ÉLECTROCINÉTIQUE CALCULATRICES AUTORISÉES

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1 ÉLECTROCINÉTIQUE Le devoir comporte trois problèmes totalement indépendants pouvant être traités dans l ordre de votre choix (à indiquer clairement!). CALCULATRICES AUTORISÉES I. Circuit en régime transitoire On considère le circuit ci-dessous. Les condensateurs C 1 et C 2 ont même capacité C : C 1 = C 2 = C ; leur numérotation permet juste de les distinguer pour savoir de quel condensateur il est question dans le sujet. Le circuit est alimenté par un échelon de tension e(t), d amplitude E constante : 0 si t < 0 e(t) = E si t > 0 On suppose que lorsque e bascule de 0 à E le régime permanent stationnaire était atteint. 1. Faire les schémas équivalents du montage en régime permanent stationnaire. On exprimera u 1 et u 2, respectivement les tensions u 1 et u 2 pour le régime permanent à t > 0, ainsi que u 1,0 et u 2,0 respectivement les tensions u 1 et u 2 en régime permanent à t < 0. Étude énergétique de t = 0 + jusqu à t. 2. Déterminer les énergies W 1 et W 2 reçues respectivement par les condensateurs de capacité C 1 puis C 2, depuis t = 0 + jusqu à t. 3. Quelle est l énergie W G fournie par le générateur de t = 0 + jusqu à t? 4. En déduire, à l aide d un bilan d énergie soigneusement effectué, l énergie W J reçue par l ensemble des deux résistances R de t = 0 + jusqu à t. Évolution de u 1 (t) pour t > Déterminer, en fonction des données du problème, les expressions de u 1 (0 + ) et du 1 dt (0+ ). 6. En utilisant les lois de Kirchhoff, déterminer l équation différentielle vérifiée par u 1 (t) pour t > 0. La mettre sous la forme : d 2 u 1 dt 2 + ω 0 Q du 1 dt + ω2 0 u 1 = 0 et exprimer la pulsation propre ω 0 et facteur de qualité Q en fonction des données du problème. 7. On se place dans le cas où C 1 = C 2 = C. Simplifier les expressions de ω 0 et Q en conséquence. Puis établir l expression exacte de u 1 (t) pour t > 0. 1

2 II. Mesure d une impédance complexe par détection synchrone Certaines méthodes de contrôle non destructif utilisent l induction de courants induit dans les matériaux conducteurs, appelés courants de Foucault. Dans le cas de la sonde dite «à fonction double», une bobine génère un champ magnétique qui induit les courants de Foucault dans le matériau à contrôler. En retour, la proximité des courants de Foucault induit une modification de l impédance de cette bobine. Alors, la mesure de son impédance permet d analyser les courants de Foucault, et donc de détecter des défauts dans le matériau conducteur. Pour ce type de sonde, il est préférable d analyser séparément la partie réelle et la partie imaginaire de cette impédance plutôt que de travailler sur son module. Ce traitement se fait généralement à l aide d une détection synchrone (cf figure ci-dessous). Principe de la mesure La bobine d impédance complexe Z est alimentée par la tension sinusoïdale u e (t) = U e cos(ωt). Elle est alors traversée par un courant sinusoïdal i(t). La détermination de la partie réelle de Z, notée Re(Z) = Z cos(ϕ) s obtient en mesurant la valeur moyenne du signal résultant de la multiplication de la tension u e (t) et d une tension proportionnelle à i(t) obtenue à l aide d un convertisseur courant-tension. La détermination de la partie imaginaire de Z, notée Im(Z) = Z sin(ϕ), s obtient de façon similaire, en déphasant au préalable la tension de sortie du convertisseur de ± π 2 à l aide d un circuit déphaseur. II.1. Étude du convertisseur courant-tension Le convertisseur courant-tension (cf figure ci-contre) se compose d une résistance R 1 et d un amplificateur linéaire intégré (A.L.I). L ALI est d impédance d entrée supposée infinie et modélisé par la fonction de transfert complexe K(jω) = u A(t) ε(t) = K j ω ω 0, où ε(t) = V + (t) V (t), avec V + le potentiel à l entrée non inverseuse (+) de l ALI et V le potentiel à l entrée inverseuse (-). On rappelle, ici et pour toute la suite, que les courants i + et i entrant respectivement dans ces bornes peuvent être considérés nuls. 1. a) Exprimer une relation entre u A, i, R 1 et ε. b) À l aide de la fonction de transfert de l ALI, en déduire que la transmittance complexe T = u A (t) i(t) peut se mettre sous la forme T = G 0 1+j ω. On précisera les expressions de G 0 et de ω c en ωc fonction de R 1, K 0, et ω 0. 2

