Chapitre 10 : Les nombres complexes

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1 Chaptre 0 : Les nombres complexes Termnale S Fche d objectfs du chaptre SAVOIR Argument d un nombre complexe Forme trgonométrque d un complexe SAVOIR FAIRE Savor calculer un argument d un nombre complexe. Connaître la sgnfcaton géométrque d un argument. Savor passer de la forme algébrque à la forme trgonométrque et nversement. Utlser le module et un argument d un nombre complexe pour résoudre des problèmes géométrques. Forme exponentelle TICE Savor utlser l écrture exponentelle pour effectuer des calculs avec les nombres complexes. Savor utlser la calculatrce graphque pour fare des calculs sur les complexes ( opératons, module, argument ) et passer de la forme algébrque à la forme exponentelle et nversement.

2 I. Arguments d un nombre complexe : arg, Défnton : S est un complexe non nul, on appelle argument de, et on note ( ) toute mesure de l angle u! ;OM """"! ( ) : θ = arg ( """"! ) 2 ( ) = u! ;OM Remarque : Un nombre complexe non nul a une nfnté d arguments S θ est un argument de, alors les autres sont de la forme θ + 2k, k! Proprétés :! : ) arg( ) = arg( ) 2 2) arg( ) = arg( ) + 2 2

3 II. Forme trgonométrque d un nombre complexe : Défnton : ( cosθ snθ) θ = ( )[ ] Tout nombre complexe non nul peut s'écrre sous la forme = + où arg 2. Cette forme est appelée forme trgonométrque de. Remarque : S = x + y, on a cosθ = snθ = x y Valeurs partculères à connaître : cos x sn x Savor passer de la forme trgonométrque à la forme algébrque : Exemple : Ecrre le nombre complexe = 2 cos + sn sous forme algébrque. 4 4 Ø Vérfer à l ade de la calculatrce. 3

4 Savor détermner un argument : Exemple : Détermner un argument de = 3 Ø Vérfer à l ade de la calculatrce. Savor passer de la forme algébrque à la forme trgonométrque : Exemple : Ecrre le nombre complexe = + sous forme trgonométrque. Ø Vérfer à l ade de la calculatrce. 4

5 III. Proprétés des modules et des arguments : Proprétés : On consdère deux nombres complexes et ' Opératons produt pussance n! Argument arg( ' ) = arg( ) + arg( ' ) 2 arg( ) n = narg ( ) 2 nverse s ' 0 arg ' = arg ' ( ) 2 quotent s ' 0 arg ' = arg ( ) arg( ' ) 2 Démonstraton : ( ) ( ) cos a+ b = cos acosb sn asn b ) Produt : Pré-requs: sn a+ b = sn a cos b+ cos a sn b 5

6 IV. Défnton : Remarque : Les règles de calcul de l argument correspondent aux règles de calcul sur les pussances. On peut donc défnr une notaton de type «pussance» pour les nombres complexes : Défntons : ) Pour tout nombre réel θ, on pose cosθ + snθ = e θ. 2) Tout nombre complexe non nul de module et d argument θ peut s écrre sous la forme = e θ Cette écrture est appelée la forme exponentelle de. Exemple : Reprendre l'exemple = + de la parte II. 4 et donner son écrture exponentelle. Ø Vérfer à la calculatrce 6

7 V. Règles de calcul : Remarque : Pour calculer une somme ou une dfférence, on utlsera la forme algébrque. Pour les autres calculs, on préférera la forme exponentelle. Proprétés : On consdère deux nombres réels θ et θ ' et un enter naturel n non nul. ( ) ) e = et arg e = θ 2) conjugué : e = e 3) 5) θ θ θ θ θ θ' θ n nθ produt : e e = e 4) pussance : e = e nverse : e θ = e θ ( θ+ θ' ) ( ) 6) quotent : e e θ θ ' ( θ θ' ) = e = 2 = Exemples : On consdère les nombres complexes 2 e et 2 3 e. Donner l'écrture exponentelle de chacun des nombres complexes suvants : a) Ø Vérfer à l ade de la calculatrce. b) c) d) 2 3 7

8 Remarques : ) On démontrera ces formules avec la foncton exponentelle 2) Ces formules permettent de retrouver les formules trgonométrques d addton et de duplcaton vue en ère : θ θ' ( θ+ θ' ) a) En utlsant e e = e, on retrouve ( vor démonstraton précédente ) : ( ) ( ) cos θ + θ' = cosθcos θ' snθsn θ' et sn θ + θ' = snθcos θ' + snθcos θ' θ ( ) ( ) b) e = cosθ + snθ = cos θ + 2cosθsnθ sn θ e 2θ ( θ) ( θ) = cos 2 + sn 2 Par dentfcaton des partes réelles et magnares : 2 2 ( ) ( ) cos 2θ = cos θ sn θ et sn 2θ = 2cosθsnθ 3) Formules de Movre : θ!, n ", ( cosθ + snθ ) n = cosnθ + sn nθ Formules d Euler : θ!, cosθ = eθ + e θ 2 snθ = eθ e θ 2 Vor démonstraton et applcatons p 249 du lvre 8