MODELISATION DES PROCESSUS LINEAIRES

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1 MDELISATIN DES PRCESSUS LINEAIRES Dans un premer temps, nous ne consdérons que des processus partculers, supposés notamment statonnare. Cec permet de présenter un certan nombre d'outls dans un cadre relatvement smple que nous nttulons la modélsaton ARMA qu sera poursuv par l étude de processus à varance condtonnelle non constante. Par la sute cette hypothèse de statonarté sera levée, et l'étude des processus non statonnares sera menée pour l'essentel autour de deux thèmes : processus ntégrés en espérance d une part, en varance d autre part. PREMIERE PARTIE LA MDELISATIN ARMA Fare référence à un processus stochastque lorsque l'on dscute d'une varable économque sgnfe d'une part qu'l exste un mécansme générateur de la varable en queston ('processus'), et que d'autre part cette varable est aléatore ('stochastque'). En pratque, on dspose d'un ensemble de réalsatons observées sur un espace de temps dscrétsé noté lq, xt t,..., T et l mporte de comprendre que l'on ne connaît alors qu'une réalsaton partculère du processus sur la pérode de temps consdérée (une trajectore). Ans, x t est la réalsaton de la varable aléatore ~ x t. Par exemple, nterpréter une sére de taux de change, d'ntérêt, de chômage,... en termes de processus stochastque sur les années sgnfe que s l'on pouvat remonter le temps jusqu'en 98 et rétablr les condtons ntales exstant alors, nous obtendrons une sére de réalsatons jusqu'en 99 (et au-delà) dfférentes de celles que l'on trouve aujourd'hu dans les annuares statstques mas tout auss "rasonnables". n ne tratera pas c de la modélsaton en temps contnu

2 Cette maîtrse du temps et de l'envronnement nous échappant encore, et plus généralement, l'expérmentaton étant ben souvent mpossble en économe, l est clar que la caractérsaton complète d'un processus stochastque partculer est a pror une tâche mpossble. Lmtons-nous par exemple aux deux seuls premers moments d'un processus que l'on suppose de plus gaussen. Il nous faudrat donc estmer : - d'une part : E~ x, Ex ~,..., Ex ~ T b g b g b g, sot T termes et, - d'autre part : LVx ~ Covx ~, ~ x Covx ~, ~ x M Vx ~ Covx ~, ~ x Covx ~, ~ x NM sot T( T ) bg b g T b g b 3g b Tg termes. Vx ~ b Tg QP Il est alors évdent que cette tâche est mpossble s l'on se souvent que l'on ne dspose que d'une seule trajectore et donc de T réalsatons lx, x,, x T q. Dans ces condtons l est nécessare d'mposer des restrctons sur les proprétés des processus s l'on veut avancer. C'est l'objet des hypothèses d'ergodcté et de statonnarté. () - L'ergodcté : Elle consste à admettre que la lo des grands nombres est vérfée même sur un ensemble de réalsatons non ndépendantes. () - La statonnarté : toute observaton fate à un temps t, x t, est donc la réalsaton d'une varable aléatore, ~ x t, de densté de probablté f af.. Plus généralement, tout ensemble de observatonslxt, xt,, xt q est la réalsaton d'un vecteur aléatore de densté de probablté lée f x, x,, x g. L'hypothèse de statonnarté strcte sgnfe que la b t t t densté jonte des varables ne dépend pas du temps, sot : f x, x,, x f x, x,, x b g d. n peut ans prendre n'mporte quelle orgne t t t ' ' ' t t t de temps pour observer réalsatons successves du processus sans affecter la dstrbuton assocée à ces réalsatons. Un processus sera dt statonnare au sens fable s ses deux premers moments sont ndépendants du temps. A l'évdence la statonnarté au sens strct mplque la statonnarté au sens fable, l'nverse n'étant pas vra. Les deux défntons ne Avec cette dernère restrcton, on s'assure que le connassance des deux premers moments défnt entèrement le processus. En règle générale, on sat que ceux-c ne sont pas suffsants.

