- Partie A - Échantillonnage -

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1 ÉCHANTILLONNAGE - ESTIMATION - Parti A - Échatilloag - L'objctif d ctt parti st d répodr à la problématiqu suivat : commt, à partir d'iformatios (coupl moy-écart-typ ou proportio) cous sur u populatio, put-o prévoir clls d'u échatillo? Nous distiguros dux cas : clui où l'o étudi u moy das u échatillo t clui où l'o étudi u proportio das u échatillo. A.1. Étud d la moy d'u échatillo O dispos d'u populatio sur laqull st défii u variabl aléatoir X dot o coaît l'spérac (ou la moy) µ t l'écart-typ. Populatio Moy µ cou. Ecart-typ cou. µ { Echatillos d taill µ 1 µ 2 µ 3 µ 4 µ 5... µ i O s'itérss aux échatillos d taill. Aurot-ils tous la mêm moy? No, crtais puvt êtr costitués d'élémts atypiqus t avoir u moy très différt d cll d la populatio (surtout si l'échatillo st d ptit taill). Notos X la variabl aléatoir qui, à chaqu échatillo d taill, associ sa moy ( X s'appll cor la distributio ds moys ds échatillos). Qu put-o dir d ctt variabl aléatoir X? Théorèm Ctral Limit - Vrsio 1 - (Vrsio faibl) Cotxt : variabl aléatoir X qui suit u loi ormal sur la populatio X N(µ ; ) O prélèv, au hasard, u échatillo (tirags avc rmis (1) ou assimilés) d taill d moy X. Alors la variabl aléatoir X suit égalmt u loi ormal : X N µ ; Attéuatio d la disprsio par l procssus d'échatilloag. (1) U tirag avc rmis st cor applé "tirag o xhaustif". Si o fait u tirag sas rmis (tirag xhaustif), o modifi la taill d la populatio au fur t à msur ds tirags, c qui compliqurait ls calculs (itrvtio d'u factur d'xhaustivité). Cci dit, pour ds grads populatios l tirag sas rmis s'assimil à u tirag avc rmis. Statistiqus ifértills - BTS 2èm aé - Pag 1 G. COSTANTINI

2 Démostratio : Notos E = {x 1 ; x 2 ;... ; x } u échatillo d élémts prélvés au hasard das la populatio. Pour tout i compris tr 1 t, otos X i la variabl aléatoir corrspodat à la valur du i-èm élémt x i d l'échatillo. Nous savos, par hypothès, qu : La moy X ds valurs d l'échatillo st : E(X i ) = µ t (X i ) = X1 + X X X = D'après ls propriétés d la loi ormal, ous savos qu'u combiaiso liérair d variabls aléatoir qui suivt la loi ormal st cor u variabl aléatoir qui suit la loi ormal. Comm chaqu variabl aléatoir X i suit ici la loi ormal N(µ, ), la variabl aléatoir moy X suit doc égalmt u loi ormal. Calculos ss paramètrs. D'après la propriété d liéarité d l'spérac : E( X1) + E( X2) EX ( ) X = E ( ) D'après ls propriétés d la variac : = µ = µ V( X1) + V( X2) V( X ) X = = 2 V( ) D'où : ( X ) = 2 2 = 2 Théorèm Ctral Limit - Vrsio 2 - (Vrsio fort) Cotxt : variabl aléatoir X qui suit u loi qulcoqu sur la populatio avc E(X) = µ t (X) =. O prélèv, au hasard, u échatillo (tirags avc rmis ou assimilés) d taill, avc 30, d moy X. Alors la variabl aléatoir X suit approximativmt u loi ormal : X N µ ; C théorèm dû aux mathématicis D Moivr t Laplac st d démostratio très difficil. Il st admis ici. Rmarqu : il faut pas cofodr l'écart-typ d la variabl aléatoir X (qui st défii sur l'smbl ds échatillos possibls d taill ) avc l'écart-typ d'u échatillo prélvé. L'écart-typ d l'échatillo prélvé 'itrvidra pas das os calculs das ctt parti. Pour évitr ctt cofusio, la quatité sra parfois applé "rrur typ". Exmpl : Ls statistiqus ds ots obtus mathématiqus au BAC STI Frac pour l'aé 2006 sot : Moy atioal : µ =10,44 Écart-typ : = 1,46 U class d BTS comport 35 élèvs 2006/2007 issus d'u BAC STI Statistiqus ifértills - BTS 2èm aé - Pag 2 G. COSTANTINI

