1 Cinématique du solide

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1 TBLE DES MTIÈRES 1 Cinématique du solide Coordonnées d un point dans l espace Repère et référentiel Sens trigonométrique Coordonnées cartésiennes Coordonnées cylindriques Coordonnées sphériques Relations Position et orientation d un solide Solides et repères associés Solides Repères associés Trajectoire et vitesse d un point matériel Point mobile par rapport à un référentiel Trajectoire Vitesse et accélération d un point Vecteur vitesse de rotation Exemple : vitesse et accélération de la valve d une roue Compléments mathématiques Exemple : vitesse et accélération de la valve d une roue Cinématique du solide Solide indéformable Champ des vecteurs vitesse d un solide Composition des vecteurs vitesses Composition des vecteurs vitesses de rotation Cinématique du contact ponctuel entre deux solides

2 1.5.6 Exemple guide : Moteur 2 temps Modélisation cinématique d un solide : le torseur Exemple guide : Moteur 2 temps - suite Liaisons cinématiques et mécanismes Mécanismes Liaison élémentaire Corrigés

3 CHPITRE 1 CINÉMTIQUE DU SOLIDE La cinématique du solide est l étude des mouvements des corps solides indépendamment des causes de ces mouvements. Objectif : Déterminer la position d un point dans l espace, sa vitesse et son accélération Déterminer la position d un solide dans l espace, sa vitesse et son accélération Déterminer la position et la vitesse d un solide par rapport à un autre 1.1 Coordonnées d un point dans l espace Repère et référentiel On montre qu il est possible décrire de manière unique la position d un point dans l espace à partir de sa projection dans un repère constitué d un point origine et d une base de trois vecteurs orthonormés (orthogonaux et de norme unitaire). Lorsque c est trois vecteurs sont orientés dans le sens direct, on dit que l on a un repère orthonormé direct. La figure 1.1 présente deux repères orthonormés directs et la méthode de la main droite pour tracer un repère direct. Remarque : L usage en Sciences Industrielles est de noter la base de travail avec le nom des axes soit ( x, y, z ) Sens trigonométrique Il est important pour l étude et la description des mouvements de faire attention au sens direct.

4 y (D 3 ) (O, y) (O, x) z x k y 1 x 1 (D 1 ) i O j (D 2 ) z 1 (O, z) FIGURE 1.1 Repères orthonormés Le sens direct dans le plan ( O, x, y ) se confond avec le sens trigonométrique (figure 1.2(a)). La figure 1.2 précise l orientation directe dans les autres plans. y z x z s x y z O P z x y x s y s (a) Sens direct dans le plan ( O, x, y ) (b) Sens direct dans le plan ( O, y, z ) (c) Sens direct dans le plan (O, z, x ) (d) trièdre dans le sens direct FIGURE 1.2 Sens direct Coordonnées cartésiennes La manière la plus naturelle pour décrire la position d un point est d utiliser les coordonnées cartésiennes (figure 1.3), pour cela, on définit un repère orthonormée direct dit repère cartésien constitué de 3 vecteurs unitaires orthogonaux deux à deux et d un point pour origine. Il est nécessaire de préciser 3 dimensions pour décrire de manière unique la position d un point. Sur l exemple de la figure 1.3 le vecteur OH s écrit : OH X i + Y j + Z k On note (X,Y,Z) les coordonnées cartésiennes du vecteur OH dans la base ( x, y, z ). X, Y et Z sont les trois projections de suivant les axes (O, x ), (O, y ) et (O, z ) de OH.

5 z Z H z x O y Y y X x FIGURE 1.3 Coordonnées cartésiennes Coordonnées cylindriques Le système de coordonnées cylindrique (figure 1.4) est une extension du système de coordonnées polaires utilisé dans le plan, en ajoutant à l angle polaire orienté et au rayon polaire un troisième dimension perpendiculaire au plan. Sur la figure 1.4, le vecteur OH est défini par : OH R n + Z z Le vecteur n est précisé par l angle θ tel que θ ( x, n ) et la figure de calcul (figure 1.5). Le vecteur OH est décrit de manière unique par les trois dimensions : R, θ et Z Coordonnées sphériques Un point en coordonnées sphériques est défini par une distance et deux angles. Le vecteur OH s écrit OH ρ u. avec ρ la distance entre l origine du repère et le point H et u le vecteur unitaire porté par la droite (OH). le vecteur OH est défini par : OH ρ u Le vecteur n est porté par la projection de la droite (OH) dans le plan ( O, x, y ). Le vecteur OH est décrit de manière unique par les trois dimensions ρ, ϕ et θ. Le vecteur u est défini par les deux figures de calculs de la figure 1.6.

