1 Projection tache Airy sur mode propre capillaire

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1 1 Projection tche Airy sur mode propre cpillire Dns l pproximtion prxile (petits ngles) le chmp électrique d une onde de fréquence ω polrisée rectilignement suivnt ~u x se propgent à l intérieur d un cpillire de ryon et d xe z s écrit ~E (,z,t)= X ³ A m J u m cos [ωt k mz z ψ m ] ~u x mº1 q k mz = k u m, k = ω/c =π/λ, est l distnce à l xe, les u m sont les m ième zéros de l fonction de Bessel J m u m 1,4486 5, , , , , , , ,49348 Les A m et ψ m sont donnés pr rcordement du chmp en z =. On suppose que À λ, doncsim n est ps trop grnd k mz k. Prenons un chmp incident qui en z =àlforme ~E inc (,z =,t)=e i ()cos[ωt φ ] ~u x lors, pour, ondoitvoir E i () = X ³ A m J u m mº1 (1) On montre, en utilisnt les propriétés des fonctions de Bessel, que cette éqution toujours une solution si E i () est nlytique et borné entre et. En fit l ensemble des J um forme une bse, vec l propriété Z ³ ³ J u m J u n d =,sim 6= n () En multiplint les deux membres de l éqution (1) pr J un et en intégrnt de à on obtient ½Z ³ A n = E i () J u n ¾ d / ½Z ³ ³ J u n J u n ¾ d (3) 1

2 Le chmp mgnétique, en z =correspondnt u chmp électrique ~E inc (,z =,t) peut s écrire pour (toujours pproximtion petits ngles). ~B = X m k ³ mz A m ω J u m cos [ωt φ ] ~u y Le vecteur de Poyinting est lors ~Π = ~E ~ B = µ 1 X ³ A m J u m ωµ m ( X ³ A n k nz J u n n cos [ωt φ ] cos [ωt φ ] ) ~u z Le flux d énergie F (t) instntné dns le tube est égl u flux du vecteur de Poyinting à trvers une section du tube Appelons I mn = = F (t) = 1 π Z 1 Z Z πd~π ~u z ³ ³ πdj u n J u m (4) dj (u n ) J (u m ) (5) I mn =si m 6= n, eti mm = J1 (u m) F(t) = π X I mm k mz [A m cos [ωt φ ωµ ]] et s vleur moyenne u cours du temps est m F = π X I mm k mz A m (6) ωµ m F = X m F m F m = π ωµ I mm k mz A m (7) L intensité est donc donnée pr l somme des intensités de chque mode

3 1.1 Projectiondumodegussienfondmentl L entrée du tube est plcé u niveu du col du fisceu (voir biln_prop.pdf). Le pln z =, est un pln d onde. Pour le cs d un fisceu gussien dns son mode fondmentl, l mplitude du chmp peut s écrire s 4µ E = cp πw exp /w (8) dns l pproximtion prxile B = E/c, et l vleur moyenne du vecteur de Poyinting est 1 Π inc = EB µ = P πw exp /w l puissnce incidente moyenne est le flux de Π inc utrversduplnd onde P inc = P Z πd exp /w (9) = P πw Projetons Π inc sur les modes propres du tube à l ordre zéro s 4µ cp πw exp /w X ³ = A n J u n n (1) Multiplions les deux membres de cette éqution pr J um / et intégrons sur. Ceci donne A m = 1 I mm l intégrle peut se noter s Z 4µ cp d πw exp ³ w J I m,exp (α) = Z 1 u m tdt exp α t J (u n t) (11) vec α = /w. Le résultt que nous vons trouvé, dns l section précédente F m = π ωµ I mm k mz A m donne, en prennt l pproximtion k mz = k = ω/c : F m P =α [I m,exp (α)] I mm = F m P inc (1) F m P inc représente l proportion de l énergie incidente qui se couple sur le mode m. Elle ne dépend que de m et de α = /w. S vrition vec α est reportée sur 3

4 1..8 Projection sur les modes m1 m m3 m4 F m / I / w Figure 1: l figure 1 pour les qutres premiers modes. Le résultt ssez extrordinire, est que le mximum pour le premier mode à α = α M 1.5 (en fit 1/.64) correspond à un minimum proche de zéro pour les utres modes. Ceci donne un excellent couplge vec le mode 1 de l ordre de 98%. Si l on désire un couplge supérieur à 8%, w doit être compris entre,48 et, l mrge de mneuvre est donc ssez lrge. On peut remrquer que pour α < α M, l somme des F mi est inférieure à un (elle tend vers zéro qund α ), c est simplement du u fit que l tche focle devient plus grnde que l section du tube: qund α diminue, une prtie de plus en plus grnde de l énergie ne rentre ps dns le tube. Pr contre, pour α > α M l somme des F mi est très proche de un. Toute l énergie rentre dns le tube, et les J um formnt une bse complête, toute l énergie peut se coupler ux modes de propgtion. Notons cependnt que pour des grndes vleurs de α beucoup de modes contribuent, et cel conduit à une perte rpide de l énergie dns le tube. L expliction en est que l divergence du fisceu ugmente qund w diminue. A l rencontre du bord du tube, le fisceu fit donc un grnd ngle vec l surfce et le coefficient de réflexion devient fible. 1. Projection de l tche d Airy 4