3 sont équvalentes que pour des processus gaussens qu, précsément, sont entèrement défns par leur deux premers moments. Dans ces condtons, un processus stochastque x statonnare au sens fable (et a fortor au sens strct) possède : z a f, x x x - une moyenne µ x constante : µ x xf x dx z - une varance σ x également constante : σ b µ g faxf dx, - une structure d'autocovarances γ, γ Cov x x E x µ x µ (, ) b gb g, ne dépendant que de, t t t x t x ntervalle de temps séparant les deux observatons consdérées, et non de l'nstant t 3 : Cov x, x Cov x, x b g d γ. t t ' ' t t Box et Jenns [97] ont proposé une procédure unfée de tratement des processus stochastques statonnares et ergodques qu sert toujours de référence. Dans cette approche, tros étapes sont consdérées : - Identfcaton d'un ou de pluseurs fltres apparemment rasonnables, - Estmaton des paramètres du ou des fltres retenus précédemment, - Tests d'adéquaton du ou des fltres. A l'ssue de la trosème étape ( ou, éventuellement, à l'ssue d'un cycle d'allersretours entre deuxème et trosème étapes) l'utlsateur dspose normalement d'un fltrage consdéré comme satsfasant. Dans cette problématque, deux outls et un théorème jouent un rôle essentel : fonctons d'autocorrélaton et d'autocorrélaton partelle d'une part, théorème de Wold d'autre part. ) Fonctons d'autocorrélaton et d'autocorrélaton partelle 3 En conséquence, la foncton d'autocovarance qu a assoce γ est symétrque par rapport à zéro pusque : γ Cov( x t,x t ) Cov( x t, x t ) Cov( x t, x t ) γ 3

4 Il s'agt d'apprécer les dépendances exstant entre les observatons consttuant une trajectore du processus. L'emplo d'une coeffcent de corrélaton paraît alors naturellement ndqué, d'où l'ntérêt de la foncton d'autocorrélaton. Cependant, la corrélaton entre xt et xt résulte en parte de celles exstant éventuellement entre x et x, x et x,, x et x, d'où l'ntérêt de la foncton d'autocorrélaton partelle. t t t t t t -a) La foncton d'autocorrélaton Elle donne en foncton de, la valeur de la corrélaton de x Covbxt, xt g γ / / Vx Vx γ bg t b t g t et x. Sot : t n note déja que la symétre de la foncton d'autocovarance entraîne celle de la foncton d'autocorrélaton :. Les coeffcents sont en règle générale non obervés. Les estmateurs employés sont les coeffcents de corrélaton emprque usuels, r, obtenus comme sut : T bxt xgbxt xg t r T x x t b t g Pour des processus gaussens, Bartlett [946] a dérvé les valeurs asymptotques des varances et covarances de ces estmateurs. Elles dépendent de façon complexe des termes,,, : Vr bg c j j j 4 j j j h T et, Cov r r j b g, s j j s T j -b) La foncton d'autocorrélaton partelle 4

