Travaux pratiques en classe de Seconde

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1 ANNÉE SCOLAIRE Travaux pratiques en classe de Seconde DIDIER PIHOUÉ

2 Table des matières TP n 1 : Conjecture et preuve TP n 2 : Équations de droites TP n 3 : Introduction à l algorithmique TP n 4 : Algorithmique, suite!

3 TP n 1 : Conjecture et preuve Dans la figure ci-contre, ODEF et OABC sont deux carrés construits dans un repère d origine O. On a de plus A(0;1), C( 1;0) et D(a;0) où a est un nombre strictement positif. Il s agit d établir une conjecture non triviale liant les deux droites d 1 et d 2 à l aide d un logiciel de géométrie dynamique puis de la prouver. Partie 1 : réaliser la figure avec GeoGebra Créer un curseur a variant de 0 à 10 ; Dans la fenêtre de saisie, créer le point O par la commande «O=(0,0)». Procéder de la même manière pour créer les points A, C et D puis E, F et B. Construire alors les deux carrés par l icône Polygone en pointant les quatre sommets successivement. Construire la droite d 1 par la commande «d 1 : Droite[C,F]» puis la droite d 2 de la même manière. Appeler l enseignant pour valider la construction. Partie 2 : établir une conjecture Déplacer le curseur a pour renforcer vos observations. Avec un clic droit sur le curseur, choisir Animer. Trouver l icône Relation entre deux objets puis sélectionner d 1 et d 2. Rédiger la conjecture. Appeler l enseignant pour valider la conjecture. Partie 3 : chercher une preuve Quelques repères pour engager cette démonstration : Compléter la figure si nécessaire ; Mobiliser des propriétés du carré ; Penser aussi aux droites remarquables d un triangle. Appeler l enseignant pour valider les étapes. Partie 4 : rédiger la démonstration à deux et la rendre mardi 14 septembre. Partie 5 : explorer plus avant la situation. Appeler l enseignant pour valider les conjectures.

4 Éléments pour l enseignant Partie 4 COAD est un carré, donc COA est un triangle rectangle isocèle en O d où OCA = 45. De la même manière, DOE est un triangle rectangle isocèle en D et DOE = 45. Comme les points D, O et C sont alignés, on en déduit que (CA) (OE). Les diagonales d un carré se coupent perpendiculairement en leur milieu, d où (DF) (OE) dans le carré ODEF. Comme (CA) (OE) et (DF) (OE) on en déduit que (CA) (DF). Par ailleurs, on a aussi (FO) (OD) puisque FODE est un carré. Ainsi, dans le triangle CFD, (FO) est la hauteur issue de F et (CA) est la hauteur issue de C puisque (CA) (DF). Or A (FO) et donc A est l orthocentre de CFD puisqu il est le point d intersection de deux hauteurs. On en conclut que (DA) est la troisième hauteur d où d 2 = (DA) (CF)=d 1.

5 TP n 2 : Équations de droites On a vu en cours qu une droite non parallèle à l axe des ordonnées avait une équation y = mx+ p dans un repère (O, I, J). Ce TP a pour objectif de parvenir à une interprétation graphique des nombres m et p. Partie 1 : avec le logiciel GeoGebra Créer les curseurs m et p variant entre 5 et 5 avec un pas de 1. Créer la droite d d équation y = mx + p par la commande d:y=m*x+p. Créer le point P(0; p) par la commande P=(0,p). Questions 1. Le nombre m étant fixe, faire varier p. Écrire les conjectures. 2. Le nombre p étant fixe, faire varier m,. Écrire les conjectures. Appeler l enseignant pour valider les conjectures. Créer le point A(1;m+ p) par la commande A=(1,m+p). Créer le curseur t variant de 5 à 5 avec un pas de 1. Créer le point B(t; mt + p) par la commande B=(t,m*t+p). Questions 3. Faire varier t. Où sont situés les points A et B? Le démontrer. 4. Pour m et p fixés, calculer le quotient y B y A x B x A pour différentes valeurs de t. Écrire la conjecture. Partie 2 : des exercices avec Wims. Appeler l enseignant pour valider les preuves et la conjecture. Avec le navigateur Firefox, aller à la page : puis cliquer sur le lien WIMS : accueil 2nde 4. http :// Le login est le même que celui du lycée mais écrit en majuscules et le mot de passe par défaut est SD04. A changer lors de la première connexion.