3 Calculr la probabilité qu la moy d ctt class soit supériur à 10. Ici, ous coaissos pas la loi sur la populatio, mais l'ffctif d l'échatillo st supériur à 30. Nous allos doc pouvoir utilisr l T.C.L. 2. Notos X la variabl aléatoir qui, à tout échatillo d taill = 35, fait corrspodr sa moy. Alors : X N µ ; = N 1,46 10,44; 35 X 10,44 Posos T = aisi T N(0 ; 1). 1,46 35 Nous obtos alors par ctrag t réductio : X 10, ,44 P( X 10) = P 1,46 1, Π( t) t t 1 Π(t) = P(T 1,78) = P(T 1,78) = Π(1,78) Et par lctur dirct d la tabl d la loi ormal ctré-réduit : Π(1,78) = 0,9625 Rmarqu : P(T t) = P(T t) E fft : P(T t) = 1 P(T t) = 1 Π(t) = Π( t) = P(T t) Coclusio : il y a viro 96% d chac qu, das ctt class d BTS, la moy ds ots au baccalauréat d Mathématiqus soit supériur à 10. A.2. Étud d'u proportio das u échatillo Ctt fois-ci, o dispos d'u populatio sur laqull o étudi u caractèr (ou attribut) A dot o coaît la proportio p das la populatio. Populatio p 1 p Proportio p cou du caractèr A A A A { Echatillos d taill p 1 p 2 p 3 p 4 p 5... p i O s'itérss aux échatillos d taill. La proportio du caractèr A das ls échatillos sra-t-ll toujours la mêm? Evidmmt o, ctt proportio vari foctio d l'échatillo choisi. Notos F la variabl aléatoir qui, à chaqu échatillo d taill, associ sa proportio du caractèr A (F s'appll distributio ds fréquc ds échatillos). Qu put-o dir d ctt variabl aléatoir F? Statistiqus ifértills - BTS 2èm aé - Pag 3 G. COSTANTINI

4 Théorèm Cotxt : u populatio sur laqull o étudi u caractèr A répadu avc u fréquc p. O prélèv, au hasard, u échatillo (tirags avc rmis ou assimilés) d taill avc 30. O ot F la fréquc du caractèr A das l'échatillo. Alors la variabl aléatoir F suit approximativmt u loi ormal : F N p; p(1 p) Démostratio : Nous allos avoir ici u modèl biomial ou apparté dot o sait qu'il covrg vrs la loi ormal. Pour tout i compris tr 1 t, otos X i la variabl aléatoir défii par : 1 si l i-èm élémt d l'échatillo possèd l'attribut A X i = 0 sio La variabl aléatoir X i suit u loi d Broulli d paramètr p. La variabl aléatoir X = X 1 + X X st doc biomial d paramètrs t p : X B(, p) E coséquc : E(X) = p t (X) = p(1 p) La variabl aléatoir F = X corrpod aisi à la fréquc d l'attribut A das l'échatillo. D'après ls propriétés d l'spérac t d l'écart-typ : E(F) = E( X) = p t (F) = ( X) = p(1 p) Exmpl : U élctio a u liu t u cadidat a u 40 % ds voix. O prélèv u échatillo d 100 bulltis d vot. Qull st la probabilité qu, das l'échatillo, l cadidat ait tr 35 % t 45 % ds voix? Ici, ous avos = 100 t p = 0,4. La variabl aléatoir F corrspodat à la fréquc ds vots pour l cadidat das l'échatillo vérifi doc : F N 0,4; 0,4 0,6 100 = N 0,4; 0,24 10 Posos T = F 0,4 0,24 10 aisi T N(0 ; 1). Nous obtos alors par ctrag t réductio : P(0,35 F 0,45) = P( 1,02 T 1,02) = 2Π(1,02) 1 Et par lctur dirct d la tabl d la loi ormal ctré-réduit Π(1,02) = 0,8461. D'où : P(0,35 F 0,45) = 0,6922 Il y a doc viro 69 % d chac qu, das u échatillo d taill = 100, l cadidat ait tr 35 % t 45 % ds voix. Statistiqus ifértills - BTS 2èm aé - Pag 4 G. COSTANTINI

