GÉOMÉTRIE L ESPACE. 1 Produit scalaire. 1 ABC DEFG H est un cube d arête a.
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- Thomas Brisson
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1 xercices 9 ÉOMÉTRI NS L SP Produit scalaire est un cube d arête a. alculer les produits scalaires suivants : a. b. c. d. e. f. g. h.. a Soit M un point de l espace. xprimer M #. M en focntion de M I et I. b éterminer l ensemble des points M de l espace M. M = 7. a xprimer M + M en fonction de M I et I. b éterminer l ensemble des points M de l espace M + M = 8. a émontrer que : M M = I # M. b éterminer l ensemble des points M de l espace M M = 4 6 On considère un cube d arête a. Soit I le point d intersection de la droite et du plan. ans l espace muni d un repère orthonormé, on considère les vecteurs : # u et 4 5 # v 0. alculer # u. # v, # u et # v.. éterminer une valeur approchée à 0, degré près de l angle géométrique des vecteurs # u et # v. I On considère le cube de l exercice. émontrer que la droite est orthogonale au plan. 4 Soit un tétraèdre régulier.. n utilisant le milieu I de [ ], démontrer que les droites et sont orthogonales.. Soit le projeté orthogonal de sur le plan. a alculer #.. b émontrer que est l orthocentre du triangle. 5 Soient et deux points de l espace tels que = 6 et soit I le milieu du segment [].. alculer, en fonction de a :... n déduire que les vecteurs. et sont orthogonaux. On admet de même que les vecteurs et sont orthogonaux.. n déduire que I est le projeté orthogonal de sur le plan. 4. a Justifier que et sont orthogonale puis que et I sont orthogonales. b n déduire que et I sont orthogonales. c Établir ainsi que et I sont orthogonales. 5. Que représente le point I pour le triangle? ÉOMÉTRI NS L SP 7
2 arycentres 7 On considère quatre points de l espace distincts deux à deux.. émontrer que est un parallélogramme si et seulement si = ar{,;, ;,}.. ans toute la suite, on suppose que est un parallélogramme. a éterminer l ensemble des points M de l espace M # M + M = b Soient, et les images respectives de, et par la translation de vecteur. éterminer l ensemble des points M de l espace M # M + M = 8 S est une pyramide dont la base est un carré de centre O. Les points I, J, K et L sont les milieux respectifs des segments [S ], [S], [S ] et [S]. On note le barycentre des points pondérés S,4,,,,,,,,. émontrer que les droites I K, JL et SO sont concourantes en. 9 ans un tétraèdre, on considère les points, et = 5, = et = 5 5. aire une figure.. xprimer : comme barycentre des points et. comme barycentre des points et. comme barycentre des points et.. Soit M un point de l espace. On appelle # v le vecteur défini par : # v = M 5 M + M a émontrer que pour tout point M de l espace, # v est un vecteur constant indépendant de M. b n déduire que et sont parallèles. c émontrer que et sont sécantes. 0 On considère une pyramide de sommet S et de base carrée. Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou si elle est fausse, en justifiant la réponse.. Le point tel que : + + = # 0 appartient au segment [ ].. Le point tel que : + + = # 0 est situé à l intérieur du triangle.. Le point K tel que : K = # + + appartient à la droite. 4. Le point L tel que : L = + S appartient au plan S. ans un tétraèdre, on considère le milieu I du segment [ ]. Soit m un nombre réel.. a éterminer l ensemble des réels m pour lesquels le barycentre m des points pondérés,,, et I,m existe. b À l aide d une figure, conjecturer le lieu des points m lorsque m décrit. c émontrer la conjecture précédente.. a Justifier que le barycentre m des points pondérés,m,, m et,m existe pour tout réel m. b À l aide d une figure, conjecturer le lieu des points m lorsque m décrit. c émontrer la conjecture précédente. roites et plans est un repère orthonormal de l espace. Soit la droite dont une représentation paramétrique est : x = t y = t t R z = t + 5 Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou si elle est fausse, en justifiant la réponse.. passe par le point ; ;.. Le point ;; appartient à.. Le vecteur # v est un vecteur directeur de. 4. coupe l axe des abscisses. 5. est parallèle à l axe des abscisses. 6. coupe le plan xoz. 7. a pour représentation paramétrique : x = 4k y = 6k k R z = 4k + 8 XRIS 9
