Chapitre 4 Géométrie plane Activités

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1 Chapitre Géométrie plane Activités Activité 1 : Rappels sur la géométrie plane, les vecteurs et la colinéarité : Enoncé 11 : construction 1. Dans le parallélogramme ci-dessous : a. Tracer la somme AB AC avec pour origine le point A. b. Tracer la différence AB AC avec pour origine le point C.. Dans le repère ci-dessous placer le point B tel que AB u v w z Enoncé 1 : sur géogebra Dans le plan rapporté à un repère orthonormé,,, on considère les points ;1 et 1 ; où est un réel quelconque. Effectuer la construction sur geogebra en utilisant un curseur k 1- Placer le point pour, pour et enfin pour 8. - Quelles relation doit vérifier pour que soit le milieu de.est-ce possible? Si oui, donner les coordonnées de correspondantes. - a. Calculer les longueurs, et en fonction de. b. En déduire une équation d inconnue pour que les droites et soient perpendiculaires. c. En déduire les valeurs de pour que cette propriété soit vérifiée. Quelles sont les coordonnées de correspondantes. Rappels et colinéarité : Enoncé 1 : Soit un repère orthonormé ( O ; i, j) dans lequel on place le carré OCBA où A a pour coordonnées ( ; ), B( ; ) et C( ; ). 1. E le milieu de [BC] et F le point tel que CF CO ; montrer que les coordonnées de E sont ( ; ) et celles de F ;.. Calculer les longueurs AE, AF et FE ; montrer que le triangle AFE est rectangle isocèle. 1

2 . On admet que I a pour coordonnées (-1 ;1). Soit G le point d ordonnée négative tel que le triangle OFG soit rectangle isocèle de sommet F. Placer G sur la figure. Déterminer les coordonnées de G et prouver que les points A, I et G sont alignés. Enoncé 1 : démontrer la propriété suivante : Propriété : «condition de colinéarité» Deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si,. Enoncé 15 : application directe : Soient J 1;,K;,L8;6,B1; etc7; 1. Montrer que J, K et L sont alignés.. Montrer que les droites KLet BC sont parallèles. Enoncé 16 : petit problème C; dans un repère affine du plan. Le plan est rapporté à un repère O; i ; j. On considère les points A ;5 1. Soit R 17 ; 5. Montrer que les vecteurs AC. Soit H ;a et AR sont colinéaires. où a est un nombre réel. Déterminer a pour que les vecteurs OH et AB soient colinéaires. Enoncé 17 : un peu d algèbre x Dans une base i ; j on a u et v où x est un réel. x x 1 Déterminer x pour que les vecteurs u et v soient colinéaires. Enoncé 18 : Alignement ; B ; 1 et On considère un triangle ABC. 9 Soient E, F et H les points définis par EC AC ; AF AB et CH BC. 5 7 Montrer que les points E, F et H sont alignés.

3 Décomposition de vecteurs en fonction de deux vecteurs non colinéaires : Enoncé 19: on considère le triangle ABC 1- Placer le point M défini par. - Placer le point N défini par.. - Placer le point P défini par. - Démontrer que NCMP est un parallélogramme Enoncé 191 : base 1. Donner les coordonnées de w dans la base u ; v. Donner les coordonnées de v dans la base w ; u. Donner les coordonnées de u dans la base w ; v. Donner les coordonnées de A dans le repère affine B; w ; v 5. Donner les coordonnées de C dans le repère affine A; u ; v 6. Donner les coordonnées de B dans le repère affine C; w ; u

4 Enoncé 19: définir un repère Soit ABC un triangle et I le milieu de BC 1. Placer les points D et E définis par : BD BC BA et BE BA. En travaillant dans un repère affine adapté que vous définirez, montrer que I est le milieu de DE Enoncé 19 : problème Le plan est rapporté à un repère O; i ; j. On considère les points A ;5 C; 1. Calculer les coordonnées de milieu I de AC. Calculer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.. Calculer les coordonnées du point M tel que AM CM AB Que peut-on dire du point M? ; B ; 1 et Activité : Equation cartésienne de droite Enoncé 1 : problème Dans un triangle ABC, I est le milieu de BC et J celui de AI. La droite BJ coupe AC en K. On se propose de démontrer que 1 AK AC. 1. Déterminer les coordonnées des points A, C, I et J dans le repère affine B; BA, BC. On note x ; y les coordonnées de K.. a. A, K et C sont alignés. Etablir une relation entre x et y qui caractérise cet alignement. (Pensez à la colinéarité!) Vous venez d obtenir l équation d un objet du plan! Lequel? b. De même B, K et J sont alignés. Comme précédemment, établir une nouvelle relation entre x et y qui caractérise cet alignement. Vous venez d obtenir l équation d un objet du plan! Lequel? c. Déduire des deux questions précédentes les coordonnées de K et démontrer que finalement 1 AK AC.