6 z Z R H z x O y n R Y y X x θ FIGURE 1.4 Coordonnées cylindriques y n θ x FIGURE 1.5 Figure de calcul y n n u θ x ϕ z FIGURE 1.6 figures de calculs coordonnées sphériques Relations Coordonnées Cartésiennes : Cylindriques : Sphériques : OH X x + Y y + Z z OH R n + Z z OH ρ u

7 z H ϕ ρ z u x O y n R Y y X x θ FIGURE 1.7 Coordonnées sphériques Relations Cartésiennes Cylindriques : X R cosθ Y R sinθ Z Z Cartésiennes Sphériques : X ρ sinϕ cosθ Y ρ sinϕ sinθ Z ρ cosϕ Cylindriques Sphériques : { R ρ sinϕ Z ρ cosϕ R X 2 + Y 2 θ arctan Y X Z Z ρ X 2 + Y 2 + Z 2 θ arctan Y X X 2 + Y 2 ϕ arctan Z ρ R 2 + Z 2 ϕ arctan R Z 1.2 Position et orientation d un solide Si pour décrire la position d un point, trois dimensions sont nécessaires et suffisante, ce n est plus suffisant pour décrire la position d un solide et son orientation :

8 En ne précisant qu un point, le solide peut pivoter librement autour de ce point. En précisant deux points, le solide a une direction imposée, mais il peut tourner librement autour de l axe formé par les deux points. En précisant, trois points non colinéaires, la position du solide est complètement définie. Soit trois points, B et C non colinéaires d un solide, on peut écrire les relations suivantes pour préciser la position du solide : O B X B x + YB y + Z B z O X x + Y y + Z z O C X C x + YC y + Z C z À ces trois relations vectorielles se rajoutent la distance entre chaque point : q d B (X B X )2 + (YB Y )2 + (Z B Z )2 q d C (X C X )2 + (YC Y )2 + (Z C Z )2 q d BC (X C X B )2 + (YC YB )2 + (Z C Z B )2 On montre donc, à partir de ces 6 équations, qu il est nécessaire de préciser 6 dimensions pour positionner complètement le solide (système de 6 équations avec 9 inconnues de rang 6). Plutôt que de positionner le solide avec 3 points on préfère lui associer un repère et positionner ce repère dans l espace avec 3 distances et trois angles(figure 1.8). z 1 x 1 B z O C y 1 y x F IGURE 1.8 Position d un solide dans l espace et repère associé La figure 1.9 montre l orientation d un solide dans l espace à l aide de 3 angles. Exercice 1- ngles d Euler Corrigé page?? Q1. À partir d une recherche sur Internet, définir les angle d Euler.

9 FIGURE 1.9 Orientation d un solide dans l espace Soit une repère R ( ) O, x, y, z et R1 ( ) O, x 1, y 1, z 1. Q2. Définir les trois rotations qui permettent de passer du repère R au repère R Solides et repères associés Solides En mécanique classique, nous supposerons que les solides sont indéformables.,b S B d avec S un solide, et B deux points du solide S et d une constante. Ce modèle sera précisé plus loin dans ce cours Repères associés chaque solide, on convient d associer un repère représentant le solide. Sur la figure 1.1, pour quelques solides de la bicyclette sont précisés les repères associés : L origine de chaque repère est placé sur un point caractéristique du solide (l axe de la roue arrière, l axe du pédalier,...).

10 Les axes du repère sont orientés en fonctions des caractéristiques du solide (pour le pédalier, un des axes est porté par l axe de rotation, l autre par le bras du pédalier). z c y c z r y r x c z p z s O P x p y s x r y p O P x s FIGURE 1.1 Solides et repères Le passage d un repère à un autre est représenté graphiquement par des figures nommées figure plane de changement de base ou figure de calcul. Sur cette figure, on représente la rotation plane qui permet de passer d une base à une autre, ainsi sur la figure 1.11(a) on précise le passage de la base liée au cadre à celle liée au pédalier par une rotation d angle α autour de l axe x p x c. z p z c z r z c y p y r α y c β y c x p x c (a) passage du repère du cadre au repère du pédalier x p x c (b) passage du repère du cadre au repère de la roue arrière FIGURE 1.11 figures planes de changement de base de la bicyclette Remarque : les figures planes sont très utiles pour déterminer les projections d un vecteur d une base dans une autre mais pour éviter les erreurs de signe, il est important de toujours représenter des angles compris entre et π 2 et de toujours utiliser des bases orthonormées directes.