5 E aalysat l'xrcic ci-dssus, o costat qu l'o dispos ds iformatios sur la populatio (ici, l'smbl ds vots) parc qu l'élctio a déjà u liu. O déduit ds iformatios sur l'échatillo. Mais, das la pratiqu, c'st souvt l phéomè réciproqu qu ous étudiros : ls élctios 'ot pas cor u liu t o voudrait rtrouvr ls iformatios sur la populatio grâc u sodag réalisé sur u échatillo. D'où la duxièm parti d c documt cosacré à l'stimatio. - Parti B - Estimatio - L'objctif d ctt parti st d répodr à la problématiqu suivat : commt, à partir d'iformatios (coupl moy/écart-typ ou proportio) calculés sur u échatillo, rtrouvr ou plutôt stimr clls d'u populatio tièr? L'stimatio st l problèm réciproqu d l'échatilloag. (Mais ous auros bsoi ds résultats établis sur la théori d l'échatilloag pour passr à la phas stimativ). Nous distiguros dux cas : clui où l'o chrch à stimr la moy µ d'u variabl aléatoir défii sur u populatio t clui où l'o chrch à stimr la proportio d'idividus p ayat tl caractèr das la populatio. ESTIMATION d'u MOYENNE Populatio ESTIMATION d'u PROPORTION Populatio Moy : µ icou Ecart-typ : cou ou icou Proportio : p icou µ cou cou p cou Echatillo d taill Echatillo d taill B.1. Estimatio d'u moy B.1.1. Estimatio poctull Cotxt : o cosidèr u variabl aléatoir X sur u populatio d moy (ou spérac) µ icou t d'écart-typ icou (ou cou). O suppos qu l'o a prélvé u échatillo d taill (tirag avc rmis ou assimilé) sur lqul o a calculé la moy µ t l'écart-typ. U stimatio poctull μ d la moy µ d la populatio st : μ = µ U stimatio poctull d l'écart-typ d la populatio st : = 1 Statistiqus ifértills - BTS 2èm aé - Pag 5 G. COSTANTINI

6 L cofficit 1 s'appll corrctio d biais. Lorsqu la taill d l'échatillo st assz grad ( pratiqu 30), c cofficit st très voisi d 1, si bi qu, das c cas, o put stimr. Exmpl : U uivrsité comport 1500 étudiats. O msur la taill d 20 d'tr ux. La moy µ t l'écart-typ calculés à partir d ct échatillo sot : µ = 176 cm t = 6 cm Nous pouvos doc stimr ls paramètrs d la populatio : μ = 176 cm t = ,16 cm 19 Rmarqu : Nous 'avos fait qu'u stimatio, il st bi sûr impossibl d rtrouvr ls vrais caractéristiqus µ t d la populatio. L'stimatio poctull prmt surtout d disposr d'u valur d référc pour poursuivr/affir ls calculs. O souhaitrait otammt pouvoir fair u stimatio par itrvall, cotrôlat l risqu pris. B.1.2. Estimatio par itrvall d cofiac L cotxt st l mêm qu l précédt, sauf qu ous allos raisor dux tmps, u phas a priori (ou prévisioll) das lqull o suppos qu l'échatillo 'st pas cor prélvé t u phas a postriori das laqull o suppos cou la moy µ t l'écart-typ d l'échatillo t doc la moy stimé μ t l'écart-typ stimé d la populatio. - PHASE A PRIORI - Mis plac du modèl prévisiol - Nous avos vu, das la théori sur l'échatilloag, qu si X st la variabl aléatoir corrspodat à la moy d'u échatillo d taill pris au hasard, alors l Théorèm Ctral Limit prmt d'affirmr qu X suit approximativmt u loi ormal : X N µ ; Nous allos chrchr u itrvall qui cotit µ avc u cofiac arbitrair d 95% (cla pourrait aussi êtr 99% ou u autr cofficit d cofiac). Nous chrchos doc u rayo r tl qu : Probabilité qu la moy µ d la populatio tomb das u itrvall du typ [ X r ; X + r] P( X r µ X + r) = 0,95 µ X X r X + r Statistiqus ifértills - BTS 2èm aé - Pag 6 G. COSTANTINI

