Solutions auto-similaires et espaces de données initiales. 2 ), l équation de Schrödinger. Introduction. Fabrice Planchon

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1 Soluions auo-similaires e espaces de données iniiales pour l équaion de Schrödinger Fabrice Planchon Résumé. On démonre que pour des peies données iniiales dans Ḃ 1, (R3 ), l équaion de Schrödinger non linéaire cubique adme des soluions bornées en emps à valeur dans ce espace de Besov. Ces soluions son auosimilaires lorsque la donnée iniiale es homogène de degré 1. Absrac. We show ha for small iniial daa in Ḃ 1, (R3 ), he cubic nonlinear Schrödinger equaion has soluions which are bounded in ime aking values in he same Besov space. hese soluions are self-similar when he iniial daa is homogeneous of degree 1. Inroducion On considère dans cee noe le problème de Cauchy pour l équaion de Schrödinger non linéaire cubique suivane : { i u + u = ǫ u u, (1) u(x, ) = u (x), x R3,, où ǫ es indifféremmen 1 ou 1. Dans des ravaux récens ([3, 4]) il a éé monré commen consruire des soluions auo-similaires pour ce sysème, en considéran des données iniiales (assez peies) elles que () sup 1 8 S()u 4 <, S() éan le groupe de Schrödinger e 4 la norme L 4. Les aueurs monren que la classe foncionnelle définie par () n es pas vide, e conien en pariculier les données iniiales u de la forme P k (x)/ x k+1, où P k es un polynôme harmonique. Dans [7] il es monré en oure que les foncions de la forme φ(x/ x )/ x où φ C (S ) vérifien (). Enfin, dans [9], cee condiion es relaxée à φ C 3 (S ), avec une modificaion de la classe foncionnelle uilisée. Remarquons d emblée que oues ces données iniiales son homogènes de degré 1, e qu ainsi les soluions associées son auo-similaires, c es à dire de la forme u(x, ) = 1 U( x ). D aure par, les espaces uilisés dans [3, 4, 9] son ous consruis à parir du groupe de Schrödinger. Aussi il es naurel de se demander s il exise un espace foncionnel B, qui ne soi pas consrui à l aide du groupe de Schrödinger, el que pour une donnée peie dans B on obienne une soluion u L (B) (Il ne peu y avoir coninuié fore en zéro pour des données iniiales homogènes. Nous référons le leceur à [3] pour une explicaion à ce suje). Sachan que le problème (1) es bien posé dans l espace de Sobolev H 1, e afin de pouvoir admere des données homogènes, il es naurel de considérer l espace de Besov Ḃ1/,, e S() es borné uniformémen en emps sur ce dernier espace, ce qui en fai un bon candida pour nore espace B. Laboraoire d Analyse Numérique, URA CNRS 189, Universié Pierre e Marie Curie, 4 place Jussieu BP 187, 75 5 Paris Cedex 1

2 Résulas e démonsraions Nous allons monrer que l espace Ḃ1/, es bien adapé à l éude de 1. Théorème 1 Il exise ǫ e ǫ 1 els que, si u Ḃ1/, es elle que u Ḃ1/, < ǫ, alors il exise une soluion globale u(x, ) de (1) elle que u L (Ḃ1/, ). De plus cee soluion es unique sous la condiion u L 8, ) < ǫ 1. (L 4, x Nous allons nous resreindre pour la démonsraion aux seules donnés iniiales homogènes de degré 1. La preuve dans le cas général paraira dans [8], dans un conexe plus large (dimension n, non-linéarié de ype u α u). Lorsqu on se resrein aux données homogènes, les soluions son de la forme u(x, ) = 1 U( x ), e nous ne ravaillerons désormais qu avec U, le profil de la soluion. Celui-ci vérifie en oure de nombreuses esimaions supplémenaires Proposiion 1 Si U es le profil obenu dans le héorème 1, alors (3) où r 6 (soi q ). U Ḃ 1 r,q, avec 1 q + 3 r = 3 4, On se propose de procéder de la manière suivane: dans un premier emps, on va monrer la proposiion 1 pour le problème linéaire. Ceci es esseniellemen une réécriure des esimaions de Sricharz ([5]) sur des blocs dyadiques. Dans un second emps, on monrera commen les esimaions (3) son conservées par le erme non-linéaire qui apparaî dans la formulaion inégrale de (1) (4) u(x, ) = S()u + ǫ S( s) u u(x, s)ds. Ceci reposera sur un lemme de produi dans les espaces de Besov similaire à ceux de [9]. Ces deux éapes achevées, on conclu par un simple lemme de poin fixe pour obenir le héorème 1. Avan d enamer les démonsraions, il convien de faire deux remarques. La dimension e la puissance de la non-linéarié on éé arbirairemen choisies comme éan 3, esseniellemen pour fixer les idées e avoir un changemen d échelle e des exposans familiers au leceur (l équaion (1) es bien posée dans H 1, cf []), mais l ensemble des résulas se ransposen à d aures plages d indices ([8]). Enfin, on peu remplacer l équaion (1) par une équaion d ondes non-linéaire, dans le même espri que [1]. On rappelle les esimaions de Sricharz [1] dans leur forme la plus générale, incluan les poins exrémaux comme récemmen démonré dans [5].