11 Exercice 2- Repères et figures plane Corrigé page?? On considère, la salle, la porte de la salle et sa poignée. Q1. ssocier à chacun des solides un repère, précisez les axes et points caractéristiques de chaque solide. Q2. Tracer les figures planes qui permettent de décrire la position et l orientation de chaque solide. Exercice 3- Repères et figures planes de la bicyclette Corrigé page?? On reprend l exemple de la bicyclette à partir de la figure FIGURE 1.12 Bicyclette et repères Q1. Préciser pour chaque repère, dans chaque vue, les axes, le point origine. Q2. Préciser les rotations et translations à réaliser pour passer du repère lié au cadre, à celui lié à la roue avant. Q3. Tracer les figures planes correspondantes

12 1.4 Trajectoire et vitesse d un point matériel Point mobile par rapport à un référentiel On appelle point matériel ou corps ponctuel tout corps ou toute partie de corps très petit à l échelle d observation. Par extension, c est également un corps dont on ne peut définir le mouvement de rotation sur lui-même Trajectoire On appelle trajectoire de M par rapport R l ensemble des positions successives de M par rapport à R quand la date t varie. La trajectoire est une courbe liée à R. Pour déterminer l équation paramétrique de la trajectoire d un point, on écrira les projections dans le référentiel d étude de OM. La trajectoire dépend du repère R dans lequel elle est décrite. On utilise généralement une représentation paramétrique en fonction temps t pour décrire la trajectoire. La courbe C M/R qui décrit la trajectoire dans un repère cartésien est donc de la forme : x f 1 (t) C M/R y f 2 (t) z f 3 (t) avec f 1 (t), f 2 (t) et f 3 (t) trois fonction de la variable t. Pour la suite ces trois fonction seront nommées x(t), y(t) et z(t). a ) Exemple : trajectoire de la valve d une roue de vélo Le repère R ( ) O, x, y, z est lié au sol. Le repère R 1 ( ) O 1, x 1, y 1, z 1 est lié à la roue avec O1 confondu avec l axe de rotation de la roue par rapport au cadre. On suppose que la roue reste dans le plan vertical donc z z 1. On note θ ( ) x, x 1 l angle orienté de x vers x 1. Cet angle est proportionnel à la vitesse angulaire de la roue θ ω t. Le point V associé à la valve est défini par : O 1 V R v x 1. Le vélo se déplace à la vitesse v(t) suivant x, la roue ne patine pas, elle roule sans glisser, on a donc v R ω. Pour la suite nous supposerons que la vitesse est constante : v(t) v. La position du centre de la roue (O 1 ) par rapport au sol est donc définie par : O O 1 v t x + R y. La position de la valve (V) par rapport au sol est définie par : O V v t x + R y + R v x 1.

13 La trajectoire de la valve par rapport au sol est l ensemble des positions successives du point V dans le repère R. soit : O V v t x + R y + R v (cosθ ) x + sinθ y O V (v t + R v cosθ) x + (R + R v sinθ) y O V ( R ω t + R v cos(ω t)) x + (R + R v sin(ω t)) y finalement on obtient l équation paramétrique de la trajectoire dans le repère R : { x(t) R ω t + Rv cos(ω t) y(t) R + R v sin(ω t) Dans le repère R 1 la trajectoire de la valve est un cercle. y y 1 y x 1 O x θ x FIGURE 1.13 Trajectoire de la valve Vitesse et accélération d un point a ) Vitesse d un point On note V M/R le vecteur vitesse de M par rapport à R. Par définition : [ ] d V M/R O M (1.1) B vec O origine du repère R et B base de R Le vecteur vitesse d un point M dans une base donnée correspond à la dérivée de ce vecteur dans cette base. On appelle B la base de dérivation, il ne faut pas confondre cette base avec la base de projection. Le vecteur vitesse est tangent en M à la trajectoire.

14 b ) ccélération d un point on note Γ M/R le vecteur accélération de M par rapport à R Par définition : [ d Γ M/R V M/R ]B [ d 2 ] 2 O M Le vecteur accélération du point M dans son mouvement par rapport au repère R, correspond à la dérivée du vecteur vitesse de ce point dans cette base. Remarque importante : ces grandeurs dépendent du repère (de la base) par rapport auquel on étudie le mouvement. Il est possible de décrire le mouvement par rapport à n importe quel repère. Nous verrons dans le chapitre suivant comment calculer ces dérivées vectorielles. B Vecteur vitesse de rotation De la même manière que l on définit le vecteur vitesse d un point, on définit le vecteur vitesse de rotation d un repère par rapport à un autre. On note Ω R1 /R le vecteur vitesse de rotation du repère R 1 par rapport au repère R. a ) Cas d une rotation plane Soit le repère R 1 en mouvement de rotation autour de l axe ( O, z ) par rapport au repère R, avec θ ( ) x, x 1 ( ) y, y 1. Le vecteur rotation est porté par le vecteur perpendiculaire au plan de la rotation (ici z z 1 ) et sa mesure algébrique est la dérivée du paramètre angulaire de mouvement entre les deux repères. y 1 y θ x 1 x Ω R1 /R dθ z θ. z b ) Cas général le mouvement de rotation du repère R 1 par rapport au repère R est constitué de plusieurs rotations élémentaires d angle θ i autour de l axe ( ) O i, e i. lors : Ω R1 /R n dθ i e i n. θ i Le vecteur vitesse de rotation se construit comme la somme des vecteurs vitesses de rotations élémentaires. e i