7 Ctt dispositio ds iégalités 'st pas pratiqu mais il y a u corrspodac rmarquabl tr dux évémts qui va ous facilitr ls calculs : Rtrachos X t µ das chaqu mmbr : Multiplios par 1 : Rmttos ls iégalités das l'ordr croissat : Nous somms aisi ramés à calculr : X r µ X + r µ r X r µ r + µ X µ r µ r X r + µ Ctt propriété découl d la symétri d la valur absolu : X Y r Cla sigifi qu l'écart tr X t Y st ifériur à r, c qui s'écrit idifférmmt : Ou cor : r X Y r Y r X Y + r r Y X r X r Y X + r Probabilité qu la moy X d l'échatillo tomb das u itrvall ctré µ. µ P(µ r X µ + r) = 0,95 X µ Das la pratiqu, ous partiros d ctt écritur pour détrmir u itrvall d cofiac. µ r µ + r O sait qu la variabl aléatoir T = X µ X µ Nous obtos doc, par ctrag t réductio : = ( ) suit la loi ormal ctré-réduit N(0 ; 1). µ r µ X µ µ+ r µ P = 0,95 O costat ici qu l fait d pas coaîtr µ 'st pas gêat, à c stad. r r P T = 0,95 r r P T = 0,95 2Π r 1 = 0,95 Π r = 0,975 Rappl : si T N(0 ; 1) alors : P( α T α) = 2Π(α) 1 E fft : P( α T α) = Π(α) Π( α) = Π(α) (1 Π(α)) = 2Π(α) 1 Π(t) = 0,975 où t = r Nous chrchos doc, par lctur ivrs d la tabl d la loi ormal ctré réduit u bor t tll qu : Π(t) = 0,975 La bor t = 1,96 covit. La bor t dépd du cofficit d cofiac choisi. Avc u cofficit d cofiac d 99%, ous aurios obtu : 2Π r 1 = 0,99 Statistiqus ifértills - BTS 2èm aé - Pag 7 G. COSTANTINI

8 Π(t) = 0,995 t = 2,575 Par la suit, ous otros t l rél tl qu 2Π(t) 1 = C où C st l dgré d cofiac choisi. Aisi, otr rél r rchrché st tl qu : r = t L rayo r d l'itrvall chrché st : r = t - PHASE A POSTERIORI - Utilisatio ds valurs stimés poctullmt - Nous supposos maitat qu l'échatillo a été tiré, ous obtos doc u rpréstatio µ d la variabl aléatoir X : µ µ µ r µ + r Nous pouvos affirmr qu l'itrvall obtu pour ct échatillo µ t ; µ + t fait parti d'u famill das laqull 95 % cotit la vrai moy µ d la populatio. O l'appll itrvall d cofiac à 95 % (ou autr slo l cofficit d cofiac décidé préalablmt). Pour calculr ls bors d ct itrvall, dux cas d figur s préstt slo qu ous coaissos ou pas l'écart-typ d la populatio. S'il st cou, il 'y a ri à fair : IC = µ t ; µ + t Si l'écart-typ d la populatio 'st pas cou, o l rmplac par so stimatio poctull = 1. Das c cas, ous obtos : r = t = t 1 Nous pouvos doc stimr avc u cofiac d 95 % (ou 99 % slo l cas) qu la moy µ d la populatio appartit à l'itrvall : 1 IC = µ t ; µ + t 1 1 O rtidra pas ctt formul. Das la pratiqu, o rfait ls calculs. Rmarqus : L'itrvall d cofiac st ctré la valur µ car c'st la sul valur d référc qu ous disposos. L ctr d l'itrvall d cofiac (à savoir µ ) dépd d l'échatillo choisi (puisqu µ dépd). So rayo dépd aussi lorsqu'o coaît pas l'écart-typ d la populatio. La vrai valur µ d la moy d la populatio put pas appartir à l'itrvall d cofiac. L rayo d l'itrvall d cofiac (à savoir la quatité r = t ) dépd du dgré d cofiac C choisi. Plus l dgré d cofiac C st proch d 100%, t plus la bor t sra élvé t doc l rayo grad. Statistiqus ifértills - BTS 2èm aé - Pag 8 G. COSTANTINI