3 Comment se simplifie cette transmittance dans le cas où K 0 = 10 6, ω 0 = 200 rad.s 1 et où la fréquence d alimentation de la bobine n excède pas 200 khz? 2. a) Que deviendrait la transmittance complexe T non simplifiée, si on inversait les entrées (+) et ( ) de l ALI? b) En déduire l équation différentielle liant les fonctions réelles u A (t) et i(t) dans cette situation. Le système serait-il stable? Pourquoi? 3. On revient au montage de la figure ci-dessus. Le générateur fournit un signal de tension d entrée u e (t) = U e cos(ωt), et on note l impédance à mesurer sous forme polaire Z = Z e jϕ. En considérant toujours que K 0 1, établir l expression du courant i(t) en fonction de Z et des caractéristiques de la tension d entrée. II.2. Etude du circuit déphaseur Le circuit déphaseur (figure cicontre) se compose de deux résistances R 2, d une résistance variable R a, d un condensateur de capacité C et d un ALI. supposé idéal qui fonctionne en régime linéaire, c est-à-dire que l on peut supposer que ε = 0 V + = V. II On se place en régime sinusoïdal forcé de pulsation ω. En utilisant la loi des nœuds en termes de potentiel sur les deux entrées (+) et ( ), montrer que ce filtre a pour fonction de transfert 5. a) Pourquoi parle-t-on ici de filtre déphaseur? H d = u D(t) u A (t) = 1 jr acω 1 + jr a Cω. b) On donne f = 2 khz, C = 2, 2 nf. À quelle valeur faut-il ajuster R a pour que u D et u A soient en quadrature de phase? On considérera que cette condition est respectée dans la suite de l énoncé. c) Pour une entrée de la forme u A (t) = R 1 I 0 cos(ωt ϕ), comment s exprime la tension de sortie u D (t) en fonction du temps? Mesure de Z par détection synchrone 6. Le multiplieur produit un signal u m (t) = K u e (t) u d (t) en présence du déphaseur, ou u m (t) = K u e (t) u A (t) en l absence du déphaseur, avec K = 0, 10 V 1. Décomposer ce signal en série de Fourier, dans le cas de l absence du déphaseur, puis représenter son spectre en amplitude. 7. Pour mesurer Z = X r + jx i, on cherche sa partie réelle X r = Z cos ϕ et sa partie imaginaire X i = Z sin ϕ. Pour cela on utilise un filtre passe-bas tel que la tension de sortie U s est constante. a) Proposer un montage simple à l aide des composants R, L et/ou C qui réalise cette fonction. On justifiera sa nature par l analyse des comportements asymptotiques. Proposer des valeurs numériques argumentées pour les composants choisis. b) Donner l expression de U s en fonction des données du problème. Expliquer de façon précise comment on peut en déduire X r et X i. 3

