2) Si deux plans sont parallèles, toute droite de l un est parallèle à toute droite
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- Ghislain Rondeau
- il y a 5 ans
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1 TS Chapitre G1 : Première partie Travail de groupes Pour se tester sur la compréhension du cours : vrai ou faux? 1) Si une droite (d) est strictement parallèle à un plan (P) et si (d ) est une droite du plan (P) alors (d) et (d ) sont parallèles ou non coplanaires. VRAI Si une droite (d) est strictement parallèle à un plan (P), alors elle est strictement parallèle à une droite du plan (P). La droite (d ) est incluse dans le plan (P) donc elle est parallèle ou sécante à. Si (d ) parallèle à qui est parallèle à (d) alors (d ) parallèle à (d) Si (d ) coupe en un point A, alors (d ) et le plan formé par A et (d) sont sécants et donc (d) et (d ) sont non coplanaires A 2) Si deux plans sont parallèles, toute droite de l un est parallèle à toute droite de l autre. FAUX Sur le cube : les plans (ABC) et (EFG) sont parallèles. Or les droites (AB) et (FG), respectivement incluses dans les plans (ABC) et (EFG), ne sont pas parallèles 3) Soit un plan (P), une droite (d) strictement parallèle à (P) et A un point n appartenant ni à (P) ni à (d). Le plan (P ) déterminé par la droite (d) et le point (A) est parallèle au plan (P).FAUX Sur le cube : I est le milieu de [AE]. (P) = (ABC) (d) = (EH) (EH) est strictement parallèle à (ABC). I (ABC) et I (EH). Le plan (P ) défini par I et (EH) est (AEH), sécant à (ABC) Autre explication : voir théorème du toit On peut donc avoir deux plans sécants qui sont parallèles à une même droite et alors l intersection des deux plans est une droite parallèle à ces deux droites. A P d P 4) Si un plan (P) contient une droite (d) perpendiculaire à une droite (d ), alors (d ) est orthogonale au plan (P). FAUX (P) = (ABC) (d) = (AB) et (d ) = (BC) (d ) n est pas orthogonale au plan (ABC) : (d ) (ABC)
2 Enoncer la propriété réciproque. Est-elle vraie? Si une droite (d ) est orthogonale à un plan (P) alors ce plan (P) contient une droite (d) perpendiculaire à une droite (d ). VRAI d Si une droite de l espace est orthogonale à un plan, elle est orthogonale à toute droite de ce plan. Il suffit de prendre une droite du plan (P) passant par le point d intersection de la droite (d ) et du plan (P). 5) Si deux droites sont perpendiculaires alors elles sont orthogonales. VRAI (cf définition) Enoncer la propriété réciproque. Est-elle vraie? Si deux droites sont orthogonales alors elles sont perpendiculaires FAUX Voir sur le cube : les droites (AE) et (BC) sont orthogonales mais non perpendiculaires
3 Une section à construire Soit ABCD un tétraèdre. E est un point de l arête [AB], F est un point de la face ABC et G un point de la face ABD. Construire la section du tétraèdre par le plan (EFG) Les droites (EF) et (BC) sont coplanaires (incluses dans (ABC)) et non parallèles donc elles sont sécantes. La droite (EF) coupe [BC] en H Les droites (EG) et (BD) sont coplanaires (incluses dans (ABD)) et non parallèles) donc elles sont sécantes. La droite (EG) coupe [BD] en L. La section du tétraèdre par le plan (EFG) est le triangle ELH.