3 On considère les points : 0;;, 5;6;0 et ;4;. a éterminer une représentation paramétrique de la droite. b n déduire que la droite coupe l axe des cotes en un point dont on déterminera les coordonnées.. Soit la droite passant par et paralléle à. a éterminer une représentation paramétrique de. b n déduire que ne coupe aucun axe de coordonnées.. L affirmation suivante est-elle vraie ou fausse? La doite a pour représentation paramétrique : x = t y = t + t R z = t Soit P le plan d équation :. éterminer : x + y z + 9 = 0 a trois points de P. b deux vecteurs directeurs de P. c deux vecteurs normaux à P. d le point d intersection de P et de l axe des cotes.. onstruire P en utilisant les traces de P sur les trois plans de coordonnées. 5 On considère les points : ;; 4 et ;5;0. éterminer une équation cartésienne du plan P passant par et perpendiculaire à la droite.. éterminer une équation cartésienne du plan P passant par O 0;0;0 et parallèle au plan P. 6 On considère les points : ;0;, ;8; 6 et 5;4;5. éterminer une équation cartésienne du plan P passant par et perpendiculaire à la droite.. éterminer une équation cartésienne du plan P passant par et parallèle à P.. éterminer une équation cartésienne du plan. b n déduire une équation cartésienne du plan.. a émontrer que O est barycentre des points, et affectés de coefficients que l on déterminera. b n déduire que O est à l intérieur du triangle. 4. alculer le volume du tétraèdre S. 8 est un cube d arête. L espace est muni du repère orthonormé direct ;,,.. a Prouver que est un vecteur normal au plan. b éterminer une équation cartésienne du plan. c éterminer la distance du point au plan.. a éterminer une représentation paramétrique de la droite. b n déduire les coordonnées du projeté orthogonal I de sur le plan. c Retrouver les résultats de la question.c. 9 éterminer l intersection du plan P et de la droite d dans les cas suivants :. P : x + y z 5 = 0 ; d : droite passsant par ;0; et de vecteur directeur # u.. P : x y + z + = 0 ; d : droite avec ;; 5 et ;7;.. P : x + y z = 0 ; x = t d : y = 5 t t R z = + t 7 On considère les points : ;0;, ;4;, ; 4; et S 4;0;4. émontrer que le triangle est un triangle rectangle en.. a émontrer que le vecteur SO est orthogonal au vecteur et au vecteur. 0 On considère les points : ; ;0, 0;; et ; ; et les vecteurs : # u 0 et # v 0 éterminer l intersection de la droite et du plan P passant par et de vecteurs directeurs # u et # v. ÉOMÉTRI NS L SP 9
4 On considère les plans P et P d équations x y + 5z 6 = 0 et x y + 5z 0 = 0 éterminer l intersection de P et P. On considère les plans P et P d équations x + y + z = 0 et x + y z = 0 éterminer l intersection de P et P. On considère les plans P, P et P d équations x + y + z = 4, x + y z = et x + 4y + z = 5 éterminer l intersection de ces trois plans. 4 éterminer l intersection des droites et : x = t + x = t : y = t t R : y = t t R z = + t z = + 4t 5 éterminer l intersection des droites et : x = + t x = + t : y = t t R : y = t t R z = + t z = 5 + t 4 nnales de bac 6 rance, septembre 00 Soit P le plan d équation : x + y z = 0 et la droite dont une représentation paramétrique est : x = t + y = t t R z = t +. a Le point ;; appartient-il au plan P? Justifier. b émontrer que la droite est incluse dans le plan P.. Soit Q le plan passant par le point et orthogonal à la droite. a éterminer une équation cartésienne du plan Q. b alculer les coordonnées du point I, point d intersection du plan Q et de la droite. c Montrer que I =.. Soit t un nombre réel et M t le point de la droite de coordonnées t + ;t ; t +. a Vérifier que pour tout nombre réel t : M t = 6t t + 9 b Montrer que I est la valeur minimale de M t lorsque t décrit l ensemble des nombres réels. 