4 III. Étude d un wattmètre électronique On se propose d étudier le fonctionnement d un wattmètre électronique, c est-à-dire un appareil capable de mesurer directement la puissance moyenne consommée par un dipôle en régime sinusoïdal. Le wattmètre comprend : III.1. un capteur de tension ; un capteur de courant (sonde à effet Hall) ; un multiplieur ; un filtre passe-bas. Puissance moyenne On considère un dipôle d impédance complexe Z = R+jX alimenté par une tension sinusoïdale v(t) = V m cos(ωt). On exprime le courant i(t) de la façon suivante : i(t) = I m cos(ωt ϕ). 1. Établir les expressions de l amplitude I m et du déphasage ϕ en fonction de V m, R et X. Quel est le signe de ϕ lorsque le dipôle est inductif? 2. Montrer que la puissance moyenne P reçue par le dipôle s écrit P = 1 2 V mi m cos ϕ. 3. Calculer les valeurs numériques de I m, ϕ et P dans le cas où R = 5, 0 Ω, X = 10 Ω et V m = 320 V. III.2. Principe du wattmètre électronique Pour mesurer la puissance moyenne absorbée par la charge, on utilise un wattmètre électronique réalisé selon le schéma fonctionnel suivant : Le capteur de tension fournit une tension image de v(t) : v a (t) = k a v(t). Le capteur de courant fournit une tension image de i(t) : v b (t) = k b i(t). Le multiplieur est un circuit électronique qui produit la tension v 1 (t) = K v a (t) v b (t). Le moyenneur (cf III.3) permet d obtenir une tension «lissée», telle que : < v 2 > = < v 1 >. 4. Établir l expression de la valeur moyenne < v 2 > de v 2 (t), et montrer qu elle est proportionnelle à P. On notera < v 2 > = k w.p, et on explicitera la constante k w. 5. On a mesuré une tension < v 2 >= 1, 5 V à la sortie du wattmètre. Sachant que k a = 0, 020, k b = 10 mv/a et K = 2, 0 V 1, en déduire la valeur de la puissance moyenne P mesurée par le wattmètre. 4

5 III.3. Étude du moyenneur (filtre passe-bas) Pour obtenir la valeur moyenne du signal v 1 (t), on utilise un filtre passe-bas représenté ci-dessous. Le schéma correspond à une structure dite «de Rauch», utilisant un Amplificateur Linéaire Intégré (ALI) que l on supposera idéal et fonctionnant en régime linéaire : les potentiels des entrées (+) et ( ) sont considérés égaux : V + = V ; les courants entrant dans les entrées (+) et ( ) sont considérés nuls : i + = i = En utilisant au point A puis au point B la loi des nœuds en termes de potentiel, établir deux relations entre V A, V B, v 1 et v En déduire la fonction de transfert H(jω) = v 2 v 1. On rappelle que la masse correspond à un potentiel nul. 8. On souhaite mettre H sous la forme canonique suivante : H = 1 + j Q H 0 ω ω 0 ω2 ω0 2 Déterminer les expressions de H 0, la pulsation propre ω 0 et le facteur de qualité Q en fonction des éléments composant le circuit. 9. On souhaite obtenir une fréquence propre f 0 = 5, 0 Hz et un coefficient de qualité Q = 1 2. Quel est l intérêt de choisir cette valeur de Q? On choisit R = 470 kω. Calculer les valeurs des capacités C 1 et C Après avoir établi les comportements asymptotiques du gain en décibels et de la phase du filtre, tracer le diagramme de Bode asymptotique (gain et phase) ainsi que l allure de la courbe réelle sur le document-réponse fourni sur le feuillet mobile en annexe, qui devra être rendu avec la copie. On superposera le gain et la phase sur le même graphe, en indiquant les axes verticaux correspondant. On indiquera les valeurs choisies en abscisse. 11. Établir l équation différentielle reliant les tensions v 1 et v On applique à l entrée du filtre passe-bas le signal de sortie du multiplieur v 1 (t). À l entrée du wattmètre on a pour la tension et le courant : v(t) = V m cos(ωt) et i(t) = I m cos(ωt ϕ), avec V m = 320 V, la fréquence f = 50 Hz, I m = 20 A et ϕ = 1, 0 rad. a) Donner l expression du gain G(f) et du déphasage ψ(f) du filtre en fonction de la fréquence f et des paramètres du filtre. b) Après avoir décomposé v 1 (t) en série de Fourier, montrer que la tension de sortie du filtre est l opposé, en régime forcé, de la valeur moyenne de v 1 (t) à laquelle se superpose une composante alternative sinusoïdale. c) Déterminer l amplitude A m de cette composante et calculer sa valeur numérique. d) En déduire la précision relative de la mesure de la puissance moyenne P. * * * Fin de l épreuve * * * (pensez à détacher et rendre votre annexe avec votre NOM et Prénom). 5

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7 ANNEXE - NOM Prénom : Diagramme de Bode (gain et phase) du filtre de Rauch (III.) 7