C2-3 - Modelisation des systemes asservis

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1 LYCÉE LA MARTINIÈRE MONPLAISIR LYON SCIENCES INDUSTRIELLES POUR L INGÉNIEUR CLASSE PRÉPARATOIRE M.P.S.I. ANNÉE C2 : MODÉLISATION DES SYSTÈMES ASSERVIS C2-3 - Modelisaion des sysemes asservis Table des maières 2 Ocobre 2018 I Sysème coninu, linéaire e invarian 1 II Principe d éude des performances de sysèmes asservis 2 1 Consignes, Perurbaions e réponses Définiion de signaux canoniques (ou ess) Comporemen dynamique de la sorie d un signal a) Rapidié b) Précision c) Sabilié III Représenaion des sysèmes asservis 8 1 Représenaion à l aide d un schéma bloc a) Les blocs élémenaires b) Les joncions c) Boucles ouveres - Boucles fermées d) Srucure des sysèmes asservis Représenaion par équaions différenielles Représenaion par les foncions de ransfer a) Définiion e propriéés b) Théorème généraux c) Foncions de ransfer de usuelles d) Foncion de ransfer à parir des équaions différenielles Manipulaions e simplificaions de schémas-blocs a) Blocs en série : b) Blocs en parallèle : c) Sysèmes bouclés d) Simplificaions de boucles concenriques e) Déplacemen des blocs auour des poins de prélèvemen f) Déplacemen des blocs auour des comparaeurs IV Méhode de décomposiion en élémens simples 20 1 Décomposiion Déerminaion des inconnues a) Idenificaion du numéraeur : la bouée de secours! b) Recherche de soluion par limies : Compéences Modéliser : Proposer un modèle de connaissance Sysèmes linéaires coninus e invarians. Signaux canoniques d enrée. Schéma-bloc.

2 I. Sysème coninu, linéaire e invarian Définiion 1 : Sysème linéaire Un sysème es di linéaire si, lorsque s 1 () e s 2 () son respecivemen les réponses de e 1 () e e 2 (), alors s 1 ()+λs 2 () es la réponse de e 1 () + λe 2 () pour ou réel λ. e i () Sysème s i () Remarque 1 : Les causes de non-linéarié son muliples. En dehors de la non-linéarié inrinsèque de cerains sysèmes mécaniques, on disingue : la sauraion (amplificaion, buée mécanique), le seuil (filre, froemen), le phénomène d Hysérésis (élecromagnéisme, jeux mécaniques). Un sysème réel es en général non linéaire, mais il es parfois possible, en se limian à un domaine donné, d en approcher le comporemen par des approximaions linéaires. Définiion 2 : Sysème coninu Un sysème se défini comme coninu si les foncions qui le caracérisen (enrées, sories, perurbaions) son des foncions coninues du emps. On parle alors de sysèmes analogiques. Remarque 2 : L uilisaion de sysèmes informaiques impose le raiemen de sysèmes échanillonnés (ou numériques), ce qui nécessie des converisseurs des grandeurs coninues en grandeurs échanillonnées, e inversemen. (a) Grandeur coninue (b) Grandeur discrèe ou échanillonnée FIGURE 1 Différens modes de signaux Définiion 3 : Sysème invarian Un sysème es invarian si la relaion enrée-sorie ne se modifie pas dans le emps (le sysème ne vieilli pas). Si s() es la réponse à e(), alors τ, s( + τ) es la réponse à e( + τ). Lycée La Marinière Monplaisir Lyon 2 / 22 Classe préparaoire M.P.S.I.

