TS BAC BLANC : CORRIGÉ (OBLIGATOIRE + SPÉCIALITÉ) 2004/2005. pour n * 1 = n + 1

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1 TS BAC BLANC : CORRIGÉ (OBLIGATOIRE + SPÉCIALITÉ) 4/5 Ercic (4 points). Traduction mathématiqu ds propriétés : (u n ) majoré : il ist un rél M tl qu pour tout indic n : u n M (u n ) croissant : pour tout indic n : u n u n+ (u n ) divrg vrs + : pour tout rél A, il ist un rang N tl qu : n N u n A. (a) Un suit (u n ) croissant st-ll nécssairmnt divrgnt vrs +? NON. Il suffit qu'll soit majoré pour n pas êtr divrgnt. Contr-mpl : u n = n pour n * Ctt suit (u n ) st croissant car pour tout ntir naturl n non nul, on a : u n+ u n = n + + n = n+ n+ = nn ( + ) u n+ u n > Par aillurs, ctt suit convrg vrs, donc ll n divrg pas. nn+ ( ) (b) Un suit (u n ) divrgnt vrs + st-ll nécssairmnt croissant? NON. Contr-mpl : u n = n + ( ) n Ctt suit divrg bin vrs + (puisqu pour tout n on a : n u n ) Mais ll n'st pas croissant puisqu pout tout ntir naturl p : u p+ u p = [p + + ( ) p+ ] [p + ( ) p ] = u p+ u p = [p + + ( ) p+ ] [p + + ( ) p+ ] = 3 (c) Un suit (u n ) croissant t non majoré divrg-t-ll vrs +? OUI. Démonstration : Soit A +. Comm (u n ) n'st pas majoré, il ist un rang N pour lqul : u N > A Mais comm (u n ) st croissant, pour tout n N, on aura : u n u N > A Donc tous ls trms d la suit (u n ) sont dans l'intrvall ]A, + [ à partir du rang N. Comm cci st valabl pour tout A +, on n déduit bin qu (u n ) divrg vrs +. Séri S Pag Févrir 5

2 Ercic (4 points) Illustration possibl d la courb d ƒ : ƒ(t) C ƒ O t. Comm la fonction ƒ st positiv sur l'intrvall [ ; 3], on a : 3 ƒ()d t t (Comm 3, l'intégral consrv l'ordr ds inégalités) Comm la fonction ƒ st négativ sur l'intrvall [ 5 ; ], on a : ƒ()d t t 5 Conclusion : I t J Pour K, on n put pas détrminr son sign avc cs suls informations car la fonction ƒ n'st pas d sign constant sur l'intrvall [ ; ].. Pour tout rél t d l'intrvall [ ; ], on a : ƒ(t) En intégrant pour t allant d à, on obtint par consrvation d l'ordr : ƒ()d t t dt D'où : A D mêm sur l'intrvall [ ; ] où l'on a ƒ : B 3. (a) D'après la rlation d Chasls : F() = A + B D'où : C 4 (b) Soit [ ; + [. Pour tout rél t d [ ; ], on a : ƒ(t) En intégrant ctt inégalité pour t allant d à, on obtint : ƒ(t)dt Séri S Pag Févrir 5

3 Mais comm ƒ st positiv sur + : ƒ(t)dt ƒ(t)dt D'où, pour tout : On n déduit, par comparaison qu : F() lim F() = + + (c) On rappll qu la fonction F : ƒ(t)dt st la primitiv d ƒ qui s'annul n. Par conséqunt, pour tout rél, on a : F'() = ƒ() Comm ƒ st négativ sur, F st décroissant sur. Comm ƒ st positiv sur +, F st croissant sur +. Ercic 3 (5 points) - Parti A -. On calcul ls distancs ΩA, ΩB t ΩC : ΩA = a ω = 5i d'où ΩA = 5 D mêm : ΩB = ΩC = 5 Donc A, B t C sont ds points du crcl Γ.. (a) On a : c b = 7 7i t d b = i On constat qu : c b = 7(d b) Ls vcturs BC t BD sont donc colinéairs donc D st bin sur la droit (BC). (b) On a : 7 BC 7 t OD Cs vcturs sont orthogonau (lur produit scalair st nul : BC. OD = 4 4 = ), par conséqunt, ls droits (OD) t (BC) sont prpndiculairs. Et comm D st un point d la droit (BC), on n déduit qu D st l projté orthogonal d O sur la droit (BC). - Parti B -. Pour tout z, on a z' t : z = z zz = z Et comm l modul d'un nombr compl st un nombr rél, il n st autant d z z. On a donc : arg z z = [π] OM, OM = [π] C'st-à-dir : ( ) Ls points O, M, M' sont donc alignés.. (a) Puisqu M : R(z) = Or, on sait qu R(z) = z + z d'où : z + z = 4 (b) On a déjà vu à la qustion qu : M' (OM) Pour montrr qu M' st sur l crcl Γ, on calcul ΩM' = z' 5 : On put aussi traduir la propriété z par z la colinéarité ds vcturs OM t OM. Séri S Pag 3 Févrir 5

