Révisions : Complexes

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1 Lycée Sainte Geneviève BCPST Révisions : Complexes 1 Représentation algébrique La construction formelle de l ensemble C des nombres complexes est hors programme. On retiendra juste qu on pose i tel que i = 1. Alors on admettra que l application de R dans C qui à un couple de réels x, y associe le complexe x + iy est une bijection. Définition 1. Pour un nombre complexe z = x + iy avec x, y R, on dit que x est la partie réelle de z et elle est notée Rez. y est la partie imaginaire de z, notée Imz. x + iy est dite la forme cartésienne ou algébrique du complexe z Remarques 1. On peut considérer que R est une partie de C ; c est l ensemble des complexes de partie imaginaire nulle.. ir désigne l ensemble des nombres complexes de partie réelle nulle qu on appelle les imaginaires purs 3. On admettra qu on peut définir sur C une addition et une multiplication qui vérifient les propriétés usuelles. Attention Il est impossible de définir sur C une relation d ordre qui prolonge la relation de comparaison usuelle de R. On retiendra qu on ne peut jamais comparer complexes. Proposition 1. imaginaires. Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s ils ont les mêmes parties réelles et Remarque Ceci permet en cas d égalité de deux complexes d identifier leurs parties réelles et imaginaires. Proposition. Pour tout z, z C, et pour tout λ R on a Rez + z = Rez + Rez et Reλz = λrez. Imz + z = Imz + Imz et Imλz = λimz. Conjugaison Définition. Pour tout nombre complexe z, le conjugué de z, noté z, est défini par z = Rez iimz 1

2 Proposition 3. Pour tous nombres complexes z, z, z 1,..., z n : 1. Rez = Rez et Imz = Imz. z = z : on dit que la conjugaison notons-la γ est une involution i.e. γ γ = Id 3. Rez = z + z et Imz = z z i n n 4. z + z = z + z et en généralisant z k = 5. zz = zz et en généralisant n z k = n z k 1 6. = 1z zz z et = z z 7. z = z si et seulement si z est réel. z = z si et seulement si z est imaginaire pur. z k Remarque Pour rendre réel le dénominateur d un quotient de deux nombres complexes on multiplie par son conjugué au numérateur et au dénominateur : x + iy x + iy = x + iyx iy x + y 3 Module d un nombre complexe Définition 3. On appelle module d un nombre complexe z le réel positif noté z défini par z = zz ou encore z = x + y avec la notation z = x + iy, x, y R Remarque z z représente la distance séparant les points d affixe z et z. Proposition 4. Pour tous nombres complexes z, z, z 1,..., z n : 1. z = 0 z = 0. z = z = z 3. Rez z et Rez = z si et seulement si z R 4. Imz z et Imz = z si et seulement si z ir 5. Si z 0 alors 1 z = z z 6. zz = z z n n et en généralisant z k = z k 7. z z = z z 8. Pour tout k Z, z k = z k

3 Théorème 1. Inégalité triangulaire Pour tous z, z C, z z z + z z + z Et le cas d égalité à droite : z + z = z + z équivaut à z = 0 ou alors il existe un réel positif α tel que z = αz Remarque Le cas d égalité se traduit aussi par le fait que les points du plan d affixe respective z et z sont sur une même demie-droite d origine l origine du repère Corollaire. n Pour tous complexes z 1,..., z n, on a z k n z k 4 Exponentielle d un imaginaire pur Définition 4. Pour tout θ réel, on pose e iθ = cos θ + i sin θ Proposition 5. Pour tous réels θ, θ, θ 1,..., θ n 1. e iθ = e iθ n n. e iθ e iθ = e iθ+θ et en généralisant e iθ k = exp i θ k 3. e iθ est toujours non nul et 1 e 4. Pour tout n Z, e iθ n = e inθ iθ = e iθ Proposition 6. { θ R ; e iθ = 1 } = πz. { e iθ, θ R } = { e iθ, θ [0, π[ } c est aussi l ensemble des nombres complexes de module égale à 1 i.e. le cercle de centre 0 et de rayon 1. Proposition 7. Pour tout θ R, Formules d Euler cos θ = eiθ + e iθ sin θ = eiθ e iθ i Proposition 8. Formule de Moivre Pour tout θ R, et pour tout n Z, cos θ + i sin θ n = cosnθ + i sinnθ 3