6 Éléments pour l enseignant

7 TP n 3 : Introduction à l algorithmique Au collège et même avant, vous avez déjà appliqué des algorithmes comme par exemple, pour calculer le PGCD de deux nombres entiers naturels. 1. Calculer le PGCD de et de 492. Ecrire une phrase décrivant cet algorithme. 2. Ecrire la série des instructions à exécuter pour calculer le PGCD de deux entiers naturels n et m quelconques. Appeler l enseignant pour valider le résultat. 3. Tester «à la main» l algorithme «mystère» ci-dessous à gauche. Que fait-il? algorithme «mystère» Variable programme Xcas S,n :entiers naturels boucle ( ) : = { Début l o c a l S, n ; S 1 n 1 S : = 1 ; n: = 1 ; TantQue S < Faire tantque S< f a i r e n n+ 1 S S+ n FinTantQue Afficher n Fin n: =n+1; S := S+n ; ftantque return n } : ; Appeler l enseignant pour valider le résultat. 4. L exécution d algorithmes par une machine suppose un langage de programmation dans lequel on traduit l algorithme. Nous allons utiliser ici Xcas en ligne en se rendant à l adresse : http :// Cliquer sur pour saisir le programme écrit ci-dessus à droite. L exécuter dans la fenêtre située au-dessus par la commande boucle(). Interpréter la réponse. Appeler l enseignant pour valider le résultat. 5. Problème : Charlotte essaie de faire des économies car elle n a plus d argent dans sa tirelire. La première semaine elle met 1 dans sa tirelire et elle décide de mettre chaque semaine 1 de plus que ce qu elle a mis la semaine précédente. Charlotte se demande combien de semaines il lui faudra patienter et économiser pour avoir au moins 220 dans sa tirelire. Que faut-il modifier dans l algorithme «mystère» pour résoudre le problème de Charlotte? Modifier le programme Xcas associé afin d obtenir la réponse. Appeler l enseignant pour valider le résultat. 6. Ecrire maintenant l algorithme du calcul du pgcd de deux nombres entiers naturels n et m puis le traduire en langage Xcas. Vérifier le programme avec l exemple initial. Appeler l enseignant pour valider le résultat.

8 Éléments pour l enseignant 1. On écrit les divisions euclidiennes successives et on trouve 12. L objectif est d amener les élèves à englober les actions successives en une seule procédure. 2. On clarifie la phase précédente sans pour autant introduire un langage codé. On attend ici un langage naturel. 3. On passe à un exemple d algorithme en langage codé avec une boucle tant que comme dans l algorithme du PGCD. 4. On fait le choix de fournir un premier exemple de programme. Xcas propose une programmation proche de l écriture algorithmique dans cet exemple. Pour autant, l interprétation du résultat ne va pas nécessairement de soit. On trouve n= On pourra faire saisir la commande somme(k,k,1,1413);somme(k,k,1,1414) après avoir expliquer sa syntaxe, pour conforter l analyse de l algorithme. On remarquera aussi que cet algorithme permet de résoudre une inéquation non résoluble autrement. 5. Il faut remplacer par 220 et par<. On trouve n= 21 semaines et S = On obtient par exemple : algorithme PGCD Variable n,m,r :entiers naturels Début r reste de la division de n par m TantQue r 0 Faire n m m r r reste de la division de n par m FinTantQue Afficher m Fin programme Xcas PGCD(n,m) : = { l o c a l r ; r :=n f l o o r (n/m) *m; tantque r!=0 f a i r e n:=m; m:= r ; r :=n f l o o r (n/m) * m; ftantque return "Le PGCD vaut : "+m; } : ; Bien entendu il faut guider les élèves pour le calcul du reste de la division euclidienne. A noter que la commande saisir n est pas disponible avec la version en ligne de Xcas ; il faut donc passer n et m en arguments du programme par PGCD(n,m) en les supprimant des variables locales et en éliminant les deux commandes saisir qui résulteraient de la traduction littérale de l algorithme. En prolongement il peut être envisager de stocker les résultats intermédiaires dans des listes pour reconstituer les divisions successives.