9 Illustratio : µ Populatio Echatillo 1 Echatillo 2 Echatillo 3 μ = µ 99% μ = µ 95% μ = µ 99% X U itrvall d cofiac cotit pas forcémt la moy µ d la populatio. U itrvall d cofiac à 95 % st plus ptit qu'u itrvall d cofiac à 99%. Il risqu mois d cotir la valur moy µ. Exmpl : U uivrsité comport 1500 étudiats. O msur la taill d 20 d'tr ux. La moy µ t l'écart-typ calculés à partir d ct échatillo sot : µ = 176 cm t = 6 cm Nous avos déjà stimé poctullmt ls paramètrs d la populatio : μ = 176 cm t = ,16 cm 19 Détrmios maitat u stimatio d µ par itrvall d cofiac à 95% (ou au risqu d 5 %). Notos X la variabl aléatoir corrspodat à la moy d'u échatillo d taill 20 pris au hasard. Nous savos qu : X N µ ; = N ; µ 20 O calcul u rayo r tl qu : P(µ r X µ + r) = 0,95 O pos T = X r, aisi T suit la loi ormal ctré-réduit N(0 ; 1). 20 Nous avos doc : r 20 r 20 P T = 0,95 r 2Π r Π 20 1 = 0,95 20 = 0,975 r 20 Π(t) = 0,975 où t = Nous chrchos doc, par lctur ivrs d la tabl d la loi ormal ctré réduit u bor t tll qu : Π(t) = 0,975 La bor t = 1,96 covit. Aisi, otr rél r rchrché st tl qu : r 20 = 1,96 Statistiqus ifértills - BTS 2èm aé - Pag 9 G. COSTANTINI

10 r = 1,96 20 Mais u fois l'échatillo tiré, ous avos obtu u écart-typ stimé 6,16 cm. D'où : r 2,7 La réalisatio d l'itrvall d cofiac à 95% sur ct échatillo st : IC = [176 2,7 ; ,7] IC = [173,3 ; 178,7] Nous pouvos doc stimr, avc u cofiac d 95 % qu la taill moy d la populatio st compris tr 173,3 cm t 178,7 cm. B.2. Estimatio d'u proportio B.2.1. Estimatio poctull Cotxt : o cosidèr u caractèr (ou attribut) A sur u populatio dot la proportio p st icou. O suppos qu l'o a prélvé u échatillo d taill (tirag avc rmis ou assimilé) sur lqul o a calculé la proportio p d'idividus ayat l caractèr A. Notos F la variabl aléatoir corrspodat à la proportio du caractèr A das u échatillo d taill pris au hasard. O rappll qu'alors F suit approximativmt u loi ormal : F N ( p ; p ) où p = p(1 p) U stimatio poctull p d la proportio p d l'attribut A das la populatio st : p = p U stimatio poctull p d l'écart-typ p st slo l cas : 1 p(1 p) = p (1 p ) 1 si 30 Corrctio d biais. p (1 p ) si > 30 Cs stimatios poctulls d l'écart-typ sot pas utils das l'immédiat. Ell srvirot pour la 1 4 si statistici pssimist détrmiatio d'u itrvall d cofiac d la proportio. Exmpl : À qulqus jours d'u élctio, u cadidat fait ffctur u sodag. Sur ls 150 prsos itrrogés, 45 s dist prêts à votr pour lui aux prochais élctios. La proportio d'idividus prêt à votr pour c cadidat das l'échatillo st ici d p = = 0,3. O stim doc qu'il st d mêm das la populatio (commt pourrait-o fair autrmt?) : Quad à l'idicatio p, o put ici l'stimr par : p = p = 0,3 p = p(1 p) = 0,3 0, ,037 Statistiqus ifértills - BTS 2èm aé - Pag 10 G. COSTANTINI