3 II. Principe d éude des performances de sysèmes asservis 1 Consignes, Perurbaions e réponses Définiion 4 : Consignes, Perurbaions e réponses Les consignes e les perurbaions se définissen comme éan les enrées du sysème : Les consignes son les enrées imposées au sysèmes. Elles son mairisées, peuven se présenées sous différenes formes e peuven êre uilisées pour vérifier les performance des sysèmes (signaux ess). Les perurbaions son les enrées non-mairisées pour le sysème e peuven venir modifier le comporemen de ce dernier. Pour quanifier les performances d un sysème nous éudions alors les réponses (sorie) en foncion du ype de consigne. Nous pouvons égalemen vérifier la sabilié d un sysème vis-à-vis d une perurbaion. 2 Définiion de signaux canoniques (ou ess) Définiion 5 : Signal Un signal es une grandeur physique mesurable poreuse d une informaion. L informaion es conenue dans la valeur ou dans la forme de variaion du signal. Exemples : ension (V ), viesse (m.s 1 ), déplacemen (m), force (N ), empéraure ( C ). Généralemen des signaux canoniques son uilisés pour éudier les effes sur les réponses d un sysème e ainsi en vérifier les performances. On pourra appliquer ces signaux ess de manière expérimenale ou héorique à l aide d une modélisaion du sysème. Les foncions d enrée les plus courammen uilisées son présenées ci-dessous. Echelon Rampe L échelon uniaire (ou échelon-unié) es définie par l expression : { 0 si < 0 u() = 1 si 0 e() = A u() (1) où A es un scalaire consan appelé ampliude de l échelon. e() A La rampe es un foncion linaire (dans sa parie posiive), définie par : e() = a u() (2) où u() e l échelon unié e a un scalaire. e() a 1 Lycée La Marinière Monplaisir Lyon 3 / 22 Classe préparaoire M.P.S.I.

4 Sinusoïde ou harmonique Dirac e() = A sin(ω) u() (3) où u() es l échelon unié, A e ω son des consanes, respecivemen l ampliude e la fréquence du sinus. e() A Noée δ (), la foncion dirac correspond à un créneau de durée infinimen peie (τ 0), d une ampliude infinimen grande (A + ), e elle que l aire sous la courbe soi égale à 1. Elle se résume donc à une impulsion insananée. Si f τ () es la foncion créneau suivane : { 1 f τ () = τ [0;τ] 0 [0;τ] alors la définiion de la foncion dirac sera : δ() = lim τ 0 f τ () (4) e() A Créneau Dirac 3 Comporemen dynamique de la sorie d un signal Définiion 6 : Sysème dynamique Un sysème es dynamique si la grandeur de sorie dépend des valeurs présenes e passées de la grandeur d enrée (effe mémoire ). Si elle ne dépend que de la valeur présene le sysème es di insanané. La réponse d un sysème s éudie en foncion du emps. On peu quanifier la performance d un sysème en erme de forme emporelle de la sorie. Exemple 1 : Régulaion en aliude de l A.R. Drone Plaçons nous par exemple dans le cas de l A.R. Drone. On souhaie appliquer une consigne en échelon (e()) proporionnelle à une aliude souhaiée (s() = F ()). Le sysème ne donne pas insananémen la réponse souhaiée. La figure 2 donne un exemple de l évoluion de la sorie en foncion du emps. Lycée La Marinière Monplaisir Lyon 4 / 22 Classe préparaoire M.P.S.I.

5 s() Régime ransioire Régime éabli (à 5% près) 1.05 s e() 0.95 s ε s s = lim s () r à 5% FIGURE 2 Évaluaion de la rapidié d un sysème s() s() (a) Sysème len (b) Sysème rapide FIGURE 3 Évaluaion de la rapidié d un sysème On aein le régime éabli ou permanen après une période de ransiion de durée r (emps de réponse ou d éablissemen). Les oscillaions apparues dans le régime ransioire son amories pour disparaîre dans le régime permanen. L enrée es amplifiée par le gain. La performance de la réponse peu êre quanifiée selon plusieurs aspecs. a) Rapidié Définiion 7 : Rapidié La rapidié d un sysème concerne l aspec dynamique de la performance d un sysème e se définie comme son apiude à aeindre rapidemen la consigne souhaiée. Les figures 3 (a) e (b) comparen deux sysèmes lens e rapides. Lycée La Marinière Monplaisir Lyon 5 / 22 Classe préparaoire M.P.S.I.