9 TP n 4 : Algorithmique, suite! Consignes Commencer par repérer les variables en les nommant et les décrivant, écrire ensuite sur papier un algorithme répondant au problème. Appeler alors l enseignant pour valider l algorithme. Passer seulement ensuite à la programmation avec Xcas. PROBLÈME 1 Le but de ce problème est de déterminer un algorithme qui, à partir d un nombre d allumettes donné, calcule le nombre d étages complets et le nombre d allumettes utilisées pour réaliser la construction ci-dessous en partant du haut et en la poursuivant vers le bas au maximum et selon les mêmes principes. Pensez à bien identifier les variables à introduire et écrivez l algorithme avant de le traduire en langage Xcas. Combien peut-on réaliser d étages avec 150 allumettes? ? ? PROBLÈME 2 Le but de ce problème est de déterminer un algorithme qui calcule le nombre de segments reliant n points distincts et non alignés 3 par 3. Pour vous aider, réaliser un dessin puis compléter le tableau ci-dessous : nombre de points nombre de segments 1 Combien de segments relient 150 points ainsi disposés? 1 234?

10 Éléments pour l enseignant Il s agit de faire manipuler des variables par les élèves dont certaines sont cachées dans l énoncé et ne surviennent que par une recherche papier-crayon. On prend appui sur l algorithmique pour travailler cette dimension fondamentale de la notion de fonction. PROBLÈME 1 Il y a un paramètre N pour le nombre d allumettes disponibles, et trois variables n, k et r pour compter le nombre d étages, d allumettes par étage et d allumettes restantes pour éventuellement poursuivre la construction. Il y a trois formules liant les variables n = n+ 1 et k = k+ 4 qui sont directes et r = r k qui est croisée. Une des difficultés est d isoler la variable k dans le problème. Une autre est de ne pas prendre une nouvelle variable à chaque fois pour affecter le résultat d un calcul. Enfin, il faudra passer d un raisonnement sur les allumettes utilisées à la prise en compte des allumettes restantes mais pour cela il faut bien remarquer le risque de dépassement du nombre d allumettes disponibles. Cela peut être traité dans un second temps. Souvent les élèves introduisent un nombre plus important de variables et se perdent alors dans les mises à jour. Il faut alors leur proposer de bien passer en revue les variables introduites et de dire précisément à quoi elles correspondent. On peut ensuite passer à une ré-écriture de l algorithme avec une simplification à la clef et une meilleure compréhension des processus et de l usage des variables en algorithmique. On écrit l algorithme et le programme Xcas correspondant : algorithme allumettes Procédure allumettes( N:entier ) Variable n,k,r :entiers Début n 0 k 3 r N TantQue k r Faire n n+ 1 r r k k k+ 4 FinTantQue Afficher n, N r, r Fin programme Xcas allumettes (N) : = { l o c a l n, k, r ; n: = 0 ; k : = 3 ; r :=N; tantque k<=r f a i r e n: =n+1; r := r k ; k := k+4; ftantque return n,n r, r } : ; PROBLÈME 2 Avec un dessin, on complète le tableau :

11 nombre de points nombre de segments avec lequel on repère la quantité à ajouter à chaque étape. On peut justifier le résultat en notant qu un point ajouté peut être relié à chacun des points précédemment présent, d où l on déduit un algorithme après avoir à nouveau bien organisé les variables. Il y a un paramètre N qui est le nombre de points disponibles et deux variables s et n pour calculer le nombre de segments et parcourir les points disponibles 1 à 1. Cette fois, on connaît à l avance le nombre d étapes à réaliser, ce qui conduit à choisir une boucle pour qui permettra aussi de traiter le cas de moins de 2 points. Cela peut à nouveau être vu dans un second temps après avoir conçu un algorithme pour N 2. algorithme segments Procédure segments( N:entier ) Variable n,s :entiers Début s 0 programme Xcas segments (N) : = { l o c a l n, s ; s : = 0 ; pour n de 2 jusque N f a i r e s := s +(n 1); Pour n variantde 2 à N Faire fpour s s+ (n 1) return s FinPour Afficher s } : ; Fin A noter qu avec un tant que cet algorithme est très proche de l algorithme mystère. Pour 150 points on trouve segments et pour points on en obtient