15 1.4.5 Exemple : vitesse et accélération de la valve d une roue - 1 avec : Par définition [ ] d V V/R O V B O V v t x + R y + R v x 1 [ ] d V V/R v t x + R y + R v x 1 Pour aller plus loin, il faut définir la dérivation vectorielle! B Compléments mathématiques Ce petit chapitre apporte quelques notions qui ne sont pas encore (ou ne sont plus) abordées dans le cours de mathématiques. Ces notions à peine détaillées ici (non démontrées) sont très importantes et doivent être sues. Elles seront complétées au fur et à mesure des besoins. C M 1: Produit scalaire Soit u et v deux vecteurs alors avec ( u, v ) : l angle orienté de u vers v Si u et v sont définis dans la base B : alors u v u v cos ( u, v ) u x u x + y u y + z u z v x v x + y v y + z v z C M 2: Produit vectoriel Soit u et v deux vecteurs alors u v x u x v + y u y v + z u z v u v u v sin ( u, v ) w avec ( u, v ) : l angle orienté de u vers v w : le vecteur unitaire perpendiculaire aux deux vecteurs u et v tel que ( u, v, w ) forme un trièdre direct (figure 1.2(d)).

16 Soit B ( x, y, z ) une base orthonormée directe alors : x y z y z x z x y Distributivité : y x z z y x x z y u ( v + w ) u v + u w (1.2) Linéarité λ u µ v λ µ ( u v ) anti-symétrie : u v v w ttention : Le produit vectoriel est anti-symétrique. Si u et v sont définis dans la même base B : u x u x + y u y + z u z v x v x + y v y + z v z u v x u y u x v y v z u z v + ( ) y u z v y v z u x + (z u x v z v x u ) y + ( ) x u y v x v y u z On utilisera la petite figure mnémotechnique ci-dessous pour mémoriser le produit vectoriel. sens + sens - x u x v y u z v y v z y u y u v z u x v z v x u z u z v x u y v x v y u x u C M 3: Produit mixte Le produit mixte est la quantité notée ( u, v, w ) et définie par ( u, v, w ) u ( v w ) Le produit mixte se conserve par permutation circulaire ( u, v, w ) ( v, w, u ) ( w, u, v ) u ( v w ) v ( w v ) w ( u v ) x v

17 C M 4: Double produit vectoriel u ( v w ) ( u w ) v ( u v ) w C M 5: Dérivation vectorielle d une somme de vecteurs Si a et b sont deux scalaires et u et v deux vecteurs alors : [ ] d a u + b v d a [ ] d B u + a u + db [ ] d B v + b v B C M 6: dérivation d un vecteur de la base de dérivation Si u a x +b y +c z est un vecteur dont les coordonnées (a,b,c ) dans de la base B ( ) x, y, z sont constantes alors : [ ] d v B C M 7: Dérivation d un vecteur quelconque Il est toujours possible de projeter le vecteur quelconque dans la base de dérivation et utiliser les propriétés ci-dessus pour n avoir à dériver que les coordonnées, mais souvent cela n est pas recommandé. Dans le cas général : Soit u 1 un vecteur défini dans la base B 1, et B la base de dérivation alors [ [ ] d d u 1 u 1 Ω R1 /R ]B u 1 B 1 + avec Ω R1 /R le vecteur rotation du repère R 1 par rapport au repère R La quantité Ω R1 /R u 1 est le produit vectoriel du vecteur Ω R1 /R et du vecteur u Exemple : vitesse et accélération de la valve d une roue - 2 près cet intermède mathématique, reprenons la détermination de la vitesse du point V de la valve par rapport au sol (R ). [ d V V/R V V/R ] v t x + R y + R v x 1 [ d v t x ]B + V V/R d v t x + v t v et R et R v sont constants : [ d V V/R v x + v t B [ [ ] d d R y + ]B R v x 1 [ ] d x y + R B + dr x + R ]B B [ ] d y + dr v B [ [ ] d d y + R v x 1 ]B [ d x 1 + R v B ] x 1 B

18 [ [ ] d d x et y car x ]B et y sont deux vecteurs constants de la base B. B [ d V V/R v x + R v pour continuer, on peut soit, projeter x 1 dans B, soit utiliser les propriétés de la dérivation d un vecteur quelconque. Projection de x 1 : [ d V V/R v x + R v V V/R v x + R v Dérivation d un vecteur quelconque : ] x 1 ] cosθ x + sinθ y B [ ] d cos(ω t) x + sin(ω t) y B V V/R v x ω R v sin(ω t) x + ω R v cos(ω t) y V V/R (v ω R v sin(ω t)) x + ω R v cos(ω t) y [ d V V/R v x + R v ] x 1 V V/R v x + + R v.θ z x 1 V V/R v x + R v.θ y 1 V V/R v x + R v ω y 1 B + R v Ω R1 /R x 1 B 1 Remarque Importante : : La seconde méthode est toujours préférable à la première. La seconde méthode permet de remarquer que la vitesse comporte, une composante portée par x et par une composante portée par y 1, ces informations disparaissent lorsque l on projette dans une base. On utilisera la première uniquement si on demande de présenter les résultats dans une base donnée. Détermination de l accélération de V par rapport à R. [ d Γ V/R ] V V/R B Γ V/R R v ω 2 x 1 (avec v et ω constants)