4 5 Argument d un nombre complexe non nul Définition 5. Pour tout complexe non nul z, on appelle argument de z tout réel θ tel que e iθ = z z. On note argz l ensemble de ces θ qui conviennent. Remarques importantes : 1. Si θ 0 est un argument de z, alors argz = θ 0 + πz, i.e. tous les autres arguments de z diffèrent de θ 0 d un multiple de π. Du coup on notera souvent encore argz un argument quelconque de z ; dans ce cas on travaille modulo π.. Si on veut définir de manière unique l argument d un complexe, il faut restreindre l intervalle possible. On choisit alors souvent les intervalles [0, π[ ou encore ] π, π]. Proposition 9. Pour tout z C \ {0}, 1. z R + argz = πz. z R argz = π + πz 3. z ir argz = π + πz 4. argz = argz 5. Pour tous complexes non nuls z, z, z 1,..., z n d arguments respectifs θ, θ, θ 1,..., θ n les complexes suivants ont pour argument cf remarque précédente : argzz = θ + θ 1 arg = θ z z arg z = θ θ n n arg z k = arg z k = kθ θ k Définition 6. Pour tout z complexe non nul, il existe ρ R + et θ R tels que z = ρe iθ. On dit qu on a mis z sous forme trigonométrique ou exponentielle. Pour être plus précis on a { ρ = z z C, ρ R +, θ R, z = ρe iθ θ argz Attention Un nombre complexe a une infinité de formes trigonométriques. Pour que ρe iθ soit une forme trigonométrique d un complexe il faut que ρ soit strictement positif! Proposition 10. Soient z et z deux complexes non nuls dont θ et θ sont des arguments respectifs. Alors z = z { z = z θ θ [π] 4

5 Remarque Cette équivalence permet en cas d égalité de deux complexes d identifier leurs modules et leurs arguments modulo π. 6 Interprétation géométrique des nombres complexes Prenons un plan P muni d un repère orthonormé direct R = O, i, j. Alors à tout complexe z = x + iy on peut associer le point M du plan de coordonnées x, y dans le repère R. Et réciproquement. On note Mz le point correspondant au complexe z dans cette bijection. z est alors appelé l affixe de M. Proposition 11. Si M est un point d affixe complexe z par rapport au repère O, i, j. On a alors : OM = z et i, OM argz[π] angle orienté A tout complexe z = x+iy on peut aussi, toujours dans notre repère choisi R, associer un vecteur x i +y j. Dans ce cas si A et B sont deux points du plan d affixe respective a et b, alors l affixe de AB est b a. Proposition Mz et M z sont symétriques par rapport à l origine ssi z = z. Mz et M z sont symétriques par rapport à O i ssi z = z 3. Mz et M z sont symétriques par rapport à O j ssi z = z 4. Pour tout a C et tout r R +, l ensemble {Mz P ; z a = r} est le cercle de centre Aa et de rayon r et {Mz P ; z a r} est le disque fermé de centre Aa et de rayon r. 5. L application qui à tout point de P d affixe z associe le point d affixe z +a est la translation de vecteur d affixe a. 6. L application qui à tout point de P d affixe z associe le point d affixe e iθ z est la rotation de centre O de d angle θ. Proposition 13. Si Aa, Bb, Cc, Dd sont 4 points du plan tels que A B et C D, alors on a en tant qu angle orienté d c AB, CD arg [π] b a Et donc d c AB et CD sont parallèles arg 0[π] b a d c AB et CD sont perpendiculaires arg π b a [π] 5

