Géométrie dans l espace

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1 Géométrie dans l espace I- ositions relatives de droites et de plans ) ositions relatives de deu droites I I = = = Remarque: Le fait que deu droites n aient aucun point commun ne suffit pas pour conclure, dans l espace, qu elles sont parallèles. ) ositions relatives d une droite et d un plan I = = = 3) ositions relatives de plans = = Lcée Gustave Eiffel TS 3 -M. Herbaut /9

2 ABC est un tétraèdre. Les points I, J, K et L sont respectivement sur les arêtes [B], [C], [AB] et [B], la droite (IJ) étant parallèle à la droite (BC). Indiquer les positions relatives des droites et plans suivants. A K I L B J C ) Les droites (IJ) et (C) sont... ) Les droites (IJ) et (LC) sont... 3) Les droites (IJ) et (AB) sont... 4) Les droites (IJ) et (KL) sont... 5) Les droites (IK) et (C) sont... 6) La droite (IJ) et le plan (ABC) sont... 7) La droite (IJ) et le plan (AKL) sont... 8) Les plans (AB) et (LK) sont... 9) Les plans (AB) et (CIJ) sont... ABC est un tétraèdre. B est un point de l arête [B] et C est un point de l arête [C]. ) Tracer l intersection de la droite (B C ) et du plan (ABC). Justifier ) Tracer l intersection des plans (ABC) et (AB C ). Justifier B C A B C II- Orthogonalité dans l espace ) éfinitions éfinition eu droites d et (non nécessairement coplanaires) sont orthogonales si les parallèles à ces deu droites menées par un point I quelconque sont perpendiculaires. ( Nous admettrons alors que les parallèles à d et passant par n importe quel autre point sont également perpendiculaires) d I eu droites orthogonales ne sont pas nécessairement perpendiculaires, elles ne le sont que si elles sont coplanaires. En revanche la réciproque est vraie par définition de droites orthogonales. eu droites orthogonales à une même troisième ne sont pas nécessairement parallèles. (facile à voir dans un cube) éfinition Une droite d est orthogonale à un plan lorsqu elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan. ) Orthogonalité d une droite et d un plan our qu une droite soit orthogonale à un plan il suffit que soit orthogonale à deu droites sécantes de. d d Lcée Gustave Eiffel TS 3 -M. Herbaut /9

3 eu plans orthogonau à une même droite sont parallèles. Si deu plans sont parallèles, toute droite orthogonale à l un est orthogonale à l autre. d d d d Si deu droites sont parallèles, tout plan orthogonal à l une est orthogonal à l autre. eu droites orthogonales à un même plan sont parallèles. 3) Orthogonalité de deu droites de l espace Si deu droites sont parallèles, toute droite orthogonale à l une est orthogonale à l autre. 4) lan médiateur éfinition Soient A et B deu points de l espace. Le plan médiateur de [AB] est le plan orthogonal à (AB) et passant par le milieu de [AB]. ropriété Le plan médiateur d un segment [AB] est l ensemble des points de l espace équidistants de A et de B. : Soit un cube ABCEFGH. H G E F C A B ) Montrer que (AF) est orthogonale au plan (EBC). ) Montrer que (AF) est orthogonale à (EC). Lcée Gustave Eiffel TS 3 -M. Herbaut 3/9

4 3) Montrer que (AH) est orthogonale au plan (EFC) et en déduire que (AH) est orthogonale à (EC). 4) Montrer que (EC) et orthogonale au plan (AFH). : Soit SABC une pramide régulière et I le centre du carré ABC. S C A B Montrer que les plans (SAC) et (SB) sont orthogonau. III- Vecteur de l espace ) Géométrie vectorielle dans l espace Les définitions et les calculs sur les vecteurs sont identiques à ce qui a été faits dans le plan. a) Caractérisation d un plan ropriété Soit A, B et C trois points de l espace non alignés. On a M (ABC) il eiste deu réels α et β tel que #» AM = α #» AB + β #» AC. Remarque Un plan peut donc être défini par un point A( A ; A ; A ) et deu vecteurs non colinéraires #» u (a ; b ; c) et #» v (a ; b ; c ) éfinition Soit A un point de l espace, #» u et #» v deu vecteurs non colinéaires.l ensemble des points M tels que #» AM = α #» u + β #» v, avec α et β réels, est un plan (ABC). On dit que le plan est dirigé par le couple ( #» u ; #» v ). Application à la démonstration du théorème du toit : ropriété du toit Soient d et d sont deu droites parallèles. Soient est un plan contenant d et un plan contenant d. Si, les plans et sont sécants, alors la droite d intersection de ces plans est parallèle à d et d. d d émonstration Lcée Gustave Eiffel TS 3 -M. Herbaut 4/9

