Fiche -Géométrie. 1 Triangle. 1.1 Triangle isocèle
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- Clementine Gaulin
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1 Fiche -Géométrie 1 Triangle Définition 1. Un triangle est une figure plane, formée par trois points appelés sommets. Les côtés sont les segments qui joignent les sommets deux à deux. Remarque 1. Un triangle, comme son nom l indique comporte trois angles. Propriété 1. La somme des mesures des angles d un triangle fait 180 degrés. + + = 180 Exemple 1. ette propriété est très utilisée dans le concours RPE. onsidérons un triangle tel que = 45 et = 42 alors = = Triangle isocèle Définition 2. Un triangle isocèle est un triangle ayant deux côtés de même mesure. Remarque 2. On dit qu un triangle est isocèle en si =.
2 Propriété 2. est triangle isocèle en si et seulement si =. Exemple 2. onsidérons un triangle isocèle en tel que = Nous savons que : = 20 = + + = 180 insi, Il vient, = = Triangle équilatéral Définition 3. Un triangle équilatéral est un triangle ayant trois côtés de même mesure. Propriété 3. Un triangle est équilatéral si et seulement si tous ses angles ont même mesure. Remarque 3. Tous les angles d un triangles équilatéral font 60. Remarque 4. Il suffit de montrer que deux angles d un triangle font 60 pour prouver qu il est équilatéral. 2
3 Exemple 3. Soit un triangle isocèle en tel que = 60. Montrons que est un triangle équilatéral. 60 omme un triangle isocèle en et en reprenant, l exemple 2, nous avons = et = 180. Soit = = 60. Le triangle est donc équilatéral. 1.3 Triangle rectangle Définition 4. Un triangle est rectangle s il a un angle droit (90 ). Remarque 5. On dit qu un triangle est rectangle en si = 90. Le segment [] est alors le coté le plus grand et est appelé hypoténuse. hypoténuse Exemple 4. Soit un triangle isocèle rectangle en. Nous avons = 90 et =. omme la somme des mesures des angles d un triangle fait 180, alors = = 45. 3
4 1.4 Droites remarquables du triangle Médiatrices Définition 5. La médiatrice d un segment [] est la droite perpendiculaire au segment passant par son milieu. I J Propriété 4. La médiatrice d un segment [] représente l ensemble des points à même distance de et de. I Propriété 5. Les médiatrices d un triangle se coupent en un même point O appelé centre du cercle circonscrit. Le cercle de centre O et de rayon O passe par, et. 4
5 ercle circonscrit rayon O Exemple 5. Soit un triangle et O l intersection des médiatrices de [] et de []. Montrons que O = O. O Le point O est le centre sur cercle circonscrit au triangle, les points et sont sur ce cercle donc O = O Médianes Définition 6. Dans un triangle, la médiane issue de est la droite passant par et le milieu de []. 5
6 Propriété 6. Les médianes d un triangle sont concourantes. Le point d intersection des médianes est appelé centre de gravité. O hauteurs Définition 7. Dans un triangle, la hauteur issue de est hauteur est la droite passant par et perpendiculaire à []. K 6
7 Remarque 6. Souvent la droite (K ) est confondue avec le segment [K ]. Par abus, on parlera notamment de la longueur de la hauteur. Propriété 7. Les hauteurs d un triangle sont concourantes. Le point d intersection des hauteurs est appelé orthocentre. H issectrices Définition 8. Dans un triangle, on appelle bissectrice issue de la demi-droite qui coupe l angle en deux angles de même mesure. Propriété 8. Les bissectrices d un triangle sont concourantes. Le point d intersection des bissectrices est appelé centre du cercle inscrit. 7
8 O 2 Théorème de Pythagore Théorème 1 (Pythagore). Si un triangle est rectangle alors le carré de l hypoténuse est égale à la somme des carrés des deux autres côtés. c 2 = a 2 + b 2 a c b Exemple 6. Soit un triangle rectangle en. vec = 4 et = 8 alors, d après le théo- 8
9 rème de Pythagore c est-à-dire insi, 2 = 48, soit = = = 64. Théorème 2 (Réciproque du théorème de Pythagore). Un triangle tel que = 2 est rectangle en. 3 Théorème de Thalès Théorème 3 (Thalès). onsidérons les points,, D alignés dans le même ordre que les points,, E et tels que (D) et (E) soient sécantes en. Si () et (DE) sont parallèles alors : E = D = DE. E = D = DE D E E D Théorème 4. (Réciproque du théorème de Thalès) onsidérons les points,, D alignés dans le même ordre que les points,, E et tels que (D) et (E) soient sécantes en. Si alors les droites () et (DE) sont parallèles. D = E 3.1 Triangle et cercle Théorème 5. Soit un cercle de diamètre [] et un point de différent de et de, alors le triangle est rectangle en. 9
10 4 ngles Définition 9 (ngles alternes/internes, wikipédia). Deux angles formés par deux droites coupées par une sécante sont dits alternes-internes si : ils sont situés de part et d autre de la sécante ils sont situés entre les deux droites ils ne sont pas adjacents. Théorème 6. Deux angles alternes-internes sont de même mesure si et seulement si les droites coupées qui forment ces angles sont parallèles. 10
11 5 Symétries 5.1 Symétrie centrale Définition 10. Un point est le symétrique du point par rapport à la symétrie centrale de centre O si le point O est le milieu de []. L image de O est O. O 5.2 Symétrie axiale Définition 11. Le point est le symétrique du point par rapport à la droite d si la droite d est la médiatrice de []. L image d un point de d est lui-même. d 5.3 onservations Théorème 7. Les symétries conservent les distances, les angles et les aires. 11
Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors
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