19 Exercice 4- Éolienne Corrigé page?? Soit l éolienne de la figure La nacelle (1) pivote autour du mas () suivant l axe ( ) ( ) O, z. On note θ x, x 1 le paramètre de rotation. L hélice (2) pivote autour de l axe ( ), x 1. On note β ( ) z, z 1 le paramètre de rotation. O a x 1 B le point à l extrémité de la pale B b z 2 avec b 2,3m. Q1. Tracer les deux figures de changement de base Q2. Déterminer la vitesse du point et du point B par rapport au repère R ( ) O, x, y, z Q3. Déterminer l accélération de ces deux points. Q4. la vitesse maximale admissible au bout de la pale est V max 7m s 1, en déduire ω 21 dβ(t) pour θ constant. z 2 B z x Nacelle 1 Mas O Hélice 2 x 1 y FIGURE 1.14 Éolienne

20 1.5 Cinématique du solide Comme pour la position d un solide, il ne suffit pas de déterminer la vitesse d un point d un solide pour avoir le mouvement de celui-ci. Le mouvement d un solide peut se décomposer en 6 mouvements élémentaires : 3 translations le long des axes du repère d étude. 3 rotations autours de ces mêmes axes. Nous allons établir l outil mathématique qui permet de décrire ce mouvement en commençant par définir le modèle du solide Solide indéformable a ) Solide réel choix d un modèle La notion usuelle de solide est en fait le plus souvent déterminée par opposition aux états liquides et gazeux. Si l on essaie de préciser quelques caractéristiques d un solide on s aperçoit qu il est difficile de déterminer un modèle simple représentant les solides. Dimensions : les dimensions d un solide peuvent être considérées comme constantes sauf si les efforts appliqués sont trop importants (déformation voire destruction). Masse : constante à l usure et à la corrosion près. L évolution dans le temps n est en général pas connue, déformation sous des efforts maintenus ou répétitif (fluage, fatigue du matériau,...)... La notion de solide regroupe en fait un ensemble de caractéristiques qui sont difficilement représentables par un unique modèle. Dans le cadre de la mécanique générale nous utiliserons le modèle du solide indéformable. b ) Modèle du solide indéformable Un solide indéformable est un solide dont la masse est constante et indépendante du temps et dont les dimensions sont invariantes quelles que soient les actions extérieures. Un solide indéformable est constitué d un ensemble de points matériels pour lesquels les distances mutuelles sont constantes et indépendantes du temps. Si et B sont deux points d un solide S alors,b S B d Ce modèle permet d étudier les mouvements du solide sous des efforts extérieurs, il ne permet pas d étudier la déformation du solide, il ne permet pas de modéliser les solides «élastiques». Remarque : le choix d un modèle est une étape importante dans la représentation de la réalité. Nous ne pouvons étudier et anticiper le comportement d un système réel qu à partir d une modélisation de la réalité. Nous avons défini ici un modèle très limité d un solide, nous

21 définirons ultérieurement un modèle pour représenter les efforts. Tous ces modèles sont plus ou moins parfaits et il est nécessaire d en connaître les limites pour valider les résultats de nos calculs. c ) Équivalence repère solide chaque solide on associe un repère lié. Les notations relatives aux solides seront équivalentes aux notations par rapport aux repères. insi nous noterons aussi bien V M S2 /R pour parler de la vitesse du point M appartenant au solide 2 par rapport au repère R que V M R2 /R, voire pour simplifier la notation V M 2/ Champ des vecteurs vitesse d un solide Soit un solide S 1, le repèrer 1 est associé au solide S 1. Ce solide est en mouvement par rapport au repère R. un point du solide S 1. On note V S1 /R la vitesse du point appartenant au solide S 1 dans son mouvement par rapport au repère R, de même V B S1 /R la vitesse du point B. L ensemble des vecteurs vitesse des points du solide S 1 par est appelé champ des vecteurs vitesse (figure 1.15). V S1 /R y 1 z y z 1 O 1 S 1 B C V B S1 /R O S x x 1 FIGURE 1.15 Champ des vecteurs vitesse On se propose de déterminer une relation entre V S1 /R et V B S1 /R la vitesse des deux points et B du solide S 1 par rapport au repère R. On peut écrire une première égalité : [ ] d B [ ] d B B B [ ] d OB B [ ] d O V B S1 /R V S1 /R B