5 Enoncé : forme générale d une équation de droite Le plan est rapporté à un repère O; i ; j 1. Soit D une droite passant par un point A ; a. Soit M x ; y. Caractériser le fait que M AB xa ; ya ; et. (On pourra s inspirer de l exercice ) b. En déduire qu une équation cartésienne de la droite xa y A et admettant d pour coefficient directeur. par une équation faisant intervenir x, y et les réels fixés D est de la forme ax by c où a; bet c sont des réels fixés et au moins un des deux réels aou b est non nul puis exprimer aet b en fonction de et.. Soit A un point du plan et d un vecteur non nul. Quel est l ensemble des points M du plan tels que AM. Soit maintenant l objet et d soient colinéaires? du plan d équation cartésienne ax by c où a; bet csont des réels fixés et au moins un des deux réels aou b est non nul. Supposons, sans nuire à la généralité du problème, que par exemple a soit non nul. (Le résultat qui va suivre serait le même en supposant b non nul) bc a. Montrer que le point A ;1 a appartient à. b. Soit un point M x ; y du plan. b Montrer que M appartient à si et seulement si AM et d sont colinéaires. a c. Déduire de la question. la nature de l objet. Synthèse de l exercice : Enoncé : application Le plan est rapporté à un repère O; i ; j On considère les droites d équation cartésienne respectives : D : x y 1 D : x 7y D : 5x y 5 1 D : y 1 ; ; ; D : x et 5

6 1. a. Pour chacune de ces droites donner un point par lequel elles passent et un vecteur directeur. D différente de celle donnée par l énoncé. b. Donner une équation cartésienne de 1 (L équation cartésienne d une droite donnée n est donc pas unique!) c. Représenter ces droites dans le repère ci-dessous :. Donner une équation cartésienne des droites suivantes en utilisant la colinéarité : 1 a. AB avec A; et B;7 b. CD avec C1; et D ; F1;5 E1; et d. GH avec G; et H7; e. passant par A et dirigée par u 5 c. EF avec. Donner une condition sur les réels a et b pour que les deux droites d équations cartésiennes respectives D : x 5y 1 D : ax by c soient parallèles. 6 et 7. Donner une équation cartésienne de la droite parallèle à D 6 et passant par I ;1 6

7 Enoncé : parallélisme Le plan est rapporté à un repère O; i ; j 1. Les droites x y et 1 : Compléter les pointillés : :1x16y1 sont-elles parallèles? Propriété : Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont. Déterminer la valeur du réel non nul a tel que les droites axa y : 1 soient parallèles. Enoncé 5 : encore du parallélisme Le plan est rapporté à un repère O; i ; j :5xy On considère trois droites d1 :xy1 ; d : x 5y Soient les points A1;7 et B1;1. La droite AB est-elle parallèle à l une de ces trois droites? Enoncé 6 : parallélisme ter Le plan est rapporté à un repère orthonormé O; i ; j et d : x On considère les points A;1 ; B1; ; C; 1 et D ; 1. Montrer que les droites AB et CD sont parallèles.. Montrer que O appartient à la droite CD.. Soit un point M x ; y. Déterminer les distances BM et CM en fonction de x et y. En déduire l équation de la droite, médiatrice de BC. Montrer que OA Rappel de seconde : Equation réduite de droite On rappelle que l on a vu en seconde qu une droite admet une équation dite réduite de la forme : y mx p où m est le coefficient directeur et p l ordonnée à l origine dans le cas où la droite n est pas verticale (non parallèle à l axe des ordonnées) x constante si la droite est verticale 7

8 Enoncé 7 : lien avec la seconde 1. D une forme à l autre Remplir le tableau suivant : Equation réduite Coefficient directeur (Si possible) Equation cartésienne (avec coefficients entiers) Vecteur directeur y x 1 5 y x 5 y x y x x y x y 1. a. Donner un vecteur directeur de la droite d équation réduite y mx p b. Donner un vecteur directeur de la droite d équation réduite x constante. Donner le coefficient directeur de la droite d équation cartésienne ax by c (ici b ) 1- à. 8