Feuille 5 : Nombres complexes

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1 Université Claude Bernard Lyon 1 Semestre d automne UE Fondamentaux des Mathématiques I Feuille 5 : Nombres complexes Exercice 5-1 Soit f : C \ {0, 3} C l application définie par f(z) = z 1 z(z + 3). Calculer f(1 i) et f(1 + i). f(1 i) = 1 i 3 5i = ( 1 i)(3 + 5i) (3 5i)(3 + 5i) = 7 11i = f(1 + i). 34 Exercice 5- Calculer la partie réelle et la partie imaginaire du nombre complexe z = 1 + im m + i(m 1), m R. z = Donc Re(z) = 1 + im m + i(m 1) = (1 + im)(m i(m 1)) (m) + (m 1) = m im + i + im + m 3 m 4m + m m = m3 + im + m + i (m + 1) = m (m + i) + (m + i) (m + 1) = (m + 1)(m + i) (m + 1) = m + i m + 1. m m + 1 et Im(z) = 1 m + 1. Exercice 5-3 Calculer le module et un argument de z = 1 + i i. Exercice 5-4 Calculer le module et un argument de u = En déduire le module et un argument de u v. 6 i et v = 1 i. 1

2 Exercice 5-5 Déterminer et représenter dans le plan R les ensembles de nombres complexes suivants : 1. {z C 1 z 1 }. {z C Re(1 z) 1 } 3. {z C Re(iz) 1 } 4. {z C 1 1 z = } 5. {z C z 3 z + 3 = } Exercice 5-6 x R. Montrer que tout nombre complexe z 1 de module 1 s écrit sous la forme x + i x i avec Soit z = a + ib C \ {1} de module 1. On a que a + b = 1. On cherche x R tel que a + ib = x + i x i. Comme x i en multipliant la dernière égalité par x i on obtient ax + ixb ia + b = x + i, d où le système { ax + b x = 0 xb a 1 = 0. dont une solution est x = b. On remarque que 1 a 0 car z = 1 est le seul nombre complexe de module 1 a

3 1 avec a = 1. Donc tout nombre complexe z = a + ib 1 de module 1, s écrit sous la forme z = Par exemple, on vérifie facilement que 1 = i, ( 1 = 1 + i0). i b 1 a + i b 1 a i. Exercice 5-7 Résoudre de deux façons différentes l équation z = + i. En déduire les valeurs de cos π 8 et de sinπ 8. 3

4 Exercice En utilisant la formule de Moivre, déterminer la forme trigonométrique de (1 + i) n pour tout n N.. En déduire une expression simple de (1 + i) n + (1 i) n. 4

5 Exercice Calculer les racines carrées des nombres complexes : a) z 1 = 7 + 4i, b) z = i, c) z 3 = 1 + i.. Résoudre dans C les équations suivantes : a) z = 3 + i, b) z = 3 4i. 5

6 Exercice 5-10 Résoudre dans C les équations suivantes : 1. z + iz + 6i 5iz = 0.. z + (5 + i)z + + i = z z = z 3 + 3z i = (1 + i)z (9 + 3i)z 5i + 10 = 0. 6

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8 Exercice Représenter dans le plan complexe C les 6 racines 6-èmes de 1, et les racines 4-èmes de 1.. Soit n un entier. Déterminer les n 1 solutions complexes de 1 + z + + z n 1 = 0. 8

9 Exercice Déterminer les racines cubiques de 1.. On note j = 1 + i 3. Montrer que 1 + j + j = Exprimer toutes les racines cubiques de 1 en fonction de j. Les racines 3èmes de 1 sont {e kiπ 3 k = 0, 1, }. On remarque que j = 1 + i 3 e 4iπ 3, et j 3 = 1. De plus 1 + j + j = i 3 Exercice Donner les solutions complexes de z 4 = 1.. Résoudre z 4 = 1 3 i. ( 3. Résoudre z ) 3 + i z i = 0. + ( 1 + i ) 3 = 1 + i 3 1 i 3 = 0. = e iπ 3, j = 1 i 3 = 9

10 Exercice 5-14 Résoudre dans C les équations suivantes : 1. z 5 z = 0.. 7(z 1) 6 + (z + 1) 6 = z 7 = 1 z. 4. z 6 (3 + i)z i = 0. 10

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12 Exercice 5-15 Sachant qu elle admet une racine réelle, résoudre dans C l équation suivante : z 3 + (1 3i)z (6 i)z + 10i = 0. 1

13 Exercice 5-16 Montrer que pour tout z, w C : 1. z + z z + z ;. z z z + z. Exercice 5-17 Soient z, w C. Etablir la relation et en donner une interprétation géométrique. z + w + z w = ( z + w ) 13

14 Exercice 5-18 Soit x R. 1. Calculer cos(3x) (resp. sin(3x)) en fonction de cos(x) (resp. sin(x)).. Linéariser sin 4 (x) puis cos(x)sin 4 (x). 14

