Ne consacrez que 50 minutes environ à l exercice. Le plan complexe est muni d un repère orthonormé direct ( 0,, )

Transcription

1 Les complexes Énoncé D après Métropole jun 05 Exercce 5 ponts Ne consacrez que 50 mnutes envron à l exercce. Résoudre, dans l ensemble des nombres complexes, l équaton (E) d nconnue z : z 8z+ 64 = 0 uv. Le plan complexe est mun d un repère orthonormé drect ( 0,, ) On consdère les ponts A, B, C d affxes respectves a = 4 + 4, b= 4 4 et c= 8. dot vous fare penser que les arguments de a et b sont des multples de / ou /6. D autre part, ces deux nombres sont sans doute les solutons de l équaton de la queston, ce qu vous permet de vérfer vos résultats. a. Calculer le module et un argument du nombre a. b. Donner la forme exponentelle des nombres a et b. c. Montrer que les ponts A, B et C sont sur un même cercle de centre O dont on détermnera le rayon. 0, uv,. d. Placer les ponts A, B et C dans le repère Donc nutle de se lancer dans un dessn avant cette queston! Pour la sute de l exercce, on pourra s ader de la fgure de la queston.d. complétée au fur et à mesure de l avancement des questons. En lsant «on pourra s ader» l faut comprendre «on devra s ader», notamment pour répondre à la conjecture de la queston 4.b. 9

2 On consdère les ponts A, B et C d affxes respectves a = ae, b = be et c = ce. a. Montrer que b = 8. b. Calculer le module et un argument de a. Pour la sute, on admet que a = 4+ 4 et c = Vous pouvez utlser les résultats adms dans le sujet pour vérfer vos réponses aux questons précédentes ; ce qu vous permet c de vérfer les résultats de la queston.b. 4 a. On note r, s et t les affxes des mleux respectfs R, S et T des segments [A B], [B C] et [C A]. Calculer r et s. On admet que : t= + +. b. Quelle conjecture peut-on fare quant à la nature du trangle RST? Le sujet dt «conjecture» ce qu n nclut pas encore de justfcaton. Il n y a donc pas de preuve demandée pour obtenr des ponts c. La réponse est smplement «rectangle», «socèle» ou «équlatéral». Insprez-vous du dessn. Justfer ce résultat. Que dt le cours? Résoluton dans C d une équaton du second degré b b+ S <0 alors x = et x = a a a. Calcul d un module z = x + y b. Calcul de l argument Mettre le module en facteur, pus rechercher θ tel que z= z cosθ+ snθ c. Forme exponentelle z = z cosθ+ snθ = ze θ d. A est sur le cercle de centre O s AO = R (R est le rayon du cercle à détermner) Se souvenr de AO = z z A O 0

3 Multplcaton des complexes Sous forme exponentelle, la multplcaton des complexes sut les règles des θ θ ( θ+θ ) 0 pussances : e e = e, zz = z z, ( e ) = 4 a. Mleux et dstances S M et N sont deux ponts du plan complexe d affxes respectves m et n, m+ n alors le mleu du segment [MN] a pour affxe et MN = z z. M N b. Pour calculer l angle entre deux vecteurs z B za arg = ( AC; AB) zc za S le trangle est rectangle : l angle dot être. S le trangle est équlatéral, deux angles dovent être égaux à, ou ben on calcule les longueurs des tros côtés. S le trangle est socèle, deux angles sont égaux, ou ben on calcule les tros longueurs des côtés du trangle, deux seulement sont égales. Attenton : le trangle peut être rectangle et socèle Corrgé = = 9. (E) admet donc deux racnes complexes : z = = 4+ 4 et z = 4 4. a. a = = 8 d où b. = 8 a e et b = 8e c. a= 8 + = 8 cos + sn. AO = 8e = 8 e = 8 de même BO = 8 et CO = 8 = 8 = 8 donc A, B, C appartennent au cercle de centre O et de rayon 8. d. (Le dessn est c complété avec la sute de l exercce). a. b e b = be = e e = e = a =. Le module de a est 8 et un argument de a est.

4 4 a. a + b e + e b + c r = = 8 = 0 s= = 4+ 4 b. On peut conjecturer que le trangle RST est équlatéral. RS = r s = = 4 RT = r t = = = 4 TS = t s = TS = = = 4 RT = TS = RS donc RST est équlatéral.

