Baccalauréat S Amérique du Nord 30 mai 2013

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1 Duré : 4 hurs Baccalauréat S Amériqu du Nord 30 mai 03 Exrcic Commun à tous ls candidats On s plac dans l spac muni d un rpèr orthonormé. On considèr ls points A(0 ; 4 ; ), B ( ; 3 ; 0), C( ; ; ) t D (7 ; ; 4).. Démontrons qu ls points A, B t C n sont pas alignés. On a AB (; ; ) t AC (; 5; 3). On a : 5. Ls coordonnés ds vcturs AB t AC n sont pas proportionnlls. Ls vcturs AB t AC n sont pas colinéairs : ls points n sont pas alignés.. Soit la droit passant par l point D t d vctur dirctur u ( ; ; 3). a. Démontrons qu la droit st orthogonal au plan (ABC). On a AB. u= +( ) ( )+( ) 3= 0 t AC. u= +( 5) ( )+( 3) 3= 0. Ls vcturs AB t AC sont orthogonaux à u. La droit st orthogonal à dux vcturs non colinéairs du plan (ABC) : ll st orthogonal au plan (ABC) b. D c qui précèd, on déduit qu u st un vctur normal à (ABC). Un équation cartésinn d (ABC) st d la form x y+ 3z+ d = 0. Comm l point A appartint au plan (ABC), ss coordonnés vérifint : 0+(4) ( )+() 3+d = 0 d =. On n déduit un équation cartésinn du plan (ABC) : x y + 3z + = 0. c. Détrminons un rprésntation paramétriqu d la droit. Comm la droit a pour vctur dirctur u ( ; ; 3) t contint l point D (7 ; ; 4), un rprésntation paramètriqu d st :, t R. d. Détrminons ls coordonnés du point H, intrsction d la droit t du plan (ABC). Ls coordonnés d H sont ls solutions du systèm : x y+ 3z+ = 0, t R. x y+ 3z+ = 0 x = 3 y = z = t = t = (t+ 7) ( t )+3(3t+ 4)z+ = 0

2 L point H a pour coordonnés H(3; ; ) 3. Soit P l plan d équation x+y+ z = 0 t P l plan d équation x+ 4y+ =0. a. Démontrons qu ls plans P t P sont sécants. L plan P d équation x+y+ z = 0 a pour vctur normal n ( ; ; ). L plan P d équation x+ 4y+ =0 a pour vctur normal n ( ; 4 ; 0). Ls coordonnés ds vcturs n t n n sont pas proportionnlls. Ls vcturs n t n n sont pas colinéairs. Ls plans n sont pas parallèls ; ils sont sécants. b. Vérifions qu la droit d, intrsction ds plans P t P, a pour rprésntation paramétriqu, t R. Considérons l systèm : x+y+ z = 0 x+ 4y+ = 0, t R. y = y x+y+ z = 0 z = x y z = 3t+ x+ 4y+ = 0 x = 4t 0 x = 4t 0 y = t y = t y = t On n déduit qu la droit d, intrsction ds plans P t P, a pour rprésntation x = 4t paramétriqu y = t, t R. z = 3t+ c. On déduit d la rprésntation paramétriqu précédnt qu la droit d a pour vctur dirctur u ( 4 ; ; 3). L plan (ABC) a pour vctur normal u ( ; ; 3). u. u = 0. u t u sont orthogonaux : la droit d t l plan (ABC) sont parallèls. Exrcic Candidats N AYANT PAS SUIVI l nsignmnt d spécialité mathématiqus On considèr la suit ( ) défini par u 0 = t, pour tout ntir naturl n,. On considèr l algorithm suivant : + =. Variabls : n st un ntir naturl u st un rél positif Initialisation : Dmandr la valur d n Affctr à u la valur Traitmnt : Pour i variant d à n : Affctr à u la valur u Fin d Pour Sorti : Affichr u a. On a : u 0 =, u = u 0 =, u = u = t u 3 = u = =.8340 à 0 4 près Corrigé Amériqu du Nord 30 mai 03