6 Propriéé 1 : Temps de réponse à 5% La rapidié se caracérise par la durée que le signal me pour se sabiliser auour de valeurs comprises enre 95% e 105% de la valeur asympoique à l infinie (s ). On l appelle le emps de réponse à 5% e on le noe r 5% ou r 05 (figure 4). s() A+5% A A-5% Tr 5% FIGURE 4 Temps de réponse à 5% b) Précision Définiion 8 : Précision La précision se caracérise par la valeur de l écar enre la réponse souhaié héorique d un sysème (s h ) e la réponse obenue. On pourra quanifier ce écar en cours de réponse (précision dynamique) ou une fois la réponse obenue (précision saique). Précision saique : Elle caracérise l écar en régime permanen enre la réponse souhaiée héorique (s h ) e la réponse obenue asympoique en régime éabli (s ). On peu l exprimer en valeur absolue ou relaive (%). On disingue parmi les écars saiques : l erreur saique (ou de posiion) : Elle se mesure sur la réponse à un échelon. C es l écar ε S enre la réponse souhaiée e la réponse obenue en régime permanen. ε S = ε 0 = s s h = lim + s() s h avec e() = A u(). l erreur de raînage (ou de viesse) : Elle se mesure sur la réponse à une rampe. C es l écar ε V enre la réponse souhaiée e la réponse obenue en régime permanen. Elle peu êre infinie. ε V = ε 1 = s s h = lim + s() s h avec e() = A u(). Précision dynamique : Elle caracérise l écar en régime ransioire enre la réponse souhaiée e la réponse obenue d un poin de vue insanané. On défini ainsi l erreur dynamique ε D () insananémen en foncion du emps (figure 3 (a)). Cee définiion es valable quel que soi le signal de consigne. Les erreurs saique e de raînage peuven êre obenues en cherchan la limie de l erreur dynamique quand end vers l infini (régime permanen). Lycée La Marinière Monplaisir Lyon 6 / 22 Classe préparaoire M.P.S.I.

7 s() s() ε S ε v Régime ransioire (a) Erreur saique Régime permanen Régime ransioire (b) Erreur de rainage Régime permanen FIGURE 5 Définiion des erreurs saiques e de rainage des sysèmes Remarque 3 : Calcul de l erreur en praique En praique l erreur sera calculée en prenan l écar enre l enrée e() e la sorie s() (à un coefficien près appelé gain saique) ε = lim e() s(). (5) + c) Sabilié Définiion 9 : Sabilié La sabilié radui la propriéé de convergence emporelle asympoique vers un éa d équilibre sous l effe d une solliciaion de ype échelon. Les figures 6 (a) e (b) illusren donc la différence enre un sysème amori e non amori donc insable. s() s() Mal amori Insable FIGURE 6 Évaluaion de la sabilié d un sysème Lycée La Marinière Monplaisir Lyon 7 / 22 Classe préparaoire M.P.S.I.

8 C2 : M ODÉLISATION DES SYSTÈMES ASSERVIS C2-3 III. Représenaion des sysèmes asservis 1 Représenaion à l aide d un schéma bloc Un sysème asservi se représene à l aide de blocs élémenaires foncionnels. L assemblage des blocs élémenaires consiue le schéma bloc e perme de représener la modélisaion d un sysème. Chaque bloc foncionnel es représené par une foncion de ransfer. a) Les blocs élémenaires Le bloc élémenaire représene une foncion élémenaire. Si f es le nom de cee foncion, e( ) une consigne e s( ) la réponse, alors : s( ) = f (e( )). e() Elémen s() (6) Exemple 2 : Résisance élecrique R : u( ) = R i ( ) i(). u() R Ressor de raideur K : F ( ) = K (x( ) x0). Remarque 4 : On remarquera que la relaion enre la solliciaion e la réponse peu-êre une équaion différenielle, parfois complexe à résoudre. Les blocs peuven êre assemblés en série pour obenir une combinaison de foncions (fig.7). Si f 1 e f 2 son les foncions relaives aux bloc 1 e 2, alors la réponse finale sera définie par : s 2 ( ) = f 2 (e 2 ( )) = f 2 f 1 (e 1 ( )) Lycée La Marinière Monplaisir Lyon 8 / 22 (7) Classe préparaoire M.P.S.I.