22 puis une deuxième en déterminant cette dérivée à partir de la définition de la dérivée vectorielle d un vecteur quelconque : [ ] [ ] d d B B + Ω R1 /R B B B 1 [ ] d avec B car B est un vecteur constant dans R 1 B 1 [ ] d B Ω R1 /R B en égalant : B V B S1 /R V S1 /R Ω R1 /R B La relation entre les vitesses de deux points d un solide s écrit finalement : V B S1 /R V S1 /R + Ω R1 /R B On nomme cette relation : relation de changement de point, relation de transport, relation de Varignon. Cette relation est importante et doit être sue. Elle est caractéristique du champ de vecteurs équiprojectifs. Elle va nous permettre, connaissant le vecteur vitesse de rotation et la vitesse d un des points du solide par rapport à une repère, de déterminer la vitesse de tous les points du solide par rapport à ce repère. a ) Équiprojectivité du champ des vecteurs vitesses Soit et B deux points d un solide S 1, on a alors : en dérivant cette relation B d ou B 2 d 2 d B 2 d B B (car constant) [ ] ([ ] 2 d B B 2 d B OB B ( ) 2 B V B S1 /R V S1 /R B [ ] d O B )

23 d où la relation : V B S1 /R B V B S1 /R B V S1 /R La vitesse d un point d un solide S 1 projetée sur le droite qui relie la droite (,B) est égale à la la vitesse du point B projetée sur cette même droite. Cette relation est caractéristique de l équiprojectivité du champ des vecteurs vitesses. V S1 /R B b ) Mouvement de translation FIGURE 1.16 Équiprojectivité Dans un mouvement de translation du solide S 1 par rapport au solide R : Ω R1 /R,B S 1, V B S1 /R V S1 /R c ) Mouvement de rotation autour d un axe fixe Soit I un point de S 1 tel que V I S1 /R et Ω 1/. alors V S1 /R I et V S1 /R Ω 1/. Si on pose : V I S1 /R V S1 /R + Ω 1/ I V S1 /R + Ω 1/ I V S1 /R Ω 1/ I V S1 /R I Ω 1/ Ω 1/ ω w I R u + λ w avec w u alors V S1 /R I Ω 1/ V S1 /R ( R v + λ w ) ω w V S1 /R R ω w La vitesse du point est proportionnelle à la distance entre et l axe instantané de rotation et elle est portée par la perpendiculaire à I et Ω 1/ (figure 1.17(a)). Si le point I n est pas unique, alors, l ensemble des points I tels que V I S1 /R forme l axe instantanée de rotation. Le mouvement est un mouvement de rotation autour d un axe fixe dans le repère d étude. Si le point I est unique alors le mouvement est un mouvement de rotation autour d un point (mouvement sphérique).

24 w Ω 1/ B I u v S 1 z V B S1 /R V S1 /R y V 1/ I R u x O y S x xe instantané de rotation (a) Mouvement de rotation (b) xe instantané de rotation FIGURE 1.17 Mouvement de rotation d ) Mouvement plan : CIR On dit qu un mouvement est plan lorsque : S 1, V S1 /R Ω 1/ L instersection de l axe instantané de rotation avec le plan contenant les vitesses est appelé centre instantané de rotation (CIR). ssocié avec l equiprojectivité, ces deux propriétés, permettent de déterminer graphiquement toutes les vitesse d un solide dans un mouvement plan sur plan. y I 1 x O V S1 /R V B S1 /R B e ) Mouvement hélicoïdal FIGURE 1.18 CIR On dit qu un mouvement hélicoïdal lorsque la vitesse d un point I est colinéaire à la vitesse de rotation : I tel que V I 1/ λ Ω 1/ Composition des vecteurs vitesses On se propose de déterminer la relation entre la vitesse du point P du solide S 2 en mouvement par rapport au solide S 1 lui-même en mouvement par rapport au solide S. chacun de ces solides on associe un repère (figure 1.19).

25 P S 2 V P 2/ z 1 y 1 z O 1 S 1 O x 1 x S y FIGURE 1.19 Composition des vitesses Déterminons : V P 2/. Par définition : [ ] d V P 2/ O P [ ] d O O 1 [ d + ] O 1 P Premier terme : on reconnaît la vitesse du point O 1 de S 1 par rapport à R. [ ] d O O 1 V O1 1/ (1.3) [ ] d Second terme : on ne peut pas calculer directement la dérivée O 1 P, car ni le point O 1 et P ne sont des points fixes de R, il faut donc utiliser la relation de dérivation vectorielle d un vecteur quelconque en passant par le repère R 1 : [ ] [ ] d d O 1 P O 1 P Ω 1/ O 1 P on a donc : + 1 avec Ω 1/ le vecteur [ vitesse ] de rotation de S 1 par rapport à S (R 1 par rapport à R ). d On reconnaît : O 1 P V P 2/1, la vitesse du point P de S 2 dans son mouvement par 1 rapport au référentiel R 1 ( ) O 1, x x1, y x1, z x1 y1 z 1. [ ] d O 1 P V P 2/1 + Ω 1/ O 1 P V P 2/ V O1 1/ + V P 2/1 + Ω 1/ O 1 P V P 2/ V P 2/1 + V O1 1/ + Ω 1/ O 1 P