4 Des raisonnements à mener : Exercice 1 SABCD est une pyramide de sommet S ; la base ABCD est un parallélogramme. M est un point de l arête [SC] et N de l arête [SB] ; de plus (MN) est parallèle à (BC). 1. Démontrer que les droites (AD) et (MN) sont parallèles. On sait que : (MN) est parallèle à (BC) ABCD est un parallélogramme donc (BC) est parallèle à (AD) Donc (MN) est parallèle à (AD) Propriété utilisée Lorsque deux droites sont parallèles à une même droite, elles sont parallèles entre elles 2. Justifier que les droites (AN) et (DM) sont coplanaires. D après la question précédente, (MN) est parallèle à (AD) donc les points A, D, M et N sont coplanaires donc en particulier les droites (AN) et (DM) sont coplanaires. 3. On note P, le point d intersection des droites (AN) et (DM). a) Démontrer que le point P appartient à chacun des plans (SAB) et (SDC). A et N sont deux points du plan (SAB) donc la droite (AN) est incluse dans (SAB). Comme de plus, P appartient à (AN), on en déduit que P appartient au plan (SAB) De même, D et M sont deux points du plan (SDC) donc la droite (DM) est incluse dans (SDC). Comme de plus, P appartient à (DM), on en déduit que P appartient au plan (SDC) Rédaction en langage mathématique : A (SAB) et N (SAB) donc (AN) (SAB) Or P (AN) donc P (SAB) De même : D (SDC) et M (SDC) donc (DM) (SDC) Or P (DM) donc P (SDC) b) Pourquoi la droite d intersection des plans (SAB) et (SDC) est-elle la droite (SP)? Les deux plans (SAB) et (SDC) ne sont pas confondus. De plus, S appartient aux plans (SAB) et (SDC) et on a montré précédemment (question 2a)) que P appartient aussi aux deux plans (SAB) et (SDC). En conclusion, on peut dire que la droite d intersection des plans (SAB) et (SDC) est la droite (SP) Rédaction en langage mathématique : S (SAB) (SDC) et P (SAB) (SDC) donc (SP) (SAB) (SDC) Or (SAB) (SDC) Donc (SAB) (SDC) = (SP) c) En déduire que (SP) est parallèle à (AB) et à (CD). Il s agit d appliquer le théorème du toit. Les plans (SAB) et (SDC) sont sécants La droite (AB) est incluse dans le plan (SAB) La droite (CD est incluse dans le plan (SCD) Les droits (AB) et (CD) sont parallèles Donc d après le théorème du toit, la droite d intersection des plans (SAB) et (SCD) est parallèle à (AB) et (CD). Or cette droite d intersection des plans (SAB) et (SCD) est la droite (SP) On a donc prouvé que la droite (SP) est parallèle à (AB) et à (CD). (SAB) (SDC) = (SP) et (AB) (SAB) et (CD)) (SDC) et (AB) // (CD) donc, d après le théorème du toit, (SP) //(AB) et (SP) //(CD)
5 Des raisonnements à mener : Exercice 2 ABCDEFGH est un cube 1. Démontrer que la droite (BF) est perpendiculaire au plan (ABC) La droite (BF) est perpendiculaire aux droites (AB) et à (BC), qui sont deux droites sécantes du plan (ABC) donc la droite (BF) est perpendiculaire au plan (ABC). 2. a) Démontrer que la droite (AC) est perpendiculaire à la droite (BD) ABCD est un carré donc ses diagonales sont perpendiculaires d où les droites (AC) et (BD) sont perpendiculaires b) En déduire que la droite (AC) est perpendiculaire au plan (BDH) Pour cela, il suffit de prouver que (AC) est orthogonale à deux droites sécantes de (BDH) D après la question précédente, on sait que (AC) est perpendiculaire donc orthogonale à la droite (BD) Dans la question 1. On a montré que la droite (BF) est perpendiculaire au plan (ABC) donc elle est orthogonale à toute droite de ce plan donc en particulier (BF) est orthogonale à (AC) Propriété utilisée Lorsqu une droite est perpendiculaire à un plan, elle est orthogonale à toute droite de ce plan. La droite (AC) est donc orthogonale aux droites (BF) et (BD) qui sont deux droites sécantes du plan (BDH). On en déduit que la droite (AC) est perpendiculaire au plan (BDH). 