9 e1() Elémen 1 s1() = e2() Elémen 2 s2() FIGURE 7 Composiion de blocs élémenaires b) Les joncions ces élémens permeen d addiionner (ou de sousraire) plusieurs informa- Les Comparaeurs (ou sommaeur) : ions homogènes (fig.??). y() s() = x() + y() z() x() + + _ s() z() Exemple de comparaeur Dérivaion - Poins de prélèvemen : les connexions enre les blocs peuven avoir des dérivaions. Ainsi la sorie d un bloc peu êre reliée à l enrée de plusieurs aures blocs. C es noammen le cas des poins de prélèvemen qui permeen de ramener une informaion en amon du schéma. s() s() s() FIGURE 8 Exemple de poin de prélèvemen Remarque 5 : Concrèemen, ce prélèvemen peu-êre réalisé par le biais de capeurs. Un signal n es pas modifié par le prélèvemen de sa valeur c) Boucles ouveres - Boucles fermées Boucle ouvere : Le sysème peu-êre composé exclusivemen de blocs en série. On parle alors de sysème ouver ou boucle ouvere (fig.9). e() s() FIGURE 9 Boucle ouvere Les sysèmes en boucles ouveres n on aucun reour sur la réponse. Si le sysème n es pas précis, ou s il y a des perurbaions, il n y a aucun moyen de corriger le défau. Boucle fermée : On parle de boucle fermée lorsque l une des grandeur es prélevée e réuilisée en amon (fig.10). Dans ce cas, on séparera les blocs en deux groupes : Lycée La Marinière Monplaisir Lyon 9 / 22 Classe préparaoire M.P.S.I.

10 La chaîne direce : c es l ensemble des blocs direcemen placés enre la consigne e la réponse finale. La chaîne de reour : c es l ensemble des blocs qui permeen de remoner l informaion. Chaîne direce e() + _ s() Chaîne de reour FIGURE 10 Boucle fermée, composée de la chaîne direce e de la chaîne de reour Les sysèmes en boucle fermée permeen en pariculier d adaper la consigne en foncion de la réponse pour y apporer d évenuelles correcions. Classiquemen la srucure générale d un sysème asservi se présene sous la forme du schéma bloc suivan. d) Srucure des sysèmes asservis Un sysème asservi peu êre décomposé en deux grandes paries que l on peu représener à l aide d un schéma bloc : La parie commande (celle qui va raier les données reçu de l exérieur, mais aussi issues de l éa du sysème) La parie opéraive (qui va agir pour générer le résula du sysème) FIGURE 11 Srucure générale du sysème asservi 2 Représenaion par équaions différenielles On démonre qu un sysème dynamique linéaire, coninu e invarian es oujours régi par une équaion différenielle linéaire à coefficiens consans. Cee équaion différenielle es oujours de la forme : ds() d n s() a 0 s() + a a n d d n de() d m s() = b 0 e() + b b m d d m (8) où : a 0, a 1,, a n, b 0, b 1,, b m son des consanes (invarians). d n s() d n es la dérivée d ordre n de s(). L équaion s exprime en foncion de s() e de e() ainsi que de leurs dérivées successives par rappor au emps (linéarié). On appelle ordre du sysème le coefficien n. Lycée La Marinière Monplaisir Lyon 10 / 22 Classe préparaoire M.P.S.I.