5 Il s'agt c de mesurer la relaton entre les observatons dstantes de pérodes une fos prses en consdératon les lasons entre observatons dstantes de,,,- pérodes. La corrélaton étant une mesure des assocatons lnéares, l semble naturel d'évaluer cette corrélaton partelle par le coeffcent de x t dans la régresson de xt sur xt, xt,, xt. Cette foncton assoce donc aux valeurs de, les coeffcents φ des écrtures 4 : xt φ xt φ xt φ xt ut, pour,,k. Des estmateurs φ sont obtenus en applquant la procédure des Mondres Carrés rdnares à l'équaton précédente et cela pour chacune des valeurs successves de,,,,k. Quenoulle [949] a montré que s le processus générateur de x est effectvement un modèle autorégressf d'ordre p, alors les estmateurs des coeffcents d'autocorrélaton partelle φ, φ, sont asymptotquement ndépendants. Par alleurs, toujours p, p p, p dans ce même cas, on vérfe : V φ pour > p T. n peut, en supposant que le processus est statonnare, donner une représentaton matrcelle ntéressante des relatons exstant entre les autocorrélatons partelles et les autocorrélatons totales, représentaton connue sous le nom des équatons de Yule-Waler : En effet, de l écrture précédente on dédut le terme général d ordre (>) de la foncton d autocovarance apprécée dans un modèle autorégressf d ordre (en posant φ n s n ) 5 : γ E φ x x φ x x φ x x u x φ γ φ γ φ nγ n t t t t n t n t t t 4 Dans ces écrtures, le premer ndce de φ donne l'ordre du modèle (le retard maxmal consdéré) et le second, le décalage effectf de l'explcatve à laquelle s'applque le coeffcent. Ans, φ 5, est le coeffcent de x t- dans la projecton de x t sur x t-,x t-,,x t-5. n peut réfléchr à la dfférence entre corrélaton totale et corrélaton partelle en consdérant les deux modèles suvants : - d'une part : x t φ x t u t - d'autre part : x t φ x t φ x t φ x t u t. 5 n admettra Eu [ t x t ]. Ce pont sera dscuté de façon plus approfonde par la sute. 5

6 Sot encore, celu de la foncton d autocorrélaton : φ φ φ n n n obtent, en fasant varer,,...,, l ensemble des équatons de Yule-Waler : φ φ φ n n φ φ φ n n φ φ φ 3 n n 3 φ φ φ n n Sot encore, sous forme matrcelle : L NM L QP NM 3 L QP NM φ φ φ QP ) Le théorème de Wold Nous allons dans un premer temps énoncer ce théorème, sans en donner la démonstraton. Dans un second temps nous dscuterons de la constructon de prévsons au moyen de la représentaton du processus que donne le théorème. Les caractérstques des prédcteurs construts sur la base des espérances condtonnelles et des erreurs de prévson assocées seront notamment précsées. Par la sute, nous revendrons sur les conséquences de l'hypothèse de statonarté pour les paramètres de la représentaton de Wold. -a) L'énoncé du théorème de Wold Wold [938] montre que tout processus stochastque statonnare au sens fable peut s'écrre comme une somme pondérée de chocs aléatores orthogonaux, centrés et de même varance, somme éventuellement augmentée d'une composante détermnste. 6

7 Sot X un processus stochastque statonnare au sens fable, l vent : Xt Dt ut Dt ut ut ut où : D t est la composante détermnste, et, {u} un ensemble de varables aléatores vérfant : Eut, t R u s Euu t t s S T σ s snon,,,, un ensemble de coeffcents réels p l 3 q non aléatores, avec La composante détermnste, parfatement prévsble à partr de ces valeurs passées, représente par exemple une moyenne constante, un trend sur le temps,...afn de smplfer les écrtures nous consdérerons, sans perte de généralté, que les processus étudés ne possèdent pas de composante détermnste D t. Cec est toujours possble en posant xt Xt Dt. Les séquences de chocs aléatores de type {u} sont appelées processus en bruts blancs. Ce théorème joue un rôle central dans la modélsaton des processus stochastques lnéares. Pour en percevor l'ntérêt, l sufft de remarquer que 6 : Et xt Et ut ut ut QP et donc : xt ut Et xt. L N M Dans ces condtons, u t s'nterprête comme l'nnovaton affectant x t. Cette dernère est en effet formée de deux composantes : l'une parfatement connue au temps t-, c'est l'espérance condtonnelle, l'autre, u t, d'espérance condtonnelle en t- nulle, peut être vue comme étant la seule nformaton nouvelle contenue dans la réalsaton de x au temps t. 6 n suppose pour l'nstant que les paramètres,, 3, et que l'hstorque du brut jusqu'au temps consdéré sont connus. Le problème de l'estmaton n'est pas encore abordé. 7