7 mérique du nord, juin 00 Les points, et ont pour coordonnées respectives : ;;4 ; 6;5 4;0;. a émontrer que les points, et ne sont pas alignés. b émontrer que le vecteur # n est un vecteur normal au plan. c éterminer une équation du plan.. a éterminer une représentation paramétrique de la droite passant par le point O et orthogonale au plan. b éterminer les coordonnées du point O projeté orthogonal du point O sur le plan.. On désigne par le projeté orthogonal du point O sur La droite. Soit t le réel tel que # = t. O a émontrer que t =. b n déduire le réel t et les coordonnées du point. 8 Polynésie, juin 00 ans l espace muni d un repère O ; # ı, # j, # k orthonormal, on considère : les points ;; et ;;0 ; le plan P passant par le point et admettant le vecteur pour vecteur normal ; le plan Q d équation : x y + z + 4 = 0 ; la sphère S de centre et de rayon.. Montrer qu une équation cartésienne du plan P est : x + y z 8 = 0. éterminer une équation de la sphère S.. a alculer la distance du point au plan Q. n déduire que le plan Q est tangent à la sphère S. b Le plan P est-il tangent à la sphère S? 4. On admet que le projeté orthogonal de sur le plan Q, noté, a pour coordonnées 0;;. a Prouver que les plans P et Q sont sécants. b Soit la droite d intersection des plans P et Q. Montrer qu une représentation paramé- 40 XRIS 9
5 trique de la droite est : x = t y = 5t z = 4 t t R c Vérifier que le point n appartient pas à la droite. d On appelle R le plan défini par le point et la droite. L affirmation suivante est-elle vraie ou fausse? «Tout point du plan R est équidistant des points et». Justifier votre réponse. 9 mérique du sud, novembre 00 On admet que si et sont deux droites non coplanaires, il existe une unique droite perpendiculaire à et. Si coupe en le point I et en le point J, la distance I J est appelée distance de à. On note l axe des abscisses et, la droite de représentation paramétrique : x = t y = + t t R z = t. Justifier que les droites et ne sont pas coplanaires.. On considère la droite perpendiculaire commune à et. Prouver qu il existe deux réels b et c tels que le vecteur # w = b # j +c # k soit un vecteur directeur de.. a Vérifier que le plan P d équation : y + z = 0 est un plan contenant la droite. b éterminer les coordonnées du point d intersection J de la droite et du plan P. c Justifier que la droite passant par J, de vecteur directeur # w est sécante à en un point I et qu elle est la perpendiculaire commune à et. d n déduire la distance de à. 0 Nouvelle alédonie, novembre 00 O ; # ı, # j, # k L objectif de cet exercice est de déterminer la position relative d objets de l espace P est le plan passant par ;; et de vecteur normal # 4 n ; est la droite passant par ;4; de vecteur directeur # u. S est la sphère de centre Ω;9;0 passant par.. Intersection du plan P et de la droite. a émontrer que le plan P a pour équation cartésienne : x 4y + z = 0. b Montrer que la droite est strictement parallèle au plan P.. Intersection du plan P et de la sphère S. a alculer la distance d du point Ω au plan P. b alculer le rayon de la sphère S. n déduire l intersection du plan P et de la sphère S.. Intersection de la droite et de la sphère S. a éterminer une représentation paramétrique de la droite. b éterminer une équation cartésienne de la sphère S. c n déduire que la droite coupe la sphère S en deux points M et N distincts dont on ne cherchera pas à déterminer les coordonnées. Liban, juin 00 O ; # ı, # j, # k On appelle la droite passant par les points ; ; et ; 5;.. Montrer qu une représentation paramétrique de la droite est : x = + t y = t z = t t R.. On note la droite ayant pour représentation paramétrique : x = k y = + k z = k k R. Montrer que les droites et ne sont pas coplanaires.. On considère le plan P d équation : 4x + y + 5z + = 0 a Montrer que le plan P contient la droite. b Montrer que le plan P et la droite se coupent en un point dont on précisera les coordonnées. 4. On considère la droite passant par le point et de vecteur directeur w #. a Montrer que les droites et sont perpendiculaires. b Montrer que la droite coupe perpendiculairement la droite en un point dont on précisera les coordonnées. ÉOMÉTRI NS L SP 4
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