11 Exemple 3 : Circui RL Un circui RL es habiuellemen uilisé pour modélisé des sysèmes els que les moeurs à couran coninu ou des filres. L i() e() R u() Les équaions élecriques du circui son les suivanes : di () e() = L + R i (). d Si on veu donner une relaion enre u() e l enrée e(), il fau raduire l équaion différeniel par une relaion simple. Les ransformées de Laplace donnée dans la parie suivanes permeen de modéliser e de résoudre plus simplemen ces équaion. Définiion 10 : Sysème causal Pour un sysème physique, l effe ne peu précéder la cause. Donc la sorie s() à la dae ne peu dépendre que des enrées aux daes. Un sysème vérifian cee propriéé es di causal. Cela se radui sur la relaion différenielle par m n. De plus, on prendra pour référence = 0, donc un sysème causal vérifie que < 0, e() = 0. 3 Représenaion par les foncions de ransfer a) Définiion e propriéés Définiion 11 : Transformée de Laplace Soi f une foncion de la variable réelle R e supposée nulle pour < 0, on appelle Transformée de Laplace de f, la foncion F définie par : F (p) = L [ f () ] = + 0 e p f () d. (9) p : Variable complexe. Pour l asservissemen, es le emps e on se limie aux foncions causales, c es à dire les foncions f elles que f () = 0 pour < 0. Lycée La Marinière Monplaisir Lyon 11 / 22 Classe préparaoire M.P.S.I.

12 Remarque 6 : On noe F (p) = L [ f () ] = T L [ f () ] où F (p) es l image de f (). F (p) es la ransformée de Laplace de f (), e f () es l original de F (p). L objecif des ransformées de Laplace es de ramener l éude du comporemen de ce sysème, à la résoluion d un sysème algébrique au lieu de résoudre des équaions différenielles. Propriéé 2 : Unicié : à f () correspond F (p) unique, à F (p) correspond f () unique. Linéarié : L [ α f 1 () + β f 2 () ] = α L [ f 1 () ] + β L [ f 2 () ] b) Théorème généraux Faceur d échelle : L [ f (a) ] = 1 a F ( p a ). (10) Reard : L [ f ( τ) ] = e τp F (p). (11) Amorissemen : L [ e ω f () ] = F (p + ω). (12) Dérivaion première : [ d f L d ] = p F (p) f (0 ). (13) Dérivaion seconde : [ d 2 f L d 2 ] = p 2 F (p) p f (0 ) f (0 ). (14) Inégraion : L [ g () ] = 1 p F (p) + g (0 ) p avec f () = dg(). (15) d Théorème aux limies Définiion 12 : Théorèmes aux limies Théorème de la valeur finale : Si le sysème es sable, lim + f () = lim p F (p). (16) p 0 Théorème de la valeur iniiale : lim f () = lim p F (p). (17) 0 p + Il es ainsi possible de connaîre la valeur finale de la réponse d un sysème par la seule donnée de sa ransformée. Lycée La Marinière Monplaisir Lyon 12 / 22 Classe préparaoire M.P.S.I.

13 c) Foncions de ransfer de usuelles Pour rappel : u() es la foncion échelon uniaire. f () F (p) = L [ f () ] f () F (p) = L [ f () ] u() 1 p sin(ω) u() ω p 2 + ω 2 K u() K p cos(ω) u() p p 2 + ω 2 K u() K p 2 sinh(ω) u() ω p 2 ω 2 e a u() 1 p + a cosh(ω) u() p p 2 ω 2 n u() n! p n+1 e a sin(ω)u() ω (p + a) 2 + ω 2 e a n u() n! (p a) n+1 e a cos(ω)u() p + a (p + a) 2 + ω 2 δ() 1 K δ() K d) Foncion de ransfer à parir des équaions différenielles Si les condiions iniiales son nulles l équaion différenielle vue précédemmen : ds() d n s() a 0 s() + a a n d d n peu s écrire en uilisan la ransformée de Laplace : D où de() d m e() = b 0 e() + b b m d d m a 0 S(p) + a 1 p S(p) a n p n S(p) = b 0 E(p) + b 1 p E(p) b m p m E(p). = S(p) E(p) = b 0 + b 1 p b m p m a 0 + a 1 p a n p n. (18) es appelée foncion de ransfer du sysème (ou ransmiance). Ce qui perme d obenir la valeur insananée de la sorie, pour une enrée donnée, en repassan dans le domaine emporel à l aide de la ransformaion de Laplace inverse. Propriéé 3 : On appelle pôles de la foncion de ransfer les valeurs de p qui annulen son dénominaeur ; les zéros celles qui annulen son numéraeur. Le degré n du dénominaeur es appelé ordre du sysème. = K 1 + b 1 p b m p m p α 1 + a 1 p a n p n (19) es la forme canonique de. On appelle K le gain du sysème e α sa classe. Lycée La Marinière Monplaisir Lyon 13 / 22 Classe préparaoire M.P.S.I.