6 7 Exponentielle complexe Définition 7. Pour tout z C s écrivant z = x + iy avec x, y R on pose e z = e x cos y + i sin y = e x e iy Proposition 14. Pour tout z, z C avec z = x + iy avec x, y R on a 1. Re e z = e x cos y et Im e z = e x sin y. e z = e x et donc e z n est jamais nul 3. arg e z y[π] 4. e z = e z 5. e z+z = e z e z Proposition 15. Soit a C qui s écrit a = ρe iθ avec ρ R + et θ R. L équation e z = a admet pour solutions {z C ; z = ln ρ + iθ + kπ, k Z} Corollaire. Pour tout z, z C on a e z = e z k Z ; z = z + ikπ 8 Racines n-ièmes complexes HP Définition 8. Soit n N. On appelle racine n ième de l unité tout nombre complexe z tel que z n = 1. On note alors U n = {z C ; z n = 1} l ensemble des racines n ièmes de l unité Théorème. Pour tout n N, U n est un ensemble fini de cardinal n inclus dans le cercle de centre 0 et de rayon 1. On connaît tous ses éléments : } U n = {e ik π n ; k 0, n 1 Remarque On note souvent ω k = e ik π n. Alors U n = {ω 0, ω 1,..., ω n 1 } 6

7 Proposition 16. Pour tout k 0, n 1, ω k = ω n k. Donc les racines n ièmes de l unité sont conjuguées deux à deux. Sauf ω 0 = 1 et, quand n est pair, ω n = 1 qui sont leurs propres conjugués Proposition 17. Pour tout k 0, n 1, ω k = ω k 1 Proposition 18. Pour tout n, la somme des racines n ièmes de l unité est nulle, i.e. : n 1 n 1 ω k = e ik π n = 0 k=0 k=0 Proposition 19. Pour n N fixé, les racines n ièmes de l unité sont représentées dans le plan par un polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercle unité centré en O. Proposition 0. Pour tout n N et pour tout a C dont une écriture trigonométrique est a = ρe iθ l équation z n = a possède n solutions complexes distinctes qui sont } {ρ 1 n e i θ n +k π n ; k 0, n 1 On les appelle les racines n ièmes complexes de a. Remarque Les deux solutions de z = a sont appelées racines carrées de a. Attention a priori elle sont complexes donc ne se notent pas avec le symbole. 9 Équations du second degré On considère l équation E d inconnue z C : az +bz +c = 0 où a, b, c C C C. On note = b 4ac son discriminant. On a alors deux cas : Soit a, b et c sont tous les trois réels. Dans ce cas est réel et il a donc un signe. Les solutions de E sont donc décrites en séparant les trois cas > 0, = 0 et < 0. Soit a, b et c ne sont pas tous réels. Dans ce cas est complexe et il n a donc pas de signe. Les solutions de E sont donc décrites en séparant les deux cas : = 0 et 0 cf théorème suivant. Théorème 3. HP Si 0 alors E admet deux solutions complexes distinctes qui sont b + δ a et b δ a où δ est une racine carrée complexe de i.e. δ = : cf paragraphe précédent! Si = 0 alors E admet une unique solution b a. 7

8 Proposition 1. Relations entre les coefficients et les racines z 1 et z sont solutions de az + bz + c = 0 si et seulement si z 1 + z = b a et z 1z = c a Proposition. Si a, b et c sont trois réels et si un complexe z est solution de az + bz + c = 0 alors z est aussi solution de cette équation. 10 Applications trigonométriques des complexes 10.1 Technique de l angle moitié Proposition 3. Pour tous réels a et b, a b e ia + e ib = cos a b e ia e ib = i sin e i a+b e i a+b 10. Développement de cosnθ et sinnθ Soit θ R et n N. On part de la formule de Moivre : Puis on applique la formule du binôme de Newton : cosnθ + i sinnθ = cos θ + i sin θ n cos θ + i sin θ n = n k=0 n cos θ n k i k sin θ k k Puis on identifie la partie réelle de cette somme qui sera cosnθ et la partie imaginaire sera sinnθ Linéarisation de cos p θ, sin p θ, cos p θ sin q θ Par exemple pour cos p θ. On commence par la formule d Euler : cos θ = e iθ + e iθ Puis on met à la puissance voulue et on applique la formule du binôme de Newton : p cos p θ = e iθ + e iθ p p p = e ikθ e ip kθ k Et enfin dans cette somme simplifiée on regroupe deux à deux les termes en e ilθ + e ilθ ou e ilθ e ilθ qui formeront des coslθ ou des i sinlθ grâce de nouveau aux formules d Euler. k=0 8

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