Compléments d intégration

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1 ISA BTP, anné ANNÉE UNIVERSITAIRE 1-11 CONTRÔLE CONTINU Complémnts d intégration uré : 1h3. Ls calculatrics sont autorisés. Tous ls xrcics sont indépndants. Il sra tnu compt d la rédaction t d la présntation. Exrcic 1 On not l domain ci contr, délimité par l ax (Ox, ls droits d équations y x t y x, ls parabols d équations y 6x x t y 6x x. 1. Montrr qu l air du domain st A( étrminr ls coordonnés du cntr d gravité G d. Exrcic Pour tout n N, on not L but d ct xrcic st d détrminr I Pour cla, on not, pour tout n N I n x dx. lim I n (noté I n + + x dx. n {(x, y R / x +y n, x, y } t {(x, y R / x n, y n}. 1

2 1. Calculr t montrr qu J n n lim J n π n + 4. dxdy. Montrr qu dxdy In. 3. Montrr (par un argumnt géométriqu qu J n 4. En déduir la valur d I. dxdy J n. Exrcic 3 On appll cycloïd la courb décrit par l point d un rou d vélo qui avanc. Un paramétrisation d un cycloïd corrspondant à un tour d rou d rayon a > st (C a : { x(t a(t sin t y(t a(1 cos t, t [, π]. 1. Calculr la longuur d la cycloïd C a défini ci-dssus.. On considèr l champs d forc F : R R (x, y (x, y Calculr l travail d F sur C a.

3 Exrcic 1 : CORRECTION 1. ON commnc par détrminr ls points d intrsction ds parabols avc ls droits d équations y ±x. On trouv P 1 (, t P (,. autr part, l domain étant symétriqu par rapport à l ax (Oy, on s contnt d msurr l air d la parti d droit, qu l on découp n dux partis distincts : 1 {(x, y R / x, y x} t {(x, y R / x 6, y 6x x } Ainsi : t A( 1 ds 1 A( ds ( x dy dx ( 6x x dy dx xdx. 6x x dx 8 3 Ainsi, A( (A( 1 + A( L domain étant symétriqu par rapport à l ax (Oy, l cntr d gravité d st sur l ax (Oy. onc x. autr part yds y ds Or d après la qustion précédnt, ds 91 3 t ( 6x x yds ydy dx + onc t G (, ( x ydy dx + ( 6x x dx ( x ydy dx ( 6x x ydy dx x dx + y x dx + (6x x dx 3

4 Exrcic : 1. n st l quart d crcl d rayon n présnt dans l prmir quadrant du plan. Pour calculr J n, on pass donc n coordonnés polairs (r, θ. Pour ffctur l calcul, on doit xprimr n n fonction ds coordonnés polairs, détrminr la nouvll fonction à intégrr, détrminr l nouvl élémnt d air. Or { n (r, θ R / r n, θ π }. Puisqu x + y r, on a f(x, y x y r f(r, θ. En coordonnés polairs, on a ds rdrdθ (qu l on rtrouv, l cas échéant, n calculant l détrminant d la jacobinn. Ainsi, J n π n n π 4 (1 n dxdy r r dr π π ( [ 1 r ] n r rdr dθ En passant à la limit n + dans la drnièr formul, on obtint lim + J n π 4.. après la définition d, on a dxdy ( ( x y dx dy x. y dx dy Autrmnt dit, la fonction qu l on intègr st à variabls séparés. Puisqu ls quatr borns d l intégral sont constants, on put séparr ls intégrals : ( ( dxdy x dx y dy In. 3. Ls trois intégrals J n, dxdy t J n portnt touts trois sur la mêm fonction f : (x, y x y. Or f étant strictmnt positiv, chaqu intégral rprésnt la msur d un volum d l spac. Enfin, l fait qu ls trois domains d intégration vérifint n n assur qu cs trois volums sont inclus ls uns dans ls autrs. On obtint donc la chaîn d inégalités chrché. 4

5 4. après l théorèm ds gndarms, puisqu lim J n lim J n π + + 4, on a dxdy In π 4. où I π 4 t I + x dx π. Exrcic 3 : 1. Par définition, L(C a dx + dy C a π x (t + y (t dt. Or { x(t at a sin t x (t a a cos t y(t a a cos t y (t a sin t où L(C a π a (a a cos t + (a sin t dt π 1 cos tdt Il rst à calculr ctt intégral simpl à l aid d la formul 1 cos t sin t : π L(C a a sin t [ dt a cos t ] π 8a.. Par définition, on a W Ca ( F F. dl xdx ydy C a C a π (x(t.x (t y(ty (tdt [ 1 x(t 1 ] π y(t 1 ( x(π y(π 1 (aπ a π.