5 Si le fisceu est diphrgmé vnt l lentille de foclistion pr un trou circulire de ryon w c 1 très inférieur à l tille du fisceu, lors l figure de diffrction dns le pln focl de l lentille est l tche d Airy. Le chmp électrique (polristion rectiligne) dns le pln z = lors une mplitude donnée pr r cµ P E A = π J 1 (v 1 /w c ) (13) où, J 1 est l fonction de Bessel, v 1 est le premier zéro de J 1, v 1 = , w c est donc l distnce à l xe correspondnt u centre du premier nneu sombre. Onlreltion f étnt l focle de l lentille, soit v 1 w c = πwc 1 λf (14) w c = λf πw c 1 (15) à comprer vec le cs gussien w = λf (16) πw 1 En suivnt l même procédure que pour le cs gussien on trouve Et l puissnce incidente est Π inc = P π J1 (v 1 /w c ) (17) P inc = Z Z π Π inc d (18) = P J1 (x) dx x (19) = P. () Posons r cµ P π J 1 (v 1 /w c ) = X n ³ A n J u n (1) Multiplions les deux membres de cette éqution pr J um / et intégrons sur. Ceci donne A m = 1 r cµ P I mm π Z d J 1 (v 1 /w c) ³ J u m 5

6 F m / P inc Projection de l tche d'airy sur les modes du cpillire m1 m m3 m4 somme α Figure : Soit l intégrle I m,exp (α) = Z 1 dtj 1 (v 1 αt) J (u m t) () vec α = /w c. Le résultt que nous vons trouvé, dns l section précédente F m = π ωµ I mm k mz A m donne, en prennt l pproximtion k mz = k = ω/c : F m F m P = 4[I m,exp (α)] I mm = F m P inc (3) P inc représente l proportion de l énergie incidente qui se couple sur le mode m. Elle ne dépend que de m et de α = /w c. S vrition vec α est reportée sur l figure pour les qutres premiers modes. Ici le mximum pour le premier mode est à α = α M = 1 ( correspondnt à un minimum proche de zéro pour les utres modes), soit = w c. Ceci donne un couplge vec le mode 1 de l ordre de 83%. Le couplge est moins bon que dns le cs gussien, l énergie perdue (17%) v à l extérieur du tube, et non sur les modes supérieurs. 6

7 1.3 Tritement générl de l vrition vec z de I () Soit une lentille L, situéednsleplnz = f où f est l focle de l lentille. Je suppose que dns ce pln (en fit juste vnt l lentille) je connis l mplitude du chmp électrique (pr exemple fisceu gussien ou mplitude uniforme sur un trou, ou une combinison des deux). Je peux lors clculer simplement l mplitude du chmp dns le pln focl de l lentille, pr une trnsformée de Fourier, ceci correspond u clcul de l diffrction à l infini de Frunhofer. Qu en est il du chmp de prt et d utre du pln focl? Ceci correspond à l diffrction àdistncefinie, c est à dire à l diffrction de Fresnel, qui est plus difficile à déterminer. Ci-dessous je décris une méthode générle mis ps stndrd, de détermintion de l mplitude, pr projection sur une bse de modes propres de propgtion dns l espce libre, dpté u cs d une symétrie cylindrique. Le mode gussien, est le mode propre fondmentl de propgtion dns l espce libre. Plus générlement, dns le cs d une symétrie cylindrique, l mplitude du chmp électrique (polristion rectiligne suivnt ~u x ) peut s écrire: r X 4µ c ~E (,z)= π α me m (,z) ~u x (4) m= vec Ã! Ã! ik E m (,z)=exp R(z) w (z) iφ 1 m(z) L m w (z) (5) w (z) L m (x) étnt le polynome de Lguerre. Pour m =, L (x) =1 et on retrouve le mode fondmentl : w (z) =w s 1 + z z, (6) Les polynomes de Lguerre vérifient R (z) =z + z z, (7) z = πw λ, (8) µ z φ m (z) = φ (m + 1) (rctn z (9) = φ (z) mθ (z) (3) µ z θ (z) = rctn (31) Z z exp ( x) L m (x) L n (x) dx = δ mn, (3) l puissnce trversnt un pln z = cte pour chque mode est égle à P m = α m. 7