8 Il paraît alors rasonnable d'utlser l'espérance condtonnelle pour construre une prévson de la trajectore future du processus à partr de la trajectore observée. Ces prédcteurs, fondés sur l'espérance condtonnée par le seul hstorque du processus consdéré, sont dans la lttérature nommés "prédcteurs sem-ratonnels" 7. -b) Les prévsons sem-ratonnelles ssus de la représentaton de Wold Sot à construre à l'nstant t, une prévson relatve à x t l, notée xta lf, où l est donc l'horzon de la prévson (l ). S l'on utlse pour ce fare l'espérance condtonnelle trée de la représentaton de Wold, l vent : a f L N M xt l Et xt l Et ut l ut l lut l ut l ut QP l Ce mode de constructon de prévsons peut être justfé en montrant que les prédcteurs en queston sont des estmateurs de x t l qu mnmsent l'erreur quadratque moyenne dans la classe des estmateurs lnéares en ut, ut, ut,. Sot en effet x taf l un autre prédcteur prs dans cette classe : xtaf l α lut α l ut α l ut L'erreur quadratque moyenne qu lu est assocée est 8 : af Ex x l E u α u t l t t l L t l NM l QP c h b g σ α σ l u u l C'est une somme de deux termes postfs dont le premer ne dépend pas des chox fats sur la séquence des coeffcents α et dont le second est mnmum pour 7 Pour les dstnguer des prédcteurs ratonnels au sens de Muth qu condtonne par l'ensemble des nformatons pertnentes prses en compte selon le modèle structurel générant le processus en queston. 8 Il faut se souvenr que u est un brut blanc et donc Cov( u,u j ) σ,j σ u s j snon 8

9 α, l, l, l,. En d'autres termes, c'est le prédcteur sem-ratonnel xtaf l qu mnmse l'erreur quadratque moyenne. Ayant montré l'optmalté de ces prédcteurs au regard du crtère "Mean Square Error" (MSE), nous pouvons énoncer un certan nombre de proprétés afférentes aux erreurs de prévson assocées. () - L'nnovaton u t est l'erreur de prévson correspondant à une prévson dont l'horzon est une pérode : e x x x E x u. Une mplcaton de ce a f a f t t t t t t t résultat est que des prédcteurs à horzon d'une pérode générant des erreurs de prévson corrélées ne peuvent être des prédcteurs optmaux au sens du crtère MSE. () - L'erreur de prévson est, ex-ante, d'espérance nulle et cela pour tout horzon de prévson. En effet : E e l E x E x. En d'autres termes, les prédcteurs a f t t t t l t t l sem-ratonnels sont des estmateurs non basés des valeurs que l'on cherche à prévor, l'espérance du prédcteur étant condtonnée par l'ensemble des nformatons connues au moment où on le formule (c u, u, u, ). En ce sens, ces prédcteurs utlsent t t t effcacement toute l'nformaton dsponble. taf ta f () - Les erreurs e l et e l j commses sur la base de prévsons construtes en t pour des horzons dfférents (respectvement pour l et l j pérodes) sont corrélées, pusque, en admettant sans perte de généralté que j est postf, l vent : etaf l ut l ut l ut l l ut et e l j u u u u u a f t t l j t l j t l j j t l l j t D'où : b af a et l, et l j fg L NM l l l j j QP En pratque, cela sgnfe que s le prédcteur à horzon l pérodes construt en t sousestme la réalsaton observée ex-post en t l alors, en moyenne et s b e taf l, e ta l j fg est postf (respectvement négatf), le prédcteur à horzon l j construt également en t va sousestmer (respectvement surestmer) la réalsaton x t l j. 9