14 4 Manipulaions e simplificaions de schémas-blocs Un schéma-bloc n es pas figé. On peu le représener de différene manière, sans que cela ne change le résula. L inérê es noammen de pouvoir le simplifier. a) Blocs en série : Dans le domaine de Laplace, les blocs en série (fig.12) se muliplien enre eux. E(p) S1(p) S2(p) H1(p) H2(p) H3(p) S(p) FIGURE 12 Blocs en série b) Blocs en parallèle : Les blocs en parallèle fon nécessairemen inervenir des comparaeurs. H1(p) S1(p) E(p) H2(p) S2(p) + + _ S(p) H3(p) S3(p) FIGURE 13 Blocs en parallèle Le calcul ci-dessous reprend la srucure de la figure 13. Lycée La Marinière Monplaisir Lyon 14 / 22 Classe préparaoire M.P.S.I.

15 c) Sysèmes bouclés Une commande en boucle fermée peu se mere sous la forme de la figure 14 FIGURE 14 Schméa bloc d un sysème en boucle fermée Les FT aux niveaux des différens blocs permeen d écrire : Définiion 13 : Foncion de Transfer en Boucle Fermée L ensemble perme de définir alors la Foncion de Transfer en Boucle Fermée du sysème (FTBF) : G(p) F T BF (p) = 1 +G(p)C (p) (20) On peu aussi appelé cee formule : formule de Black. Remarque 7 : Le signe + du dénominaeur es l inverse du signe du comparaeur (ici : un ). Si nous avions eu un comparaeur +/+, la foncion de ransfer aurai éé : G(p) = 1 G(p)C (p) Touefois, ceraines éudes se feron à parir de la Foncion de Transfer en Boucle Ouvere définie par le schéma 15. Lycée La Marinière Monplaisir Lyon 15 / 22 Classe préparaoire M.P.S.I.

16 ε(p) G(p) S(p) R(p) C(p) FIGURE 15 Schéma-bloc d un sysème en boucle ouvere Définiion 14 : Foncion de Transfer en Boucle ouvere Ici, la foncion de ransfer en boucle ouvere es donc : F T BO(p) = R(p) = G(p) C (p). (21) E(p) d) Simplificaions de boucles concenriques Si l une des branches es consiuée de plusieurs boucles sricemen imbriquées les unes dans les aures, on peu alors calculer la foncion de ransfer boucle par boucle, en commençan par la boucle la plus à l inérieure. Lycée La Marinière Monplaisir Lyon 16 / 22 Classe préparaoire M.P.S.I.

17 Exemple 4 : Déerminer la foncion de ransfer E(p) S(p) + _ + G1(p) _ G2(p) G3(p) C(p) e) Déplacemen des blocs auour des poins de prélèvemen Il peu-êre inéressan de déplacer les blocs au delà des poins de prélèvemen (fig.16). Dans ce cas, le bloc es propagée dans chacune des dérivaions. FIGURE 16 Déplacemen d un bloc au delà d un poin de prélèvemen A l inverse, si l on souhaie ramener un bloc en amon d un poin de prélèvemen (fig.17), il faudra corriger le changemen dans la seconde branche, en appliquan la foncion de ransfer inverse. Lycée La Marinière Monplaisir Lyon 17 / 22 Classe préparaoire M.P.S.I.