3 b. Ct algorithm prmt l calcul du trm d rang n. c. D après l tablau ds valurs approchés obtnus à l aid d ct algorithm pour crtains valurs d n, on put conjcturr qu la suit st croissant t majoré par.. a. Démontrons par récurrnc qu, pour tout ntir naturl n, 0<. Initialisation On a u 0 = donc 0<u 0 Hérédité Supposons qu il xist un ntir naturl n tl qu 0<. On a : 0< 0< 4 0< 4 0< +. Conclusion 0<u 0 Si 0< alors 0<+. D après l axiom d récurrnc on a pour tout ntir naturl n, 0<. b. Détrminons l sns d variation d la suit ( ). Comm pour tout ntir naturl n, 0<, comparons + On a : u n+ un un = = u n =. à. Et comm on a démontré précédmmnt qu, alors t. On n déduit qu pour tout ntir naturl n, 0 <, + ; ( ) st un suit croissant. c. On vint d prouvr qu d un part la suit ( ) st strictmnt croissant t qu d autr part ll st majoré par. Cci démontr qu la suit ( ) st convrgnt. 3. On considèr la suit (v n ) défini, pour tout ntir naturl n, par v n = ln ln. a. Pour tout ntir naturl n, par v n = ln ln donc n particulir : u 0 = ln(u 0 ) ln = ln ln = ln On a aussi pour tout ntir naturl n,v n+ = ln + ln, mais + =. Alors : v n+ = ln ln = (ln()+ln) ln= (ln() ln )= v n On put n conclur qu la suit (v n ) st la suit géométriqu d raison t d prmir trm v 0 = ln. ( ) n b. On déduit d c qui précèd qu pour tout ntir naturl n, v n = ln. ( un ) v n = ln( ) ln ln = v n = v n = v n. n fonction d n. c. Comm ( ) n [0;], lim = 0 t lim n + (v n)=0 n + ( On sait qu lim x ) ( ) =, alors par composition ds limits : lim v n = t finalmnt : lim ()= n + n + d. L algorithm ci-dssous prmt d affichr n sorti la plus ptit valur d n tll qu >,999. Corrigé Amériqu du Nord 3 30 mai 03

4 Variabls : n st un ntir naturl u st un rél Initialisation : Affctr à n la valur 0 Affctr à u la valur Traitmnt : Tant qu u,999 Affctr à u la valur u Affctr à n la valur n+ Sorti : Affichr n Exrcic 3 Commun à tous ls candidats Ls partis A. B t C puvnt êtr traités indépndammnt ls uns ds autrs Un boulangri industrill utilis un machin pour fabriqur ds pains d campagn psant n moynn 400 gramms. Pour êtr vndus aux clints, cs pains doivnt psr au moins 385 gramms. Un pain dont la mass st strictmnt infériur à 385 gramms st un pain noncommrcialisabl, un pain dont la mass st supériur ou égal à 385 gramms st commrcialisabl. La mass d un pain fabriqué par la machin put êtr modélisé par un variabl aléatoir X suivant la loi normal d spéranc µ=400 t d écart-typ σ=. Ls probabilités sront arrondis au millièm l plus proch Parti A On pourra utilisr l tablau suivant dans lqul ls valurs sont arrondis au millièm l plus proch. x P(X x) 0,035 0,086 0,8 0,35 0,5 0,675 0,88 0,94 0,965. P(390 X 40)= P(X 40) P(X < 390)=0,88 0,8 = 0,636.. Un pain choisi au hasard dans la production st commrcialisabl si t sulmnt si «X 385». «X 385»st l événmnt contrair d «X < 385». On a donc p(x 385)= p(x < 385)= 0,086= 0, L fabricant trouv ctt probabilité p trop faibl. Il décid d modifir ss méthods d production afin d fair varir la valur d σ sans modifir cll d µ. Soit Y la variabl aléatoir d paramètrs µ=400 t σ, on a : p(x 385)= 0.96 p(y < 385)=0,96 p(y < 385)= 0,04 Si Y suit un loi normal d paramètrs µ=400 t σ, on sait qu Z = X 400 suit un loi ( σ normal cntré réduit t p(y < 385)= 0,04 P Z ) = 0,04. σ Or P(Z,75) 0,040.On a donc : 5 5 =.75 σ= σ.75 = 8,6. Pour σ=8,6, au dixièm près ; la probabilité qu un pain soit commrcialisabl st d 96% Parti B Corrigé Amériqu du Nord 4 30 mai 03