8 1.4 Clcul de l intensité I () en z L intensité I () dns un pln z = cste est donnée pr l vleur moyenne du vecteur de Poyinting en ce point (pproximtion des petits ngles, le vecteur de Poyniting est perpendicire à l surfce z = cste). L vleur moyenne du vecteur de Poyinting s écrit, en notnt η = w (z) ( " #) X X Π (,z)= exp [ η] α πw(z) ml m (η)+ α m α n L m (η) L n (η)cos[(n m)θ (z)] m= 1.5 Cs de l fonction d Airy n>m (33) Clcul des α m en prtnt du pln focl Considérons en z =, une tche d Airy de puissnce totle unité. Le ryon du premier zéro de J 1 est w. c A priori, on peut choisir le ryon w pour projeter sur les modes gussiens. Nous llons prendre plusieurs exemples de w =.64w c à w =w c.lescoefficients des modes gussiens doivent stisfire r s cµ P J 1 (v 1 /w c) X 4µ = c π πw α m exp m= w L m µ w (34) Posons t = /w et γ = v 1 α, α = w /w, c cel donne J 1 (γt) X = αm exp t L m t (35) t m= Multiplions chque membre de l éqution pr exp t L n t 4tdt et intégrons de zéro à l infini. L othogonlité des L m donne α n = 4 Z J 1 (γt)exp t L n t dt. (36) En reportnt ces vleurs dns l éqution (33), on peut déterminer l intensité en tout pln z. L mplitude obtenue en projetnt sur les premiers modes est reportée sur les figure 3-5, pour différentes vleurs de w. On voit que le choix de w n est ps critique, mis qu il est préférble de prendre une vleur ssez grnde pour pouvoir reproduire les oscilltions plus fcilement. Clcul des α m en prtnt de l lentille Nous fisons l pproximtion z /f, et l fce d entrée de l lentille est un pln d onde. Prés de l fce d entrée est plcé un diphrgme circulire de ryon w1. c L mplitude du chmp électrique est donc de l forme s µ E c () = cp i π (w Θ 1 c (wc ) 1 ) (37) 8

9 1.4 Y Axis Title w =.64 w c besj p p1 p p5 p1 p15 p.. -. / w Figure 3: 9

10 . Y Axis Title w = w c besj p p1 p p5 p1 p15 p p / w Figure 4: 1

11 .4 Y Axis Title w = 1.5 w c besj p p1 p p5 p1 p15 p p / w Figure 5: 11

12 P i étnt l puissnce incidente et Θ (x) est l fonction esclier (= si x<, =1 sinon). L lentille est en z = f. Après trversée de l lentille, l mplitude du chmp, projetée sur les modes gussien l forme r X E c + 4µ c (, f) = π β me m (, f) (38) m= E m (, f) = exp Notons Ã ik R( f) w ( f) iφ m( f)! L m Ã w ( f)! 1 (39) w ( f) µ f w 1 = w ( f) =w s1 + (4) z β = w 1 w1 c (41) t = (4) w 1 A un fcteur de phse contnt près, que l on prend égl à zéro, on peut écrire r µ r µ cp i 1 X βθ π β t 4µ c = π β m exp t iφ m ( f) L m t (43) m= Multiplions chque membre de l éqution pr exp t L n t 4tdt et intégrons de zéro à l infini. L othogonlité des L m donne Z 1/β βn exp [ iφ n ( f)] = β exp t L n t 4tdt (44) α n = exp[ iφ n ( f)] β Z 1/β exp [ t] L n (t) dt(45) On peut choisir comme solution α n = Z 1/β β exp [ t] L n (t) dt (46) exp [ iφ n ( f)] = 1 (47) Ce qui donne iφ n ( f) = µ f φ n +(n + 1)rctn = z (48) = φ n +(n + 1) π = (49) φ n = (n + 1) π (5) 1

13 Pour retrouver le même résultt que dns l section précédente, il fut relier les vleurs de α et de β, de on déduit dns ce cs on doit voir w c = v 1 λf π w1 c (51) w = λf πw 1 (5) β = v 1 α α (53) (54) α n =( 1) n β n (55) Soit Z 4 J 1 (v 1 αt)exp t L n t dt =( 1) n Z 1/β β exp [ t] L n (t) dt (56) Ce qui n est ps évident priori, mis vérifié numériquement sous Mple. Il est bien évident que l deuxième intégrle est plus simple à déterminer que l première (on peut l clculer pr récurrence). De plus on peut l ppliquer à une forme quelconque de l mplitude à l entrée de l lentille. Dns le fichier imges_t5.pdf, on reporté le profil rdile de l intensité pour dix distnces z depuis le pln focl d une lentille de 5 cm de focl, pour un trou de 5,15 mm de ryon. 13