18 -1 FIGURE 17 Déplacemen en mon d un poin de prélèvemen f ) Déplacemen des blocs auour des comparaeurs Au même ire que les poins de prélèvemen, un bloc en aval peu êre ramené en deux blocs en amon d un comparaeur (fig.19). E(p) + _ S(p) E(p) + _ S(p) R(p) -1 R(p) FIGURE 18 Déplacemen en aval d un poin de prélèvemen E(p) + _ S(p) E(p) + _ S(p) R(p) R(p) FIGURE 19 Déplacemen en amon d un poin de prélèvemen Aenion : Dans le cas des comparaeurs, il convien de veiller à l homogénéié des enrées! Lycée La Marinière Monplaisir Lyon 18 / 22 Classe préparaoire M.P.S.I.

19 Exemple 5 : Déerminer la foncion de ransfer : C2(p) E(p) H1(p) _ + _ + H2(p) H3(p) H4(p) S(p) C1(p) Lycée La Marinière Monplaisir Lyon 19 / 22 Classe préparaoire M.P.S.I.

20 IV. Méhode de décomposiion en élémens simples 1 Décomposiion Soi une foncion raionnelle : Y (p) = N (p) D(p) où N (p) e D(p) son des dénominaeur. Supposons que D(p) se facorise au maximum sous la forme : N (p) D(p) = N (p) ( ) n1 ( ) n2 ) p + a1 p + a2 (p 2 m1 ( ) + b 1 p + c 1 p 2 m2 + b 2 p + c 2 (où les faceurs d ordre 2 n on pas de racine réelle, e ne son donc pas facorisables dans R). On monre que cee fracion peu se décomposé en une somme de fracions (di élémens simples) : N (p) D(p) = A B C D + ( ) p + a 2 + ( ) ( ) n1 1 p + a1 p + a1 p + a1 + E F G H + ( ) p + a 2 + ( ) ( ) n2 2 p + a2 p + a2 p + a2 + I p + J K p + L Mp + N Op + P + p 2 + ( ) + b 1 p + c 1 p ( ) + b 1 p + c 1 p ( ) + b 1 p + c 1 p 2 m1 + b 1 p + c 1 Qp + R Sp + T Up +V W p + X + p 2 + ( ) + b 2 p + c 2 p ( ) + b 2 p + c 2 p ( ) + b 2 p + c 2 p 2 m1 + b 2 p + c 2 + Ce qui précède se base sur les remarques suivanes : Remarque 8 : Les faceurs muliples (à la puissance n) engendreron n élémens simples, don les dénominaeurs seron à la puissance 1, 2, jusqu à n. Les faceurs d ordre 2 (rinômes du 2 nd degrés qui n on pas de racines réelles) engendreron des élémens simples don le dénominaeur sera un binôme du 1 er degrés. 2 Déerminaion des inconnues Plusieurs méhodes son possibles pour déerminer les inconnus des numéraeurs. a) Idenificaion du numéraeur : la bouée de secours! La méhode consise à remere ous les élémens simples au même dénominaeur pour ré-obenir une seule fracion raionnelle. Le numéraeur sera donc un polynôme, foncion de oues les inconnues. Les numéraeurs peuven alors êre idenifiés, coefficien. Lycée La Marinière Monplaisir Lyon 20 / 22 Classe préparaoire M.P.S.I.

21 Exemple 6 : 2 Y (p) = p ( p + 3 ) 2 b) Recherche de soluion par limies : Une méhode efficace consise à venir muliplier la foncion Y (p) par l un des faceurs, puis à faire endre la variable p vers sa racine. Lycée La Marinière Monplaisir Lyon 21 / 22 Classe préparaoire M.P.S.I.

22 Exemple 7 : En reprenan l exemple précéden : Y (p) p Pour ce qui es la recherche des inconnues issues des élémens simples don les dénominaeurs es d ordre 2, La méhode es similaire, à la différence que l on fai endre la variable p vers la racine complexe. Le résula sera alors un nombre complexe, don on pourra idenifier parie imaginaire e parie réelle. Lycée La Marinière Monplaisir Lyon 22 / 22 Classe préparaoire M.P.S.I.

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