3 Théorème ([5]) Si deux paires (r, q), ( r, q son elles que 1 q + 3 r = 3 4 = 1 q + 3 r, avec r, r 6, e si oues les inégraions en emps son à prendre sur un inervalle [, T], où T es arbiraire e peu êre +, alors (5) (6) (7) s< s< S()u (x) L q (Lr, C u, S( s)f(x, s)ds L (L C f(x, ) L q (L r, S( s)f(x, s)ds L q (Lr, C f(x, ) L q (L r, où les consanes C son indépendanes de T. La noaion ( r, q ) désigne la paire d exposans duaux de ( r, q), e L r, es l espace de Lorenz, inclus dans L r car r. Cee forme précisée uilisan un espace de Lorenz n es pas nécessaire pour démonrer la proposiion 1 sur la parie linéaire, mais sera uile par la suie, e résule du héorème 1.1 dans [5]. Pour le momen, on oublie l indice e on uilise l espace L r. Monrons la proposiion 1 pour le problème linéaire, auremen di U = S(1)u. On sai que u Ḃ1/, es équivalen à (8) sup η 1 η u <, η où η es un opéraeur de localisaion auour de la fréquence ξ = η 1. Ainsi, à η fixé, si u(x, ) = S()u (x) η u(x, ) L q (Lr C η u. Or grâce à l homogénéié de u, u(x, ) = 1 U( x ), e ainsi, par changemen de variable (9) η u(x, ) r = η U(x) r 1+ 3 r. Ceci perme, après muliplicaion par η 1 e changemen de variable τ = η d obenir (1) ( (τ 1 τ U(x) r ) q dτ τ )1 q C sup η 1 η u. η On reconnaî alors au premier membre la norme de U = S(1)u dans l espace Ḃ 1,q r. Noons que la propriéé pour U se radui après changemen d échelle par (11) sup 1 q u(x, ) Ḃ 1,q <. r Nous venons donc de prouver la Proposiion Si (p, q) es une paire admissible d indices au sens du héorème, alors pour u Ḃ 1, homogène de degré 1, S(1)u Ḃ 1 (1) r,q e S(1)u Ḃ 1,q C u Ḃ 1,. r 3

4 On se propose mainenan de monrer le lemme suivan, où la noaion Ḃs,q (p, p) désigne l espace de Besov consrui sur l espace de Lorenz L p, p au lieu de l espace de Lebesgue L p (voir [1] pour une définiion des espaces de Lorenz e de Besov). Lemme 1 Soi f Ḃ 1, Ḃ 1, (6,). Alors f3 Ḃ 1, ( 6 5,), e (13) f 3 Ḃ 1, ( 6 5,) C f Ḃ 1, (6,) f 1, Ḃ. Pour démonrer le lemme, on uilise la caracérisaion des espaces de Besov uilisan les différences finies, suivan [11, 1]. d (14) = ( f Ḃs,q p sup y f(x + y) f(x) q p 1+sq )1 q, avec < s < 1. Par ailleurs, on obien, par inerpolaion ([1]), l injecion de Sobolev (15) Ḃ s,q p L p,q, où s 3 p = 3 p, e ainsi, dans nore cas, f Ḃ 1, nous donne f L 3,. Ceci éan, f 3 Ḃ 1, ( 6 5,) C sup y f(x + y) f(x) d (6,) f 3,, où l on a uilisé l inégalié de Hölder généralisée ([6]), p, p 1, p éan reliés par la relaion habiuelle: fg (p,) C f (p1,) g (p, ), où la noaion (p,) désigne la norme L p,. Enfin, il convien de remarquer que considérer f 3 ou f f ne modifie en rien la preuve. Noons que ce lemme n es qu un exemple de lemmes de produi plus généraux. Sur la base de els lemmes, il es par exemple facile de faire un poin fixe pour l équaion (4), dans l espace des foncions elles que sup 1 4 u(x, ) Ḃ 1,4 3 de produi similaire au pécéden monre que U 3 (ou U U) es dans Ḃ 1,4 3/ ǫ. En effe, un lemme, e S( s) renvoie la non-linéarié dans Ḃ 1,4 3. C es ce ype de poin fixe qui es fai dans [3, 4, 9]. Cependan, il n es pas possible de déduire le héorème 1 d un el calcul, car ceci nécessierai U 3 Ḃ 1,4 3 3/. C es pour cee raison que l on fai inervenir le poin exrèmal des esimaions de Sricharz (la démonsraion du cas général donnée dans [8] perme de s en passer e donc de raier la dimension au prix de complicaions echniques). Supposons pour le momen que U Ḃ 1, (6,) Ḃ 1, = F, l espace où l on souhaie effecuer un poin fixe, e monrons que la non-linéarié préserve F. En uilisan le lemme 1, on obien que U 3 apparien à Ḃ 1, ( 6 5,). On veu monrer que supµ 1 µ Γ <, µ où, si V = U U Γ = 1 S(1 s) 1 V ( ds. s 3 s 4

