par la loi d Ohm U (t) = Z i(t) et U 2 (t) = Z 2 i(t). Par ailleurs, par définition, il vient U(t) = U (t) + U 2 (t) et donc on a U(t) = (Z + Z 2 )i(t). Tout se passe donc comme si U(t) était la tension aux bornes d une impédance équivalente Z eq. Propriété. En série, les impédances s ajoutent Z eq = Z + Z. Application 3 : Que vaut l impédance d une résistance R en série avec un condensateur C? Association en parallèle Considérons deux impédances Z et Z 2 en parallèles, donc ayant une même tension U(t) à leurs bornes. On note i(t) le courant total parcourant le dispositif. U(t) i(t) i (t) Z i 2 (t) Z 2 On a par la loi d Ohm U(t) = Z i (t) et U(t) = Z 2 i 2 (t). Par ailleurs, par la loi des nœuds, il vient ( i(t) = i (t) + i 2 (t) = + ) U(t). Tout se passe donc comme si U(t) était la tension aux bornes d une Z Z 2 impédance équivalente Z eq. Propriété. En parallèle, les inverses des impédances s ajoutent Z eq = Z + Z 2. 7/4

8 Application 4 : Quelle est l impédance équivalente de l ensemble ci-dessous. R L C 4.3 Ponts diviseurs Les ponts diviseurs restent valables en régime sinusoïdal forcé et ils vont prendre une grande importance dans les études électriques. Le pont diviseur de tension On est confronté à la situation de la figure 5 où U(t), Z et Z 2 sont connus et on cherche U 2 (t) (ou U (t)). Les deux impédances sont en série, on a donc U(t) = (Z + Z 2 )i(t) et de même U 2 (t) = Z 2 i(t). Ainsi, i(t) = U(t) = U 2(t). Z + Z 2 Z 2 Propriété. Le pont diviseur de tension indique que U (t) = Z Z + Z 2 U(t) et U 2 (t) = Z 2 Z + Z 2 U(t). Z i(t) Z 2 U (t) U(t) U 2 (t) Fig. 5 Le pont diviseur de tension. Application 5 : Quelle est l expression de la tension U L (t) dans le circuit ci-dessous en fonction de la tension U(t)? U(t) R L U L (t) Le pont diviseur de courant On est confronté à la situation de la figure 6 où i(t), Z et Z 2 sont connus et on cherche i 2 (t) (ou i (t)). Les deux impédances sont en parallèle, on a donc U(t) = Z eq i(t) avec Z eq = Z Z 2 Z + Z 2 et de même U(t) = Z 2 i 2 (t). Ainsi, U(t) = Z Z 2 Z + Z 2 i(t) = Z 2 i 2 (t). 8/4

9 Propriété. Le pont diviseur de courant indique que i (t) = Z 2 Z + Z 2 i(t) et i 2 (t) = U(t) Z Z + Z 2 i(t). i(t) i (t) Z i 2 (t) Z 2 Fig. 6 Le pont diviseur de courant. 5 Étude du régime forcé du circuit RC 5. Position du problème Reprenons le problème du circuit RC étudié en début de chapitre figure. On étudie la tension aux bornes du condensateur en régime sinusoïdal forcé. Nous supposons donc que le régime transitoire est achevée. Ainsi, on a U C (t) = U 0 sin(ωt + ϕ). En notations complexes, on a e(t) = e 0 e jωt = ee jωt et U C (t) = U 0 e jϕ e jωt = U C e jωt. On cherche les constantes U 0 et ϕ contenue dans la grandeur complexe U C. 5.2 Détermination de l amplitude complexe À partir de l équation différentielle Repartons de l équation (.) du C (t) dt que nous pouvons réécrire en grandeurs complexes soit On peut isoler U C et l on constate que du C (t) dt + RC U C(t) = e 0 sin ωt RC + RC U C(t) = e 0 RC ejωt jωu C e jωt + RC U Ce jωt = e 0 RC ejωt. U C = e 0 + jrcω. À partir du circuit électrique Reprenons le circuit de la figure que nous réécrivons en terme d impédances. 9/4

