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1 CORRIGE DU DEVOIR Exercice 1 1 ) On obtient la figure suivante : 2 ) I est le milieu du segment [BD] et C est le milieu du segment [AD]. On en déduit, en utilisant le théorème réciproque du théorème de Thalès, que les droites (CI) et (AB) sont parallèles. (Remarque : on utilise un cas particulier du théorème réciproque du théorème de Thalès qui est souvent appelé «théorème des milieux») 3 ) Le triangle ABD est un triangle rectangle en A. Or, le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour centre le milieu de son hypoténuse. On en déduit que A, B et D appartiennent à un même cercle (C) de centre I, milieu de [BD] D après le théorème de Pythagore, BD² = AB² + AD² = 4² + 8² = 80. On en déduit que BD = = et donc que le rayon du cercle (C) est égal à 2 5 soit environ 4,5 (en cm). 4 ) IE = IA (car E est le symétrique de A par rapport à I) donc E appartient au cercle de centre I passant par A c est- à- dire au cercle (C). Le point I est le milieu de [AE] et le milieu de [BD]. Les milieux des diagonales du quadrilatère ABED sont confondus donc ABED est un parallélogramme. De plus, AE = BD car [AE] et [BD] sont deux diamètre du même cercle (C). Devoir CRPE Février 2011/ Master 1/CHALARD N 1/6

2 ABED est donc un rectangle puisque c est un parallélogramme ayant des diagonales de même longueur. (Remarque : on peut aussi démonter que ABED est un rectangle en disant que c est un parallélogramme ayant un angle droit) 5 ) Le point C est le milieu de [IJ] et le milieu de [AD]. Les milieux des diagonales du quadrilatère AIDJ sont confondus donc AIDJ est un parallélogramme. De plus, les droites (AD) et (IJ) sont perpendiculaires (car (CI) // (AB) et (AB) (AD)). AIDJ est donc un losange puisque c est un parallélogramme ayant des diagonales perpendiculaires. Exercice 2 1. Construire un segment! AC# " $. Tracer la médiatrice de! AC# : les diagonales d un carré sont perpendiculaires et se coupent " $ en leur milieu. Placer le point O milieu de! AC# " $. Tracer le cercle de centre O passant par A : les diagonales d un carré sont perpendiculaires et de même longueur. Les points d intersection entre le cercle et les diagonales sont les points B et D. 2. On trace le segment! EF# de 7 cm de longueur. " $ On trace la perpendiculaire à! EF# passant par E, puis on trace le cercle de centre F et de rayon 9 cm. " $ Le point d intersection avec la perpendiculaire donne le point H. Devoir CRPE Février 2011/ Master 1/CHALARD N 2/6

3 b) La construction n est réalisable que si la longueur de la diagonale est supérieure à la longueur d un des côtés de l angle droit. 3. Devoir CRPE Février 2011/ Master 1/CHALARD N 3/6

4 Exercice 3 1. Vitesse du robot A en mètre par minute : v A = 6km/h = 6 000m/h = 6000 m/ min = 100 m/min 60 Vitesse du robot B en mètre par minute : v B = 24km/h = m/h = m/min = 400 m/min Déplacements des deux robots : si on considère que A et B partent de par et d autre des 300 m, on peut considérer que A avance et B recule. Robots A d A = v A t = 100! t Robots B d B = v B t = ! t Le point d intersection est le point de coordonnées (0,6 ; 60), cela signifie que les deux robots se rencontrent au bout de 0,6 minutes, soit 9h Il faut que d A = d B soit 100t = t ssi 500t = 300 et t = = 3 = 0,6 min. 5 Devoir CRPE Février 2011/ Master 1/CHALARD N 4/6

5 Exercice 4 1. Si les trois prix sont identiques, choisissons x ce prix : P = 2x si on ne paie que deux pantalons " sur les trois, et P = 1! 25 % $ ' ( 3x = 0,75 ( 3x = 2,25x # 100& Or 2,25x > 2x donc le prix le plus intéressant est la promotion et non la carte de fidélité. 2. a) Exemple où la carte de fidélité est la plus intéressante : p 1 = 20, p 2 = 40, p 3 = 90. Le prix le moins cher est 20, donc la somme à payer est de 130. Si on choisit la carte de fidélité : 0,75! ( ) = 0,75! 150 = 105 : on choisit donc la carte de fidélité. b) p 1 = 32, p 2 = 35, p 3 = 55. La somme à payer lors de la promotion est de = 90. Avec la carte de fidélité : 0,75! ( ) = 0,75! 122 = 91,50 : on choisit donc la carte de fidélité. c) Il faut que ( p 1 + p 2 + p 3 )! 3 4 < p + p ssi p p p < p + p Devoir CRPE Février 2011/ Master 1/CHALARD N 5/6

6 ssi 3 ( ) 4 p < (p + p )! p + p p < (p + p ) 2 3 p 1 < 1 3 (p 2 + p 3 ) 3p 1 < p 2 + p 3 Il faut que la somme des prix les plus élevés soit supérieure à trois fois le prix du moins cher. Devoir CRPE Février 2011/ Master 1/CHALARD N 6/6

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