4 z' 5 = 5 = 5z z z D'où : z' 5 = 5 Donc : M' Γ M' (OM) Γ.( a) = 5z z L point M' st donc l point où la droit (OM) rcoup l crcl Γ. Sur la figur, on a illustré l cas où z = + i (t z' = 8 + 4i) Figur y = A M' B D v O u M Ω Γ C Ercic 3 (5 points) SPÉCIALITÉ A. Cas ds ntirs 5 t 6. Comm 5 st divisibl par 5, tous ss multipls sont égalmnt divisibls par 5. Ls multipls d 5 s trminnt donc par un ou un 5 mais jamais par un. Par conséqunt «Aucun trm d la suit ( an) n n st divisibl par 5». Comm 6 st un ntir pair, ss multipls (qui sont égalmnt pairs) n puvnt pas s trminr par. Par conséqunt : «Aucun trm d la suit ( an) n n st divisibl par 6» 3. Si b st un ntir divisibl par ou 5, alors ss multipls n s trminnt pas par. Par conséqunt : «Lorsqu PGCD(b, ), aucun trm d la suit ( an) n n st divisibl par b» Séri S Pag 4 Févrir 5

5 B. Cas d l'ntir 7. On a, pour tout ntir n non nul : a n = n k = k On rconnaît la somm d n trms consécutifs d'un suit géométriqu d raison q =, donc : n a n =. D'après la rlation précédnt, on a pour k < m : = n 9 m k m k k am ak = = = am k L rst d la division uclidinn par 7 st un ntir naturl compris ntr t 6 (soit 7 possibilités). Si on ffctu 8 divisions uclidinns, lls n pourront pas touts avoir ds rsts distincts. Par conséqunt, parmi ls 8 prmirs trms d la suit ( an) n, il n ist du, au moins, ayant l mêm rst. Notons a n t a p du trms d la suit ayant l mêm rst r dans la division uclidinn par 7. Il ist donc ds ntirs q t q' tls qu :a n = 7q + r t a p = 7q' + r D'où : a p a n = 7(q' q) L rst d la division uclidinn d a p a n par 7 st donc nul. Autrmnt dit, 7 divis a p a n t d'après la qustion : 7 divis a n p n 4. 7 t n sont prmirs ntr u t 7 divis a n p n, donc d'après l lmm d Gauss : 7 divis ap n 5. L'ntir 7 possèd donc un multipl (à savoir ap n) parmi ls ntirs qui s écrivnt... k C. Bilan L raisonnmnt fait avc 7 st applicabl avc n'import qul ntir b vérifiant PGCD(b, ) =. Il suffit d considérr la division uclidinn par b, trouvr du trms a n t a p d la suit qui ont l mêm rst dans la division uclidinn par b. On n déduit alors (avc la qustion ) qu b divis a n. Or, PGCD(b, n ) =, donc d'après lmm p n d Gauss, b divis a n p, donc admt un multipl d la form... On put donc énoncr : un ntir b admt un multipl d la form... PGCD(b, ) = Rmarqu : si PGCD(a, b) =, alors pour tout ntir naturl n, PGCD(a, b n ) = En fft, si PGCD(a, b) =, alors d'après l théorèm d Bézout, il ist un coupl (u, v) d'ntirs rlatifs tls qu : au + bv = En élvant au carré : a u + aubv + b v = Séri S Pag 5 Févrir 5

6 a(au + ubv) + b v = On n déduit (toujours Bézout...) qu : PGCD(a, b ) = Il suffit nsuit d mttr n plac un raisonnmnt par récurrnc pour obtnir : PGCD(a, b n ) = On put aussi démontrr c résultat n utilisant l fait qu ls divisurs prmirs d a t b n sont ls mêms qu cu d a t b. Ercic 4 (8 points) - Parti A : qustions d cours -. Montrons, tout d'abord, qu pour tout : Pour cla, on étudi ls variations d la fonction g défini sur par : g() = La fonction g st dérivabl sur t pour tout : Tchniqu à connaîtr : pour comparr du quantités, on étudi l sign d lur différnc. g'() = = Comm la fonction ponntill st croissant sur, on n déduit : g'() D'où l sns d variation d la fonction g : + Sign d la dérivé g' + Variations d la fonction g La fonction g admt un minimum m strictmnt positif n : m = g() = = Par conséqunt la fonction g st strictmnt positiv pour tout rél, d'où : Or, nous savons qu lim = +. + pour tout, Du théorèm d comparaison ds limits, on n déduit qu l'ponntill admt un limit n + t : lim = Posons X =. Si tnd vrs alors X tnd vrs +. Compt tnu d la rlation = = nous avons : X lim = lim X + X = (puisqu lim X + X = + ) La courb d la fonction ponntill admt donc, n, un asymptot horizontal d'équation y =. Séri S Pag 6 Févrir 5