10 e(t) Z R ZC U C (t) Fig. 7 Représentation du circuit de la figure directement en grandeurs complexes à l aide des impédances. On reconnaît un pont diviseur de tension, soit U C (t) = Z C Z C + Z R e(t) = /(jcω) /(jcω) + R e(t) = + jrcω e(t) soit en simplifiant par e jωt pour se ramener uniquement aux amplitudes complexes, il vient à nouveau U C = e 0 + jrcω. Cette méthode est beaucoup plus rapide que la précédente, car l établissement de l équation différentielle est un raisonnement qui peut prendre du temps. La fonction de transfert Définition. La fonction de transfert d un système H(ω) est définie par H(ω) = s(t) e(t) = s e avec s(t) le signal complexe de sortie du système (s son amplitude complexe) et e(t) le signal complexe d entrée du système (e son amplitude complexe). Remarque : Comme les signaux sont juste une amplitude complexe multipliée par le facteur e jωt, la fonction de transfert se réduit au rapport des amplitudes complexes avec les exponentielles se simplifie. Cela est possible car toutes les grandeurs oscillent à la même pulsation, ce qui est imposé par le fait que nous cherchons des solutions particulières d équations différentielles avec second membre sinusoïdale. La fonction de transfert contient toutes les informations recherchées sur la phase et l amplitude de U C. En effet, dans le problème du circuit RC, le signal d entrée est le signal e(t) tandis que le signal de sortie est le signal U C (t), soit donc U C = H(ω)e 0 = H(ω)e 0. Ainsi, à l aide des calculs précédents, on a montré que la fonction de transfert du circuit RC vaut Dans le circuit RC, on a H(ω) = + j ω ω 0 où l on a pose ω 0 =. On constate que cette grandeur est bien une fonction de la pulsation ω. RC 5.3 Utilisation de la fonction de transfert On sait que U C = U 0 e jϕ = H(ω)e 0. 0/4

11 Amplitude du signal de sortie Propriété. On a par définition U 0 = H(ω) e 0. L amplitude du signal de sortie dépend de la pulsation du signal d entrée. On peut calculer la norme de la fonction de transfert H(ω) = + j ω = ω 0 + ω2 ω 2 0. Déphasage du signal de sortie par rapport au signal d entrée La phase du signal d entrée e(t) valait ωt. Par construction, celle du signal de sortie vaut ωt + ϕ. Ainsi, ϕ représente bien le déphasage entre le signal d entrée et le signal de sortie. Propriété. On a par définition ϕ = arg H(ω). Le déphasage dépend de la pulsation du signal d entrée. On peut calculer l argument de la fonction de transfert en utilisant le rappel sur les nombres complexes du paragraphe 2., c est-à-dire que la tangente de la phase d un nombre complexe vaut la partie imaginaire divisée par la partie réelle, soit arg H(ω) = arg arg ( + j ω ) = arctan ω. ω0 ω 0 Solution finale Ainsi, avec un signal d entrée de pulsation ω fixée et choisie par l opérateur, on peut calculer la fonction de transfert puis, à l aide du module et de l argument de celle-ci, on peut en déduire l amplitude et le déphasage du signal de sortie par rapport au signal d entrée. On peut manipuler les fonctions correspondantes sur l animation []. Schématiquement, on a e(t) = e 0 cos ωt Circuit RC s(t) = H(ω) e 0 cos (ωt + arg H(ω)) 6 Étude des phénomènes de résonance du circuit RLC 6. Position du problème et mise en évidence expérimentale de la résonance On souhaite maintenant étudier le circuit RLC série représenté figure 8. À l aide de l animation [2], on constate que, pour certaines valeurs des composants R, L et C, l amplitude de la tension de sortie peut être supérieure à celle de la tension d entrée. Nous allons réaliser une étude détaillée en régime sinusoïdal forcé pour le mettre en évidence. /4