11 O voudrait allr plus loi t, au liu d'u simpl proportio, calculr u itrvall cotat, avc u cofiac arbitrair fixé au départ, la proportio p d'idividus prêts à votr pour c cadidat. B.2.2. Estimatio par itrvall d cofiac L cotxt st l mêm qu l précédt. Nous avos vu, das la théori sur l'échatilloag, qu si F st la variabl aléatoir corrspodat à la proportio d'u caractèr das u échatillo d taill pris au hasard, alors F suit approximativmt u loi ormal : F N ( p ; p ) où p = p(1 p) Nous avos déjà rmarqué qu l fait qu p soit icou 'st pas gêat das ls calculs a priori. L problèm ici, c'st qu ous coaissos pas l'écart-typ par so stimatio poctull (qui st pas proposé ou cor 1 4 p (1 p ) 1 p(1 p). Nous l rmplaçros, das la phas a postriori, gééral ou si ous voulos u hypothès pssimist). p (1 p ) si la corrctio d biais 'st Chrchos u itrvall qui cotit p avc u cofiac arbitrair d 90 % (cla pourrait êtr u autr cofficit d cofiac). Nous chrchos doc u rayo r tl qu : P(F r p F + r) = 0,90 Nous avos déjà vu qu ctt probabilité pouvait s'écrir d maièr plus pratiqu : P(p r F p + r) = 0,90 O sait qu la variabl aléatoir T = F p p suit la loi ormal ctré réduit N(0 ; 1). Nous obtos doc, par ctrag t réductio : p r p F p p+ r p P = 0,90 p p p r r P T p = 0,90 p r 2Π 1 = 0,90 p r Π = 0,95 p O chrch u bor t tll qu : Π(t) = 0,95 avc t = r p Par lctur ivrs d la tabl d la loi ormal ctré réduit N(0 ; 1) : t = 1,645 C qui ous prmt d calculr r : r = t p Supposos maitat l'échatillo prélvé. Nous avos doc u stimatio potull d p t p. Aisi, la réalisatio d l'itrvall d cofiac das l'échatillo st : Statistiqus ifértills - BTS 2èm aé - Pag 11 G. COSTANTINI

12 IC = Rmarqus : p (1 p ) (1 ) ; p p t p p + t 1 1 Si o 'ffctu pas la corrctio d biais, l'itrvall d cofiac st : O rtidra pas ctt formul. Das la pratiqu, o rfait ls calculs. IC = p(1 p) p(1 p) p t ; p + t O put égalmt s placr das u hypothès pssimist choisissat u écart-typ maximal. Nous savos qu la parabol d'équatio y = x(1 x) admt u maximum égal à Aisi l'écart-typ maximal st 1 4. Il a, d plus, l'avatag d'êtr idépdat d p. Das c cas, la réalisatio d l'itrvall d cofiac das l'échatillo st : IC = 1 1 p t ; p + t 4 4 Exmpl : A qulqus jours d'u élctio, u cadidat fait fair u sodag. Sur ls 150 prsos itrrogés, 45 s dist prêts à votr pour lui aux prochais élctios. La proportio d'idividus prêt à votr pour c cadidat das l'échatillo st ici d p = = 0,3. O a déjà stimé poctullmt : p = p = 0,3 t p 0,037 Détrmios maitat u stimatio d p par itrvall d cofiac à 80%. Notos F la variabl aléatoir corrspodat à la proportio d'idividus prêts à votr pour c cadidat das u échatillo d taill 150 pris au hasard. Nous avos vu qu'approximativmt : F N ( p ; p ) où p = p(1 p) O chrch u rayo r tl qu : P(p r F p + r) = 0,8 r 2Π 1 = 0,8 p r Π = 0,9 p Par lctur ivrs d la tabl d la loi ormal ctré-réduit, o chrch u bor t tll qu : La valur t 1,28 covit doc : Π(t) = 0,9 avc t = r = 1,28 p Supposos maitat l'échatillo prélvé. U stimatio poctull d p st p 0,037. D'où : r 0,047 r p Statistiqus ifértills - BTS 2èm aé - Pag 12 G. COSTANTINI