5 Pour cela, on remarque que µ Γ(x) = 1 [ 1 S(1 s) µ V ( x ] ) ds s 3 s alors, on applique l inégalié (6) sur l inervalle de emps [, 1], pour obenir (16) ( 1 µ 1 µ Γ C µ 1 µ ( 1 V ( 1 )) s 3 s ( 6,)ds 5 e, en uilisan le même changemen de variable que pour (9) pour ransformer la seconde expression, on obien µ 1 µ Γ C V Ḃ 1, ( 6 5,). Ceci monre donc que Γ Ḃ 1,. Il rese à monrer l aure poin exrémal, [ (6, ( ). )] Pour ce faire, on applique mainenan la dernière inégalié de Sricharz, (7), à µ 1 µ 1 Γ x (17) 1 [ ( )] 1 µ 1 x 1 µ Γ (6,) ds C µ 1 µ ( 1 V ( ) s 3 s ( 6,)ds 5 e de nouveau, par changemen de variable dans les deux membres, on obien le résula Γ Ḃ 1, (6,) C V Ḃ 1, ( 6 5,). Le calcul précéden monre qu une suie d iérées U (n) (où U (n) es le profile associé à u (n) ) pour l équaion inégrale (4) rese bornée dans F, lorsque U () = S(1)u es assez pei. Une modificaion rès simple de l argumen précéden monre qu en fai l opéraeur Γ es une conracion sur F. Il suffi en effe de modifier le lemme de produi, pour conrôler U 3 V 3 par U V. Ceci achève la démonsraion de la proposiion 1, e donne l exisence pour le héorème 1. Dans le cas pariculier des soluions auosimilaires auquel on s es resrein ici, on peu obenir l unicié du profil sous la condiion U L 4, de la fa con suivane: la soluion obenue par la démonsraion précédene vérifie U Ḃ 1,8 1 L 4,8. Ainsi U L 4,, e par changemen d échelle u(x, ) L 8, (L 4,, avec 5 une peie norme. Alors, si v(x, ) es une aure soluion, u v L 8, (L 4, C u 3 v 3 L 8 3, 4, (L 3 Cǫ 1 u v L 8, (L 4,. Ceci donne l unicié, quie à changer le choix d ǫ pour rendre ǫ 1 assez pei. Références [1] J. Bergh and J. Löfsrom. Inerpolaion Spaces, An Inroducion. Springer-Verlag, [] T. Cazenave and F. Weissler. The Cauchy problem for he criical nonlinear Schrödinger equaion in H s. Nonlinear Anal. T.M.A., 14:87 836, 199. [3] T. Cazenave and F. Weissler. Asympoically self-similar global soluions of he non linear Schrödinger and hea equaions. Mah. Zei., 8:83 1,

6 [4] T. Cazenave and F. Weissler. More self-similar soluions of he nonlinear Schrödinger equaion. No D.E.A., 5: , [5] M. Keel and T. Tao. Enpoin Sricharz esimaes. o appear in he American Journal of Mahemaics. [6] R. O Neil. Convoluion operaors and L(p, q) spaces. Duke Mahemaical Journal, 3:19 14, [7] F. Oru. rôle des oscillaions dans quelques problèmes d analyse non-lin éaire. PhD hesis, ENS Cachan, [8] F. Planchon. On he Cauchy problem in Besov spaces for a non-linear Schrödinger equaion. prépublicaion. [9] F. Ribaud and A. Youssfi. Regular and self-similar soluions of nonlinear Schrödinger equaions. preprin. [1] F. Ribaud and A. Youssfi. Self-similar soluions of nonlinear wave equaion. preprin. [11] T. Runs and W. Sickel. Sobolev Spaces of Fracional Order, Nemyskij Operaors, and Nonlinear Parial Differenial Equaions. De Gruyer series in nonlinear analysis and applicaions. Waler de Gruyer, [1] R. Sricharz. Resricion of Fourier ransform o quadraic surfaces and decay of soluions of he wave equaions. Duke Mahemaical Journal, 44:75 714,