2: Cinématique vectorielle
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- Brian Patel
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1 : Cinémaique vecorielle I. Commen décrire en général le mouvemen en ligne droie? par inégraion g accéléraion erresre II. De quoi dépend la descripion d'un mouvemen en général? Mouvemen parabolique Référeniel d inerie Préparaion au cours e aux exos Chapires du Giancoli à lire avan le cours (3 pages): -7 Freel falling objecs 3-6 Vecor Kinemaics Exercices simples (3) à faire avan la séance d exos: Giancoli 3-8, 9, 57 Giancoli chapires -3 à -5, -7 e -8 e 3-6 à Le mouvemen reciligne par inégraion Quiz: Je vois Siuaion: Admeons que cee image a éé prise aujourd hui dans une voiure. Quesion: Qu es-ce que ça représene? A. Un odomère (indicaeur de kilomères) B. Une dérivée C. Un compe-ours D. Deux inégrales -
2 Soluion quiz odomère Un odomère aujourd'hui v() créaion de voiure Indicaeur de viesse dx( ) (viesse insananée) aujourd'hui v() hier NB: x, e v son la viesse e la disance par rappor au sol, oujours exprimées dans le référeniel de la voiure, i.e. on compe vraimen la norme, i.e. célérié -3 Commen déerminer le déplacemen en général? Ex. MRUA par inégraion accéléraion consane a dv v( ) v a() dv/=a dv = a a a a v (dv/) dx v dx x( ) x v() = a +v dx = (a +v ) v v a ' ' a ' ' a v x v (dx/) Equaion horaire (parabole): x() = a / +v +x x -4
3 Ex. de la Tesla Roadser: en 3.7s à 1 km/h! Exemple accéléraion: La Tesla Roadser aein de à 1 km/h en 3.7s Accéléraion moenne v = a T: a = 1 [km/h]/( [s]) a = 7.5m/s (Es-ce beaucoup?) 1 m/s = 36 m/36 s = 3.6 km/h Exemple disance: 1. a = 7.5 m/s. Viesse: v() = a() = a + v»v = v()= 3. Disance: x() = v() = a = a / +x»x = x() = Après T = 3.7s la voiure a parcouru D = at / m = vt/ = m MAIS inceriude! (la précision demandée es DEUX chiffres significaifs) (voiure 1% élecrique) -5 Démo: Siuaion: Deux objes avec des masses différenes omben (sans froemen). Quesion: Lequel arrive le plus ô en bas? 1. Pluô celui qui es le plus lourd. Ils arriven en même emps 3. Pluô celui qui es le moins lourd 4. Pas assez d informaion Soluion: Par analse dimensionnelle Admeons m g disance = masse emps disance /emps =1;=; = : Ne dépends pas de la masse -6
4 -. g- plume pièce air vide Les corps soumis uniquemen à l accéléraion de graviaion subissen la même accéléraion (voir leçons 4-6) =½ g g=/ [s] g [m/s ] 1 =.1 m.14 1 =.4 m.8 1 Apollo 15: hp:// 3 = 1.6 m Siuaion: Une voiure roule à v=6 km/h e heure un mur l amenan à l arrê. Quesion: Cela correspond à une chue de quelle haueur? 1.Conversion d uniés:» Viesse: v = 16.7 m/s» Accéléraion erresre g = 1m/s.Temps T pour aeindre v (de 16.7 m/s)» v=gt T = v/g = 1.7 s 3.Disance (voir exemple du Roadser):» x = gt / = v /g = (1 un peu/) [m /s ] / [m/s ] = 1 (un peu) /1 [m] = 1 [m] = 14m Conclusion: un acciden fronal à 6km/h correspond à omber depuis le 3 eme éage d un bâimen Siuaion: Une fusée sphérique de M=1 kg d un feu d arifice es lancée vericalemen à T= s avec une viesse iniiale de v =3 m/s à parir d un errain complèemen pla. Après T= s, une explosion sépare la fusée. Quesion: Quelle es la haueur H de la fusée juse avan l explosion? 1. 8m. 4m 3. 45m 1. La haueur es: H =x(t)=v T-gT / (négaive parce v e g son opposées, i.e. la fusée va s arrêer!). subsiuion de T: H = 3 [m/s] [s] 1[m/s ] 4[s ]/ = 4 m -8
5 x v< v> v>, a> v>, a< Le signe es imporan c es une manifesaion de la direcion! Dans ce référeniel: De une à deux dimensions: Dans un référeniel différen : Équivalen à une dimension: L obje se déplace de x 1 à x en La viesse es vx/ x 1 x 1 x x 1 x La viesse a deux composanes: x / e / x 1 x x (décrie par un veceur) Commen décri-on le mouvemen en 3D? Cinémaique vecorielle Siuaion: Un projecile es lancé horizonalemen au-dessus d un précipice; on laisse omber un aure en même emps. Quiz: Lequel arrive en bas le premier? (idéalisaion: sans froemen avec l air) 1. Pluô celui qu on laisse omber. Pluô celui lancé horizonalemen 3. Pas assez d informaions 4. En même emps -1