12 e(t) = e 0 sin ωt R L i(t) C u R(t) u C(t) Fig. 8 Un circuit RLC série est alimenté par une tension sinusoïdale. On s intéresse à la tension aux bornes du condensateur ou aux bornes de la résistance. 6.2 La résonance en tension On s intéresse à la tension aux bornes du condensateur u C représentée figure 8. La fonction de transfert du système À partir de la figure 8, on passe directement en régime forcé et, à l aide d un pont diviseur de tension, on obtient immédiatement Z C U C (t) = e(t) Z C + Z R + Z L soit, en remplaçant les impédances par leurs valeurs U C (t) = /(jcω) /(jcω) + R + jlω e(t). On met ce terme sous la forme d une fonction rationnelle en ω, et il vient H(ω) = U C(t) e(t) = ( ) ω2 ω0 2 + j ω Q ω 0. (6.) Par identification, on constate que Q = R L C et ω 0 = LC. On retrouve le facteur de qualité et la pulsation propre de l oscillateur amorti. Comme pour l étude du circuit RC, schématiquement, on a e(t) = e 0 cos ωt Circuit RLC s(t) = H(ω) e 0 cos (ωt + arg H(ω)) Les différentes fonctions sont tracées figure 9. À partir du graphe du déphasage, on peut en mesurer la pulsation propre du système. On constate sur la relation (6.) que, pour ω = ω 0, la fonction de transfert est un imaginaire pure, le déphasage entre la tension aux bornes du condensateur et la tension aux bornes du générateur vaut alors π 2. 2/4

13 H(ω) arg H(ω) Q = 3 0 ω 0 ω Q =.5 Q = 0.6 Q = 0.6 π 2 Q =.5 Q = 3 0 ω 0 ω π Fig. 9 Effet du facteur de qualité Q sur l allure de la réponse en tension du circuit RLC série. Selon sa valeur, un maximum existe ou non pour la tension aux bornes du condensateur. Ce maximum n a pas lieu pour la pulsation propre ω 0. Par contre, le déphasage de π/2 a toujours lieu pour ω 0. Le phénomène de résonance et la bande passante Définition. Le phénomène de résonance correspond à l existence d une pulsation ω R telle que l amplitude du signal de sortie soit maximale. Ce phénomène n apparaît dans ce système que pour Q > / 2. La pulsation ω r pour laquelle le signal de sortie est maximal est la pulsation de résonance. Définition. La bande passante [ω, ω 2 ] d un système correspond à l ensemble des pulsations telles que ω [ω, ω 2 ] = H(ω) > H max 2. Plus le facteur de qualité est élevé, plus la bande passante est petite. On parle de résonance aïgue. Remarque : On utilise un facteur / 2 sur la bande passante pour se ramener aux grandeurs énergétiques. En effet, la puissance est proportionnelle au carré du signal, donc à de H 2 (ω). La bande passante correspond donc à l ensemble des fréquences pour lesquelles au moins la moitié de l énergie maximale transmissible passe du générateur vers la grandeur étudiée. Les différentes notions sont visualisée figure 0. Il faut être capable de mesurer la pulsation de résonance sur un graphique de ce type. Si le graphe n a pas de résonance, c est que Q < / La résonance en intensité On s intéresse à la tension aux bornes du condensateur u R représentée figure 8. Ainsi, on a la mesure de l intensité dans le circuit en utilisant la loi d Ohm. La fonction de transfert du système À partir de la figure 8, on passe directement en régime forcé et, à l aide d un pont diviseur de tension, on obtient immédiatement Z R U R (t) = e(t) Z C + Z R + Z L soit H(ω) = U R(t) e(t) = ( ω + jq ω0 3/4 ω ). (6.2) 0 ω

14 H(ω) H max H max / 2 ω 0 ω r ω 2 ω(rad s ) ω Fig. 0 Pulsation propre et bande passante pour la résonance en tension. Plus le facteur de qualité est grand, plus la résonance est aïgue. avec toujours Q = R L C et ω 0 = LC. H(ω) Q = 0.6 Q =.5 arg H(ω) π 2 Q = 3 Q =.5 Q = 3 Q = ω 0 ω 0 ω 0 = ω R ω π 2 Fig. Effet du facteur de qualité Q sur l allure de la réponse en intensité du circuit RLC série. La résonance a toujours lieu pour la pulsation propre ω 0. À la résonance, les signaux sont en phase. La résonance en intensité a toujours lieu, quelle que soit la valeur de Q. Pour la résonance en intensité, on peut montrer que la bande passante vaut ω = ω 0. Ainsi, on a directement la propriété qui indique Q que plus le facteur de qualité est élevé, plus la résonance est aïgue. Références [] transfertrlc.php [2] transfert2rlc.php 4/4