26 Si on considère le point P du solide S 1 qui coïncide avec le point P de S 2, on reconnaît alors dans cette relation la vitesse de P de S 1 dans son mouvement par rapport à S V O1 1/ + Ω 1/ O 1 P V P 1/ On obtient finalement la relation de composition des vitesses : V P 2/ V P 2/1 + V P 1/ La vitesse d un point P d un solide S 2 par rapport à un repère R est égale à la somme de la vitesse du point P appartenant à S 2 par rapport au solide S 1 ( repère R 1 ) et de la vitesse du point P fixe dans le solide S 1 par rapport au repère R. On appelle : V P 2/ : vitesse absolue, la vitesse du point P d un solide S 2 par rapport à un référentiel R. V P 2/1 : Vitesse relative, la vitesse du point P d un solide S 2 par rapport au un référentiel R 1 mobile par rapport au référentiel R. V P 1/ : Vitesse d entraînement, la vitesse du point P fixe dans le référentiel R 1 par rapport au référentiel R.. Généralisation : Soit P un point du solide S i+1 mobile par rapport au solide S i lui même mobile par rapport au solide S i 1,...,lui même mobile par rapport au solide S 1, lui même mobile par rapport à S. lors V P (i+1)/ V P (i+1)/i + V P i /(i 1) + + V P 2/1 + V P 1/ Composition des vecteurs vitesses de rotation Soit deux référentiels R 1 et R 2 en mouvement par rapport à un référentiel R. soit Ω R2 /R 1 et Ω R1 /R les vecteurs rotation de R 2 par rapport à R 1 et der 2 par rapport à R On peut alors écrire la loi de composition des vecteurs rotation : Ω R2 /R Ω R2 /R 1 + Ω R1 /R Cinématique du contact ponctuel entre deux solides Soit deux solides S 1 et S en contact ponctuel au point I (figure 1.2). On note n, la normale au plan tangent passant par I. t et u deux vecteurs unitaires du plan tangent en I tel que t u n. Les mouvements possibles entre les deux solides sont : une translation dans le plan tangent, décomposable en deux translations élémentaires suivant t et u ; une rotation autour de l axe ( I, n ), (on nomme cette rotation, le pivotement) ;

27 une rotation dans le plan tangent (le roulement) décomposable en deux rotations élémentaires suivant les axes ( I, t ) et ( I, u ). Le mouvement entre les deux solides peut donc être décrit par { Ω1/ Ωp 1/ + Ωr 1/ V I 1/ Vt 1/ + Vu 1/ { Ω1/ ω p n + ω t t + ω u u V I 1/ V t t + V u u n R n R t I R u t T t T u u FIGURE 1.2 Conctact ponctuel On appelle V I 1/ la vitesse de glissement de S 1 par rapport à S Si V I 1/ et Ωr 1/, on dit que le mouvement est un roulement sans glissement.

28 1.5.6 Exemple guide : Moteur 2 temps Les deux animation ci-dessous permettent de visualiser la cinématique d un moteur 2 temps d un petit avion de modélisme. nimation 3D : nimation 2D : On se propose de déterminer les vitesses des différents points caractéristiques des solides constituants le mécanisme. y 2 y S 3 B S 2 x 1 S 1 O x S FIGURE 1.21 Moteur de modélisme On considère les solides suivants : S : constitué du carter et de la chemise, repère R ( ) O, x, y, z est associé à ce solide, le point O est sur l axe de rotation entre le vilebrequin et le carter ; S 1 : le vilebrequin et l hélice, repère R 1 ( ) O, x 1, y 1, z 1 avec z z 1, θ ( ) x, x 1, O a x 1 ; S 2 : la bielle repère R 2 ( ), x 2, y 2, z 2 avec z z 2, le point est sur l axe de rotation entre la bielle et le vilebrequin, β ( ) ( ) y, y 2 x, x 2, B L y 2 ;