13 La réalisatio d l'itrvall d cofiac das ct échatillo st alors IC = [0,3 0,047 ; 0,3 + 0,047] IC = [0,253 ; 0,347] IC % = [25,3 ; 34,7] Nous pouvos stimr, avc u cofiac d 80 %, qu la proportio d'idividus das la populatio prêts à votr pour l cadidat qustio st compris tr 25,3 % t 34,7 %. Exrcic : U usi fabriqu ds câbls. U câbl st cosidéré comm coform si sa résistac à la ruptur X st supériur à 3 tos. L'igéiur rsposabl d la productio voudrait coaîtr, moy, la résistac à la ruptur ds câbls fabriqués. Il 'st, bi sûr, pas qustio d fair l tst sur tout la productio (l'usi prdrait tout sa productio!). U tchici prélèv doc u échatillo d 100 câbls das la productio. Notos X la variabl aléatoir corrspodat à la forc à xrcr sur l câbl pour l rompr. L tchici obtit ls résultats suivats : E( X ) = 3,5 tos ( X ) = 0,4 to Proportio d câbls dot la résistac st supériur à 3 tos : p = 0,85 1. a. Dor u stimatio poctull d la moy µ t d l'écart-typ d la variabl aléatoir X das la productio. b. Détrmir u stimatio par itrvall d cofiac à 95 % d la moy µ d X. 2. a. Dor u stimatio poctull d la proportio p d câbls coforms das la productio. b. Détrmir u stimatio par itrvall d cofiac à 90 % d ctt proportio. Statistiqus ifértills - BTS 2èm aé - Pag 13 G. COSTANTINI

14 - RÉSUMÉ - - Echatilloag - MOYENNE Echatillos d taill d moy X X N µ ; où µ t sot la moy t l'écart-typ das la populatio. PROPORTION Echatillos d taill avc u fréquc F p(1 p) F N p; où p st la proportio das la populatio. - Estimatio - MOYENNE Populatio d moy µ icou t d'écart-typ. Echatillo d taill cou d moy µ t d'écart-typ. PROPORTION Proportio icou p das u populatio. Echatillo d taill cou avc u proportio p. U stimatio poctull d µ st µ. U stimatio poctull d p st p. U stimatio poctull d st tout simplmt sio ( > 30). 1 si 30 ou U stimatio poctull d p st p(1 p) 30 ou sio ( > 30). p (1 p ) 1 si Pour stimr µ par itrvall avc u cofiac C (par x 95%), o chrch u rayo r tl qu : P(µ r X µ + r) = C où X N µ ; O xprim r foctio d t o rmplac par sa valur cou ou so stimatio poctull. IC = [µ r ; µ + r] Pour stimr p par itrvall avc u cofiac C (par x 95%), o chrch u rayo r tl qu : P(p r F p + r) = C où F N ( p ; p ) avc p = p(1 p) O xprim r foctio d p t o rmplac p par so stimatio poctull. IC = [p r ; p + r] Cofficit d cofiac 80 % 90 % 95 % 99 % Valur d Π(t) 0,9 0,95 0,975 0,995 Bor t 1,28 1,645 1,96 2,575 Statistiqus ifértills - BTS 2èm aé - Pag 14 G. COSTANTINI