10 Ayant donc montré l'ntérêt théorque de connaître la représentaton lnéare ssue du théorème de Wold, l reste à dscuter de son ntérêt pratque. De fat, ce derner n'est pas évdent s l'on songe que pour construre des prévsons, l est apparemment nécessare de connaître notamment une nfnté de coeffcent, ce qu, en antcpant sur le problème de l'estmaton peut poser une dffculté s'l s'agt d'estmer une nfnté de paramètres avec des échantllons de talles fnes. Fort heureusement le théorème ne postule pas que l'ensemble des ps non nuls at toujours un cardnal nfn. Il convent de dstnguer deux cas de fgure : - Sot le nombre, q, de coeffcents ps non nul est tel que q< (et reste rasonnable au regard de la talle,t, de l'échantllon de traval ). n est alors en présence d'un processus défn par une moyenne moble d'ordre q fn, processus dénommés Movng- Average d'ordre q ou encore 9 MA(q). - Sot le nombre, q, de coeffcents ps non nuls est effectvement nfn. Il faudra alors supposer des évolutons partculère dans la séquence,, 3, 4, permettant d'écrre chacun de ces coeffcents à partr d'un nombre fn de paramètres qu, eux, pourront être estmés. L'exemple le plus smple consste à admettre une décrossance géométrque des ps : φ, sot encore : φ. La connassance de la séquence nfne des ps se résume ans à celle de l'unque paramètre ph. Il vent en effet : x t φ u t Dans ce second cas, on trouvera des processus dts Autorégressfs, pour lesquels la réalsaton de l'nstant t dépendra des p réalsatons passées et de la réalsaton d'un brut blanc [processus AutoRégressfs d'ordre p, ou encore AR(p)] ou ben encore des p réalsatons passées et de la réalsaton d'un brut lu-même gudé par un MA(q) [processus AutoRégressfs d'ordre p et à moyenne moble d'ordre q, ou encore ARMA(p,q)] Avant d'analyser plus en détal l'ensemble de ces fltres, l est nécessare de revenr sur les mplcatons de l'hypothèse de statonarté sur la séquence,, 3, 4,. En effet, le théorème de Wold assure que tout processus statonnare peut s'écrre comme une somme pondérée sur un brut blanc mas, pour autant, l ne sgnfe pas que les coeffcents,, 3, 4, pussent prendre n'mporte quelles valeurs. 9 En toute rgueur, la référence à l'appellaton MA(q) suppose que la composante détermnste du processus est sot nulle, sot seulement une constante µ x non nulle (l'espérance du processus est alors µ x ) n rappelle que.

11 -c) Les mplcatons de la statonarté sur la représentaton de Wold Selon le théorème de représentaton de Wold, nous avons : x u u u u t t t t 3 t 3 x u u u u t t t t 3 3 t 4 x u u u u t t t 3 t 4 3 t 5 et, plus généralement : x u u u u t t t t 3 t 3 Alors les dvers éléments de la foncton d'autocovarance sont donnés par : γ Var x E x σ bg b g b g t t u γ Cov x, x E x, x σ t t t t u Cov xt, xt E xt, xt u γ σ et, plus généralement : b g γ Cov x, x E x, x σ t t t t u A l'évdence, s les coeffcents ps sont constants, ces éléments s'ls exstent seront ben constants et donc ndépendants du temps. Le problème est donc celu de leur exstence. Il mporte donc que les dverses sommes nfnes mses en jeu convergent. Pour cela, l est suffsant de supposer que l on est en présence de séres absolument sommables :. Pour llustraton, s l'on reprend la paramétrsaton φ, alors cette condton mpose φ. En d'autres termes, dans cet exemple, s φ alors la séquence des ps γ γ et et et et u σ u σ u En effet : ( ) γ σ

12 générés ne peut correspondre aux coeffcents d'une représentaton de Wold d'un processus statonnare (précsément parce que les moments du processus résultant n'exstent pas).