5 b) Vecteurs coplanaires éfinition On dit que trois vecteurs #» u, #» v et #» w sont coplanaires s il eiste deu réels α et β tels que #» w = α #» u + β #» v. (on dit que #» w est une combinaison linéaire des deu autres.) uatre points A, B, C et sont coplanaires si et seulement si, les vecteurs #» AB, #» AC et #» A sont coplanaires. Remarque La droite passant par A et dirigée par le vecteur u #» et le plan passant par B et dirigé par ( #» v ; w) #» sont parallèles si et seulement si, u #», #» v et w #» sont coplanaires. La droite (AB) et le plan (CE) sont parallèles si et seulement si, les vecteurs AB, #» C #» et CE #» sont coplanaires. La droite passe par E( ; ; 0) et admet pour vecteur directeur u #» ( ; ; ). La droite passe par F(0 ; ; ) et admet pour vecteur directeur #» v ( ; ;). ) Montrer que EF, #» u #» et #» v sont coplanaires. ) En déduire que et se coupent. ropriété Soit u #» un vecteur de l espace et #» i, #» j et #» k trois vecteurs non coplanaires. Alors il eiste un unique triplet de réels, et tels que u #» = #» i + #» j + #» k. sont les coordonnées du vecteur #» u dans la base ( #» i, #» j, #» k ). émonstration ) Repérage dans l espace a) Repères de l espace éfinition #» #» #» si, ( i, j et k sont trois vecteurs non coplanaires et O un point fie, alors on munit l espace du repère O; #» ı, #» #» ) #» j, k. our tout point M de l espace il eiste un unique triplet (,;) tel que, OM = #» i + #» j + #» k. est l abscisse du point M, est l ordonnée et la cote. Remarque Si les vecteurs #» i, #» j et #» k sont deu à deu orthogonau, on dit que le repère ( O; #» ı, #» j, #» k ) est orthogonal. Si de plus, #» i = ; #» i = et #» i =, on dit alors que le repère est orthonormal. Lcée Gustave Eiffel TS 3 -M. Herbaut 5/9

6 M #» k #» ı O #» j M Figure Coordonnées d un point M dans le repère (O; ı, j, k). b) Colinéarité et alignement dans un repère de l espace eu vecteurs non nuls u #» = k c est à dire = k. = k et #» v sont colinéaires si, et seulement si il eiste un réel k tel que #» u = k #» v, Si A( A ; A ; A ) et B( B ; B ; B ), alors le vecteur #» AB a pour coordonnées : B A B A. B A Trois points A, B et C de l espace sont alignés si, et seulement si, il eiste un réel k tel que #» AB = k #» AC. c) Milieu, distance ) I( A + B ; A+ B ; A+ B est le milieu du segment [AB]. ans un repère orthonormé : La norme du vecteur #» u est #» u = + + ; La distance AB = ( B A ) + ( B A ) + ( B A ). Soit A( ; 3 ; 4), B( ; ; 5) et C( ; ; 3) dans l espace muni d un repère orthonormé. ) Ces trois points sont-ils alignés? ) Le triangle ABC est-il un triangle particulier? 3) Equation cartésienne d une sphère Soit S la sphère de centre A(; ;) et de raon 3. ) onner une définition géométrique de cette sphère («S est l ensemble des points M tels que...») Lcée Gustave Eiffel TS 3 -M. Herbaut 6/9

7 ) En déduire une équation cartésienne de cette sphère. ropriété Soit S la sphère de centre Ω(a;b;c) et de raon R dans l espace muni d un repère orthonormé. Une équation cartésienne de S est : ( a) + ( b) + ( c) = R Montrer que l équation = 0 est celle d une sphère dont on déterminera le centre et le raon. IV- Représentation paramétriques ) Représentation paramétrique d une droite ropriété Soit la droite passant par A et de vecteur directeur #» u. M il eiste un réel t tel que #» AM = t #» u. En notant les coordonnées M( ; ; ), A( A ; A ; A ) et u #» (a ; b ; c), on obtient à partir de cette relation vectorielle la propriété suivante : = A + t a M( ; ; ) il eiste un réel t tel que = A + t b = A + t c Lorsque le réel t parcourt R, le point M parcourt la droite. On obtient alors une caractérisation de la droite donnée par un sstème dit paramétré. Une équation paramétrée de la droite passant par A( A ; A ; A ) et de vecteur directeur #» u (a ; b ; c) est : = A + t a = A + t b = A + t c avec t R. Remarque Il eiste une infinité de sstèmes paramétrés pour une droite car une droite est caractérisée par n importe quel point lui appartenant et un vecteur directeur quelconque. ) Soit A(; 5; ) et B( ; 3;). éterminer une équation paramétrique de (AB). ) Soient, et 3 les droites dont on donne une représentation paramétrique ci-dessous : = t = t + 6 = 8 6t : = 4t : = 3t 3 : = t = 3t + 5 = t + = + 9t a. onner un point et un vecteur directeur de chaque droite. b. éterminer la position relative de et 3. c. éterminer la position relative de et. Lcée Gustave Eiffel TS 3 -M. Herbaut 7/9

8 ) Représentation paramétrique d un plan Soit un plan passant par A de coordonnées ( A, A, A ) et de vecteurs directeurs u Alors un point M de coordonnées (,,) appartient à si, et seulement s il eiste deu réels t et t tels que AM = t u + t v c est à dire, en appliquant cette relation au coordonnées = A + ta + t a = A + tb + t b = A + tc + t c a b c et v a b c. éfinition Cette écriture est appelée représentation paramétrique du plan passant par A et de vecteurs directeurs #» u et #» v. Remarque Il est également utile de retrouver les éléments caractéristiques du plan ( un point et deu vecteurs directeurs ) à partir de cette représentation. Soient A(; ;0), B(;3;) et C( ;;). ) Montrer que AB #» et AC #» ne sont pas colinéaires. ) éterminer une équation paramétrique de (ABC). 3) lans parallèles à un plan de coordonnées éfinition Tout plan parallèle au plan de coordonnées (O) a pour équation cartésienne = k avec k R. k j i O éfinition Tout plan parallèle au plan de coordonnées (O) a pour équation cartésienne = k avec k R. k j i O Lcée Gustave Eiffel TS 3 -M. Herbaut 8/9

9 éfinition Tout plan parallèle au plan de coordonnées (O) a pour équation cartésienne = k avec k R. k j i O Lcée Gustave Eiffel TS 3 -M. Herbaut 9/9