6 - Posiion Trajecoire Viesse moenne Viesse insananée Siuaion: En = - 1 on se déplace de P 1 à P. rajecoire r v 1 dr v r lim Définiions vecorielles: r - veceur de la posiion r=r -r 1 - veceur du déplacemen r v v viesse moenne x z v, v, v, x z, NB. On raie chaque composane équivalene au cas 1D (voir diapo précéden) La viesse insananée es angenielle à la rajecoire En composanes? Voir v x =dx/, v =d/, v z =dz/ dr dx d dz v,, v x, v, v z a peu avoir une direcion quelconque v a dv v d r a lim a En composanes? Voir a x =dv x /=d x/, ec. dv dv x z a,, ax, a, dv comme le cas 1D pour chaque composane a z Equaions de base (en général): dr ( ) dv( ) v( ) a( ) v( ) r ( ) a( ') ' v() v( ') ' r () Mouvemen uniformémen accéléré en 3 D Soluions sous forme de composanes (a=cons), e.g.: 1 x x vx ax 1 1 v a x( ) r v a 1 z z vz az Trop compliqué? Choisir le référeniel d inerie de manière à avoir des équaions plus simples -1
7 -4. à accéléraion en une direcion? Mouvemens paraboliques v = v -g v x = v x = consane (,) La composane horizonale de la viesse rese consane car l accéléraion es uniquemen selon e ne change que la composane vericale de la viesse. Mouvemen uniformémen accéléré: La rajecoire es oujours une foncion parabolique Indépendan du référeniel d inerie Mais son choix simplifie énormémen les choses x x v x x / v 1 v a Le film Speed Les paraboles son parou v 1 a ( x) x x v v x x Quesion: Es-il possible de sauer une disance de 15m horizonalemen avec une viesse de 3m/s? (v = ) (x=15m) = -1 [m/s ] 15 [m ] / ( 3 [m /s ]) = -1 5 / () [m] = -1.3m -13 hp://phsics.info/projeciles/pracice.shml Ex. nourrir le igre Siuaion: On jee une pièce de viande dans la direcion d un igre pour le nourrir, en gardan une disance maximale avec lui. On ne peu jeer qu avec une viesse iniiale de v. v Quesion: A quel angle la viande parcourra--elle la disance maximale? La réponse es par les argumen suivans: 1. Car on veu maximiser x(t), alors on uilise v uniquemen en x (v =). Mais, a =, suie à l accéléraion erresre, la viande ombe e n arrive jamais.. Alors il fau jeée la viande en air, mais avec =9, la viande rese chez moi. 3. il fau une viesse v don v x ainsi que v soi maximale. -14
8 La viande arrive chez le igre après T s (inconnu pour l insan). Avec une viesse iniiale de v, la disance en x sera x( T ) v ( T ) v x T T: viande ombe au igre gt T v T g v =v sin v Qui nous perme d écrire x(t) indépendan de T (T: le emps que la viande es en vol): v v x( T ) g vx =v cos x x(t) sin cos x( ) v g v x sin g max 4 (45 ) référeniel? Exemple: Pluie vue par le rain r r P O x Un repère - x,,z - es en mouvemen par rappor à un aure - x,,z P un poin maériel (r, r ) q=(oo ) Déplacemen: r q( ) r ' r ' r q ( ) dr viesse: v v v' v' v q vq a' a a dv q (accéléraion): a aq a' q O x Toujours sousraire le mouvemen de l origine du nouveau référeniel! 1. Vue dans le repère x, (hors rain): v q =(v T,,); v p =(,-v p,). Vue du rain (repère x, ): v p =v p - v q =(-v T,-v p,) v p v q / an v p -v q v q v p -16
9 mouvemen relaif a) Référeniel du wagon a) Référeniel du wagon: la balle a un mouvemen uniformémen accéléré e se déplace selon seulemen avec une viesse iniiale de v =(,v ) b) Référeniel du sol: la balle a en plus une viesse iniiale horizonale égale à celle du wagon, v = (v,) Elle décri une rajecoire parabolique v i = v o + v v i : viesse iniiale de la balle p.r. au sol b) Référeniel du sol -17 Une balle es lancée horizonalemen au-dessus d un précipice versus une aure qu on laisse omber en même emps. (sans froemen avec l air) 3. Elles arriven en même emps ombée lancée Posiion à = (, ) (, ) Viesse à = (, ) (v, ) Viesse à =T (, -gt) (v, -gt) Posiion à =T (, -gt /) (v T, -gt /) Référeniel de l audioire RI (en x) de la balle jeée RI au milieu des deux balles -18
10 -19 -
11 -1
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