5 Ls méthods d production ont été modifiés dans l but d obtnir 96 % d pains commrcialisabls. Afin d évalur l fficacité d cs modifications, on ffctu un contrôl qualité sur un échantillon d 300 pains fabriqués.. L intrvall d fluctuation asymptotiqu au suil d 95 % d la proportion d pains commrcialisabls dans un échantillon d taill 300 st d la form. [ ] p( p) p( p) I 300 = p,96 ; p,96 n n avc p= 0,96 t n= 300. On a donc : I 3 00=[0,93 ; 0,99]. Parmi ls 300 pains d l échantillon, 83 sont commrcialisabls. C qui rprésnt 94 % d la production. Au rgard d l intrvall d fluctuation obtnu à la qustion,on accpt qu l objctif a été attint. Parti C L boulangr utilis un balanc élctroniqu. L tmps d fonctionnmnt sans dérèglmnt, n jours, d ctt balanc élctroniqu st un variabl aléatoir T qui suit un loi xponntill d paramètr λ.. On sait qu la probabilité qu la balanc élctroniqu n s dérègl pas avant 30 jours st d p(t 30)=0,93. On a par aillurs : p(t 30)= 30 0 λ λx d x = [ λx ] 30 0 = 30λ. On n déduit : p(t 30)= p(t 30)= 30λ t finalmnt : 30λ = 0,93 30λ= ln(0.93) λ=0,003. Dans tout la suit on prndra λ= 0,003.. Calculons p T 60 (T 90). p((t 60) (T 90)) p(t 90) p(t 90) On a p T 60 (T 90)= = )= p(t 60) p(t 60 p(t 90) = 90λ 60λ = 30λ. Avc λ=0,003., on a donc p T 60 (T 90)=p(T 30)=0,93 La probabilité qu la balanc élctroniqu fonctionn ncor sans dérèglmnt après 90 jours, sachant qu ll a fonctionné sans dérèglmnt 60 jours st 0,93 (loi à duré d vi sans viillissmnt!) 3. L vndur d ctt balanc élctroniqu a assuré au boulangr qu il y avait un chanc sur dux pour qu la balanc n s dérègl pas avant un an. Calculons la duré maximal t max pour laqull la probabilité qu la balanc dérègl st infériur à 0,5. p(t t max ) 0,5 = t max 0 λ λx d x 0,5 [ λx ] t max 0 0,5 λt max 0,5 λt max 0,5 λt max 0,5 λt max ln 0.5 Avc λ=0,003, on trouv t max = 3. L vndur avait donc tort. Exrcic 4 Commun à tous ls candidats Soit f la fonction défini sur l intrvall ]0 ; + [ par f (x)= +ln(x) x t soit C la courb rprésntativ d la fonction f dans un rpèr du plan. La courb C st donné ci-dssous : Corrigé Amériqu du Nord 5 30 mai 03

6 C O 3. a. Étudions la limit d f n 0. On sait qu lim ln(x)= donc lim +ln(x)=. D autr part lim =+, alors par produit ds limits, lim x f (x)= ln x b. On sait qu lim x + x = 0, D autr part lim = 0, alors par produit ds limits x + x lim ln x x + x = 0, On a aussi lim = 0,t n ajoutant cs dux drnièrs limits, on obtint : x + x lim f (x)=0 x + c. lim f (x)= prouv qu l ax ds ordonnés st asymptot vrtical. f (x)=0 qu l ax ds abscisss st asymptot horizontal.à C lim x +. a. On not f la fonction dérivé d la fonction f sur l intrvall ]0 ; + [. f st dérivabl sur ]0 ; + [, f (x)= x x (+ln x) b. ln x > 0 ln x < x <. x 4 = x x ln x x 4 = ln(x) x 3. Pour tout x ]0 ; + [, x > 0 t f (x) st du sign d ln(x). c. Drssr l tablau ds variations d la fonction f. ( ) On a f = ( ) = = Corrigé Amériqu du Nord 6 30 mai 03

7 x 0 + f (x) + 0 f (x) 0 3. a. On a : f (x)=0 +ln x = 0 ln x= x = C qui prouv qu la courb C coup l ax ds abscisss n un uniqu point, l point d coordonnés ( ;0) b. D après l tablau ds variations d f t sachant qu f ( )=0. On n déduit qu f (x)>0sur l intrvall ] ; + [ t f (x)<0sur l intrvall ]0; [. 4. Pour tout ntir n, on not I n l air, xprimé n unités d airs, du domain délimité par l ax ds abscisss, la courb C t ls droits d équations rspctivs x = t x = n. a. On sait qu f > 0 sur ] ; + [, donc I n = f (x) dx [ ] Sur ; on a au vu ds variations d f : 0< f (x). Comm l intégration consrv l ordr t l sign, on n déduit : n 0 I d x = ( ) = t finalmnt : 0 I. On admt qu la fonction F, défini sur l intrvall ]0 ; + [ par F (x)= ln(x),st x un primitiv d la fonction f sur l intrvall ]0 ; + [. b. Calculons I n n fonction d n. On a : [ ] ln x n I n = = ln n ( ln( ) x 0 n = ln n ( +) n Et finalmnt : I n = ln n + = ln n n n n c. Étudions la limit d I n n+. lnn On a lim = 0, lim n + n n + n = 0 t lim n + n = 0 alors lim I n =. n + Graphiqumnt cla signifi qu l air du domain délimité par l ax ds abscisss, la courb C t ls droits d équations rspctivs x = t x = n tnd vrs quand n tnd vrs+. n Corrigé Amériqu du Nord 7 30 mai 03