3. Démontrer de manière analogue que la droite (CF) est perpendiculaire au plan (BHG) Dans le carré BCGF, les diagonales sont perpendiculaires donc les droites (CF) et (BG) sont perpendiculaires. De plus, (GH) est perpendiculaire à (FG) et (GC) qui sont deux droites sécantes du plan (BCG). On a alors prouvé que la droite (GH) est perpendiculaire au plan (BCG) donc orthogonale à toute droite de ce plan donc en particulier à la droite (CF). La droite (CF) est donc orthogonale aux droites (BG) et (GH) qui sont deux droites sécantes du plan (BHG). On en déduit que la droite (CF) est perpendiculaire au plan (BHG). 4. En déduire que la droite (BH) est perpendiculaire au plan (AFC) On a montré dans la question 2) que la droite (AC) est perpendiculaire au plan (BDH) donc (AC) est orthogonale à toute droite de ce plan donc en particulier à la droite (BH). On a montré dans la question 3) que (CF) est perpendiculaire au plan (BHG). On en déduit que (CF) est orthogonale à toute droite de ce plan donc en particulier à la droite (BH). En conclusion (BH) est orthogonale aux droites (CF) et (AC) qui sont deux droites sécantes du plan (AFC). On a donc prouvé que la droite (BH) est perpendiculaire au plan (AFC)
6 Des raisonnements à mener : Exercice 3 Soient A et B deux points du plan et P le plan médiateur de [AB]. C est un point de P distinct du point I milieu de [AB]. 1. Déterminer la nature du triangle ABC. C est un point du plan médiateur de [AB] donc, par propriété, il est à égale distance des points A et B. On en déduit que le triangle ABC est isocèle de sommet C. 2. Soit D un point de P distinct de C Les droites (AB) et (CD) sont-elles orthogonales? Le plan médiateur d un segment passe par le milieu de ce segment et lui est perpendiculaire donc le plan P passe par I et il est perpendiculaire à la droite (AB) Comme (AB) est perpendiculaire à ce plan P, elle est orthogonale à toute droite de ce plan donc en particulier à la droite (CD).
7 Des raisonnements à mener : Exercice 4 ABCD est un tétraèdre régulier. I est le milieu de [BD] 1. Démontrer que la droite (BD) est orthogonale au plan (ACI) Le triangle ABD est équilatéral (tétraèdre régulier) donc la médiane (AI) est aussi une hauteur du triangle donc (AI) est perpendiculaire à (BD). De même dans le triangle BCD équilatéral (tétraèdre régulier), la médiane (CI) est perpendiculaire à (BD) On en déduit que la droite (BD) est orthogonale aux deux droites sécantes (AI) et (CI) du plan (ACI) donc elle est perpendiculaire à ce plan. 2. En déduire que les droites (AC) et (BD) sont orthogonales. Comme (BD) est perpendiculaire au plan (ACI), elle est donc orthogonale à toute droite de ce plan donc en particulier à la droite (AC).
8 Pour aller plus loin SABCD est une pyramide dont la base ABCD est un parallélogramme. I est un point de [SC], (d) est une droite du plan (ABC) parallèle à (BC). Déterminer la section de cette pyramide par le plan (P) passant par I et contenant (d). Pour construire l intersection des plans (P) et (SBC), on utilise le théorème du toit. En effet, le plan (P) et le plan (SBC) sont sécants Ce plan (P) contient donc la droite (d). Le plan (SBC) contient la droite (BC) La droite (d) est parallèle à la droite (BC) Donc d après le théorème du toit, l intersection des deux plans (P) et (SBC) est une droite parallèle à (d) et (BC). Le point d intersection des droites coplanaires et sécantes (AB) et (d), nommé R sur la figure, appartient au plan (P) et au plan (SAB). La droite (JR) est donc incluse dans le plan (P) et dans le plan (SAB). Elle coupe [SA] en un point K. De même pour le point Q, point d intersection des droites (DC) et (d). La droite (IQ) coupe [DS] en un point L. On peut montrer que la droite (KL) est parallèle aux droites (AD) et (d) donc aussi à (IJ) (cf théorème du toit) La section de la pyramide par le plan (P) est donc le trapèze IJKL.
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