5 Énoncé D après Ase 6 jun 05 Exercce 4 Le plan est mun du repère orthonormé drect ( 0,, ) 5 ponts uv. On donne le nombre complexe j= +. Le but de cet exercce est d étuder quelques proprétés du nombre j et de mettre en évdence un len entre ce nombre et les trangles équlatéraux. Parte A Proprétés du nombre j a. Résoudre dans l équaton z + z+ = 0 b. Vérfer que j est soluton de cette équaton. Détermner un module et un argument de j, pus donner sa forme exponentelle. Démontrer les égaltés suvantes : a. j = b. j = j 4 On note P, Q, R les mages respectves des nombres complexes, j et le plan. Quelle est la nature du trangle PQR? Justfer la réponse. Parte B Soent a, b, c tros nombres complexes vérfant l égalté a + jb + j c = 0. On note A, B, C les mages respectves des nombres a, b, c dans le plan. En utlsant la queston A..b., démontrer l égalté a c= jc ( b ). En dédure que AC = BC. Démontrer l égalté = ( ) a b j b c. 4 En dédure que le trangle ABC est équlatéral. j dans

6 Corrgé de lecture Ne consacrez que 50 mnutes envron à l exercce. 0, uv,. On donne le nombre Le plan est mun du repère orthonormé drect complexe j= +. On reconnaît un argument de /. Le but de cet exercce est d étuder quelques proprétés du nombre j et de mettre en évdence un len de ce nombre avec les trangles équlatéraux. Donc les angles du trangle sont automatquement égaux à / et ses côtés sont dentques. Parte A Proprétés du nombre j a. Résoudre dans l équaton z + z+ = 0 b. Vérfer que j est soluton de cette équaton. Détermner un module et un argument de j, pus donner sa forme exponentelle. Démontrer les égaltés suvantes : a. j = b. j = j 4 On note P, Q, R les mages respectves des nombres complexes, j et le plan. Quelle est la nature du trangle PQR? Justfer la réponse. j dans Au vu de l énoncé, le trangle dot être équlatéral. L énoncé ne demande pas de schéma mas cela peut être utle c. Parte B Soent a, b, c tros nombres complexes vérfant l égalté a + jb + j c = 0. On note A, B, C les mages respectves des nombres a, b, c dans le plan. En utlsant la queston A..b., démontrer l égalté a c= jc ( b ). En dédure que AC = BC. Il semble qu on montre que le trangle est équlatéral par les longueurs et non par les angles. 4

7 Démontrer l égalté = ( ) a b j b c. Il faudra se servr des questons B.. Et B.. On vot la ressemblance flagrante avec l expresson de la queston B. par exemple. 4 En dédure que le trangle ABC est équlatéral. Corrgé de l exercce a. = 4= donc le polynôme admet + deux racnes complexes : z = et z =. b. On vérfe que z = j donc j est ben soluton de l équaton. j = + = 4 4 a. 4 et 6 j = e = e =. j= cos + sn = e. Un argument de j est. b. j est soluton de l équaton du.a. donc j + j + = 0 donc j = j. j = j= et un argument de j est que le trangle PQR est équlatéral. Pour le démontrer, calculons angles du trangle :. On peut conjecturer 5

8 ( PQ PR) ( j )( j ) j + ; = arg = arg = arg + = j j j j j( j) RP; RQ = arg = arg = ( + ) ( )( + ) arg j arg j j j j = = RP; RQ PQ; PR = RP; RQ = donc PQR est un trangle équlatéral. ( j ) [ ] Parte B D après la queston A..b. j = j. De plus, a + jb + j c = 0. a+ jb+ j c= 0 a c+ j b c = 0 a c= j c b. D où On dédut de la queston précédente que : a c= j( c b ) or j = donc a c = c b AC = BC. D après la queston A..b. j= j. De plus, a + jb + j c = 0. a+ j b+ j c= 0 a b+ j c b = 0 a b= j b c. D où 4 On dédut de la queston précédente que : a b= j ( b c ) or j = donc a b = b c AB = BC. AB = BC = AC donc ABC est un trangle équlatéral. Autres exercces Exercce Extrat Métropole 0 jun 0 Exercce Pour chacune des propostons suvantes, ndquer s elle est vrae ou fausse et justfer la réponse chose. Dans le plan mun d un repère orthonormé, l ensemble des ponts M dont l affxe z vérfe l égalté z = z + est une drote. Le nombre complexe ( + ) 4 est un nombre réel. 6