29 S 3 : le piston. repère R ( ) B, x, y, z O B λ y Q1. Identifier les mouvements entre chaque solide ( S 1 /S, S 2 /S 1, S 3 /S 2, S 3 /S ), préciser les axes et points caractéristiques. Q2. Tracer les différentes figures de calculs. Précisez les vecteurs rotations. Q3. Déterminer la loi d entrée sortie du mécanisme, c est à dire relation entre θ et λ. Q4. En déduire V B 3/ la vitesse de B de S 3 par rapport à R. 1.6 Modélisation cinématique d un solide : le torseur Nous avons vu que la relation entre les vitesses de deux points d un solide S 1, par rapport à un repère R, s écrit : V B S1 /R V S1 /R + Ω R1 /R B Il suffit donc de connaître la vitesse d un point et le vecteur vitesse de rotation entre les deux solides pour définir le comportement cinématique du solide. Le torseur est l entité mathématique permettant de synthétiser la vitesse d un solide. On note : { V1/ { Ω1/ V 1/ Le torseur cinématique du mouvement du solide S 1 par rapport au solide S 1. Ω 1/ et sont les éléments de réductions du torseur { V 1/ en. V 1/ Un torseur est constitué de deux vecteurs, un vecteur résultante, ici Ω 1/, indépendant du point d écriture du torseur et un vecteur moment, ici V 1/, dépendant du point d écriture. Ce même torseur s écrit en B : { V1/ { Ω1/ V B 1/ B { Ω 1/ V B 1/ V S1 /R + Ω R1 /R B On utilise la relation de changement de point pour déterminer V B 1/. On peut aussi écrire ce torseur en précisant les composantes des vecteurs dans une base B ( ) x, y, z. { V1/ { Ω1/ V 1/ ω 1x ω 1y ω 1y V x V y V z x, y, Pour aller plus loin, nous allons étudier les propriétés mathématiques des torseurs. ( z ) B

30 C M 8: Torseurs Un torseur est un outil mathématique utilisé principalement en mécanique du solide indéformable permettant de synthétiser sous une forme vectorielle, aussi bien les actions mécaniques que les mouvement d un solide. On note : { R { T un torseur défini au point, il est constitué : d une résultante : R. d un moment : M défini au point.. R et M sont les éléments de réductions du torseur en La résultante est un invariant du torseur, elle ne dépend pas du point d écriture du torseur. Remarques : : ne jamais omettre le point de réduction du torseur ; le torseur est constitué de deux vecteurs, il est possible de le représenter en détaillant les composantes de ces deux torseurs dans une base, il est alors nécessaire de préciser la base et le point : { R { T M M Rx R y R z M x M y M y ( x, y, z ) Le champ des moments d un torseur est équiprojectif et réciproquement tout champ équiprojectif est le champ de moment d un torseur. La formule de Varignon permet de déterminer le moment en un autre point : M B M + B R Changement de point de réduction Le torseur { T en B s écrit donc : Égalité de deux torseurs : { R { T M B B deux torseurs { { R 1 T 1 { R M + B R M 1 B et { { R 2 T 2 M 2 sont égaux s ils ont même éléments de réduction en un point, réciproquement s ils ont mêmes éléments de réduction en un même point, ils sont égaux. { R1 M 1 { R2 M 2 R 1 R 2 M 1 M 2 L égalité des composantes des vecteurs ne peut s écrire que dans une même base.

31 Torseur nul : Un torseur est nul, si ses éléments de réductions en un point sont nuls. Ces éléments de réduction sont alors nuls en tout point. ddition de deux torseurs : Soit { { R 1 T 1 et { { R 2 T 2 deux torseurs écrits au même M 1 point alors la somme des torseurs s écrit : { T { T1 + { T2 { R1 { { R1 + R 2 T M 1 + M 2 M 1 M 2 + { R2 M 2 Les composantes ne peuvent s additionner que si les torseurs sont écrits au même point dans la même base : { 1x M 1x R 2x M 2x T R R 1y M 1y + R 2y M 2y R 1z M 1z Multiplication par un scalaire : Soit { { R 1 T 1 R 2z M 2z ( x, y, z ) ( x, y, z ) { 1x + R 2x M 1x + M 2x T R R 1y + R 2y M 1y + M 2y R 1z + R 2z M 1z + M 2z ( x, y, z ) M 1 λ {T { R 1 1 λ M 1 un torseur et λ un réel, alors. { λ R 1 λ M 1 Comoment ou produit de deux torseurs : On appelle comoment le scalaire : { T1 { T2 { R1 M 1 { R2 M 2 { { T1 T2 R 1 M 2 + R 2 M 1 Pour calculer ce produit, il est nécessaire d écrire les torseurs en un même point. Le comoment est un invariant, il ne dépend pas du point de réduction des torseurs. On appelle automoment, le comoment d un torseur avec lui même : { T1 { T1 { R1 M 1 { { T1 T1 2 R 1 M 1 { R1 M 1

32 Formes particulières : Torseur couple : un torseur couple est un torseur particulier pour lequel la résultante est nulle : { { T M Le moment d un torseur couple est le même en tout point de l espace. L automoment du torseur couple est nul : P { T1 { T1 { Torseur glisseur : un torseur est dit torseur glisseur s il existe un point tel que le moment en ce point est nul. { { R T Exemple guide : Moteur 2 temps - suite On reprend le moteur de mendélisme de la figure 1.21 Q5. Écrire les torseurs cinématiques entre les solides S 1 et S, S 2 et S 1, S 3 et S 2, S 3 et S. Q6. En déduire le torseur cinématique de S 2 par rapport à S, proposez deux formes différentes pour ce torseur.

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