7 - Parti B : étud d'un fonction auiliair -. a. La limit d'un fonction polynôm n + (ou ) st égal à la limit d son trm d plus haut dgré : lim ( + + ) = lim = + Par aillurs : Donc par produit : Et finalmnt : lim = + lim ( ) + + = + lim ϕ() = + Pour la limit n +, dévloppons ϕ() afin d lvr un indétrmination (du typ "+ ") : ϕ() = + + On sait qu pour tout ntir naturl n : lim + n = D'où, par somm : lim ϕ() = + b. La fonction ϕ st d la form : ϕ = uv avc u ( ) = + + v ( ) = Comm ls fonctions u t v sont dérivabls sur, la fonction ϕ l'st aussi (par produit) t on a : C qui donn, pour tout rél : ϕ'() = ( + ) ϕ'() = ( + ) ϕ' = u'v + uv' + ( ) + + ( ) = ( ) On étudi l sign d ϕ' t ls variations d ϕ à l'aid du tablau suivant : + Justification ds signs Sign d + + Sign d ( ) + + Sign d L'ponntill st > sur Sign d la dérivé ϕ' + Variations + 3 d la fonction ϕ On calcul ls valurs ds trmums locau : ϕ() = = ; ϕ() = 3. Sur ], [, la fonction ϕ admt un uniqu minimum n égal à, donc l'équation ϕ() = admt un uniqu solution sur ct intrvall. On put êtr plus forml n utilisant la strict décroissanc d ϕ (rsp. strict croissanc) sur l'intrvall ], [ (rsp ], [) : Séri S Pag 7 Févrir 5

8 ], [ < ϕ() > ϕ() ϕ() > ϕ() = ϕ() = ], [ < < ϕ() < ϕ() < ϕ() < ϕ() ϕ() La sul solution d l'équation ϕ() = sur ], [ st bin =. Sur [, + [, on appliqu l théorèm d bijction : ϕ st continu (car dérivabl) sur [, + [. ϕ st strictmnt décroissant sur [, + [ ϕ() = 3 > (car 3 > ) t lim ϕ() = < + En conséqunc, il ist un uniqu rél α dans [, + [ tl qu ϕ(α) = En ffctuant un balayag à la calculatric, on obtint l'ncadrmnt suivant :,79 < α <,8 3. On n déduit l sign d ϕ : ], α] ϕ() [α, + [ ϕ() α + Sign d ϕ Parti C : étud d la position rlativ d du courbs t calcul d'un air -. La fonction g st bin défini sur car pour tout rél : + + = = On a donc pour tout : + + >. On calcul facilmnt ƒ() = g() =. Par conséqunt, ls du courbs C ƒ t C g passnt bin par l point A d coordonnés ( ; ). Pour montrr qu'lls ont mêm tangnt n A, il suffit d montrr qu ƒ'() = g'(). La fonction ƒ st d la form : ƒ = uv avc u ( ) = (+ ) v ( ) = Comm ls fonctions u t v sont dérivabls sur, il n st d mêm pour ƒ (par produit) t on a : C qui donn, pour tout rél : ƒ'() = ƒ' = u'v + uv' + ( + ) ( ) = ( ) D mêm pour g n utilisant la formul d dérivation d'un quotint, on obtint : g'() = ( ) ( + + ) + + (+ ) On n déduit bin : ƒ'() = g'() = + = ( + + ) Ls courbs C ƒ t C g ont bin la mêm tangnt au point A (t son équation st y = + ) 3. a. En réduisant au mêm dénominatur, on obtint pour tout rél : Séri S Pag 8 Févrir 5

9 ƒ() g() = ( + ) b. On vu à la qustion C.. qu pour tout rél, on avait : = (+ )( + + ) (+ ) = + + (+ ) ϕ( ) > L sign d ƒ g n dépnd donc qu d clui d ( + ) t d clui d ϕ. / α + Sign d ( + ) Sign d ϕ Sign d ƒ g + + c. On n déduit la position rlativ d C ƒ t C g : sur,, C ƒ st n dssous d C g sur,, C ƒ st au dssus d C g sur ], α[, C ƒ st au dssus d C g sur ]α, + [, C ƒ st n dssous d C g 4. a. La fonction g st d la form : g = u u avc u() = + + Comm u st strictmnt positiv sur, un primitiv G d g st donné par : G = ln u C'st-à-dir : G() = ln ( + + ) b. La fonction F st d la form F = uv avc u ( ) = ( a+ b) v ( ) = Comm ls fonctions u t v sont dérivabls sur, il n st d mêm pour F (par produit) t on a : C qui donn, pour tout rél : F'() = a + ( a b) F' = u'v + uv' + ( ) + ( ) =( a a b) Pour qu F'() = ƒ() = ( + ), il faut t il suffit qu : C'st-à-dir : a = a b = a = b = 3 Conclusion : F() = ( 3) c. Par linéarité, un primitiv H d ƒ g st donc F G : d. Sur H() = F() G() = ( 3) ln ( + + ),, on a ƒ g >. L'air dmandé st donné, n unités d'air, par : ( ƒ ( ) g ( ))d = [ H( ) ] = H() H = ln,98 à 4 près 4 Séri S Pag 9 Févrir 5