15 Exercice 5-19 Soient n N et θ R. Calculer n n U n = cos(kθ), et V n = sin(kθ). k=0 k=0 15

16 Exercice 5-0 Soit c C avec c < Montrer que z + c 1 + cz si et seulement si z 1.. Soient D = {z C z 1} le disque unité et C = {z C z = 1} le circle unité. Montrer que l application f : D D z z + c 1 + cz, est une bijection pour laquelle f(c) = C. 16

17 Exercice 5-1 Donner les applications de C qui représentent des transformations du plan suivantes : 1. La translation du vecteur d affixe + i.. La symétrie centrale du centre i. 3. La rotation d angle π/6 et de centre 1 ; 4. L homothétie de rapport 3 et de centre d affixe 1 + i. 5. La similitude de rapport et d angle π/3 et de centre 1 + i. Exercice Soit z = i. Calculer z 4. z 4 = = 34 8 ( i ) 4 = ( 4 3 ( 1) 3 i + 4 ) 3 i + ( ) 4 3 3i 3 + i = i i + 1 = i 1 ( 1 + ( 1 3i) 3i) ( 1 3i) = 34 3 ( 1 3i). 17

18 Exercice Montrer que l équation z 4 3z 3 + ( i)z + 3z 3 + i = 0 admet des racines réelles.. Trouver toutes les racines de l équation. Exercice Déterminer les quatre nombres complexes a, b, c, d différents de 1, qui sont solutions dans C de l équation z 5 = 1.. Montrer, pour tout nombre complexe z, l égalité : 1 + z + z + z 3 + z 4 = (z a)(z b)(z c)(z d). Les racines 5-ème de 1 sont données dans le corrigé de l Exercice Les valeurs des a, b, c, d sont les racines 5-ème de 1 différentes de 1. 18

19 Exercice Soit z = i Calculer z, puis déterminer le module et un argument de z, puis écrire z sous forme trigonométrique.. En déduire le module et un argument de z. 3. En déduire cos π 1 et sin π 1. Exercice Soit f : C C définie par f(z) = z(1 z). 1. Déterminer les points fixes de f, c est à dire résoudre f(z) = z.. En utilisant l égalité z(1 z) = (z 1 )(1 z) + 1, montrer que 4 si z 1 < 1 alors f(z) 1 < 1. 19

20 Exercice Résoudre dans C l équation z 3 = + i.. Résoudre dans C l équation z 3 = 8i. 3. Résoudre dans C l équation 1 z6 + (1 + 3i)z i = 0. 0

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22 Exercice Soit x R. 1. Calculer cos (x)sin 3 (x) en fonction de sin(x).. Linéariser cos 5 (x). cos (x)sin 3 (x) = ( e ix + e ix ) ( e ix e ix ) 3 i = 1 5 i (eix e ix ) (e ix e ix ) = 1 5 i (e5ix e 3ix e ix + e ix + e 3ix e 5ix ) = 1 ( e 5ix e 5ix 4 e3ix e 3ix eix e ix ) i i i = = 1 (sin(5x) sin(3x) sin(x)) 16 ) 5 ( e cos 5 ix + e ix (x) = = 1 (( ) 5 5 e 5ix + 0 ( ) 5 e 4ix e ix + 1 ( ) 5 e 3ix e ix + = 1 5 ( e 5ix + 5e 3ix + 10e ix + 10e ix + 5 3ix + e 5ix) = 1 4 ( e 5ix + e 5ix + 5 e3ix + e 3ix = 1 (cos(5x) + 5cos(3x) + 10cos(x)) eix + e ix ) ( ) 5 e ix e 3ix + 3 ( ) 5 e ix e 4ix + 4 ( ) 5 )e 5ix 5 Exercice Cochez les affirmations que vous pensez vraies. L application qui au point M d affixe z associe le point M d affixe z = 1 iz est une homothétie. L application qui au point M d affixe z associe le point M d affixe z = 1 iz est une rotation dont le centre a pour affixe 1. L application qui au point M d affixe z associe le point M d affixe z = (1 i)z est une rotation d angle π/. L application qui au point M d affixe z associe le point M d affixe z = 1 iz est une rotation d angle π/. L application qui au point M d affixe z associe le point M d affixe z = (1 i)z est une rotation dont le centre est l origine du plan complexe.

23 Exercice Déterminer les racines carrées de i dans C, sous forme exponentielle ρe iθ et sous forme algébrique a + ib. (On rappelle que les racines carrées de i sont les nombres complexes z tels que z = i).. Soit le nombre complexe = 50i. Déterminer les racines carrées de dans C, sous forme algébrique. 3. Déterminer, sous forme algébrique, les deux solutions complexes de l équation : z + 3(1 i)z + 8i = Soit A le point du plan complexe d affixe + i. Soient B et C les points du plan complexe ayant pour affixes les solutions calculées à la question précédente. Représenter les trois points A, B, C dans le plan complexe. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A. 5. Soit M le milieu du segment [B, C], et C le cercle de centre M et de rayon 5 /. Montrer que les trois points A, B, C appartiennent au cercle C. 6. Soit O l origine du plan complexe. Calculer les affixes des images de A, B, C par la rotation de centre O et d angle π/4. 7. Calculer les affixes des images de A, B, C par l homothétie de centre M et de rapport 1. 3

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