Mouvement brownien et calcul stochastique Partiel du 26 novembre 2018

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1 Mouvemen rownien e calcul sochasique Pariel du 26 novemre heures 3, sans documens Barème approximaif. Ex.1 : 6 ps, Ex.2 : 3 ps, Ex.3 : 6 ps, Ex.4 : 5 ps Exercice 1. Soi B un mouvemen rownien réel issu de. On considère le emps d arrê T = inf{ : B = 1}. 1 En uilisan la maringale B 2, monrer que E[T = 1. On jusifiera précisémen les argumens. 2 Soi ε >. On défini S ε 1 = e T ε 1 = inf{ : B = ε} puis par récurrence, pour ou enier n 1, S ε n+1 = inf{ T ε n : B = }, T ε n+1 = inf{ S ε n+1 : B = ε}. Expliquer rapidemen pourquoi S ε n n 1 e T ε n n 1 son deux suies de emps d arrê finis p.s., puis monrer que E [ T ε n S ε n = ε 2, pour ou n 1. 3 On pose N ε = sup{n 1 : Sn ε 1}. Monrer que E 1 {S ε n ε = ε 2 E[N ε. 4 Vérifier que [ 1 E 1 { B ε} d 4ε, puis monrer que E[N ε 4 ε + 1 quesion plus difficile. Exercice 2. Soi B un mouvemen rownien réel issu de, e F [, la filraion canonique de B. Soi f : R R une foncion coninue. Monrer que le processus M = fb es une maringale relaivemen à la filraion F [, si e seulemen si la foncion f es affine il exise α, β R els que fx = αx + β. Indicaion: Appliquer le héorème d arrê à un emps d arrê ien choisi. Dans les deux exercices qui suiven on se place sur un espace de proailié Ω, F, P muni d une filraion complèe F [,. Exercice 3. Soi M une maringale locale coninue e soi a un réel fixé. 1 On pose, pour ou, N = M M a. Jusifier le fai que N es une maringale locale coninue, elle que N =, e monrer que N, N = M, M M, M a. 2 Soi ε >, e T ε = inf{ : N, N ε}. Jusifier le fai que T ε es un emps d arrê, puis monrer que le processus arrêé N T ε es une vraie maringale ornée dans L 2. 3 Monrer que E[N Tε 2 ε pour ou. 4 Soi > a. On considère l événemen A = { M, M = M, M a }. Déduire de la quesion précédene que, pour ou [a,, E[N 2 1 A ε pour ou ε >. Conclure que, p.s. sur l événemen A, on a M = M a, [a,. 5 Monrer inversemen que sur l événemen {M = M a, [a, } on a p.s. M, M = M, M a.

2 Exercice 4. Soi Y un processus adapé, à rajecoires coninues e à valeurs posiives ou nulles, e soi V un processus croissan à rajecoires coninues, adapé, e el que V =. On considère la condiion suivane : E[Y T E[V T, pour ou emps d arrê orné T. 1 Monrer que si M es une vraie maringale coninue de carré inégrale, e M =, alors la condiion D es saisfaie par Y = M 2 e V = M, M. 2 Monrer que la conclusion de la quesion précédene rese vraie si on suppose seulemen que M es une maringale locale issue de. 3 On noe Y = sup s Y s. Monrer que sous la condiion D on a pour ou emps d arrê orné S e ou c > : P [Y S c 1 c E[V S. on pourra appliquer l inégalié D au emps d arrê S R, avec R = inf{ : Y c}. 4 Soien c > e d >, e S = inf{ : V d}. Soi aussi T un emps d arrê orné. En remarquan que {YT c} {YT S c} {V T d} monrer que, sous la condiion D, on a P [Y T c 1 c E[V T d + P [V T d. D

3 Corrigé du pariel du 26 novemre 218. Exercice 1. 1 Soi M = B 2. Alors d après le cours, M T es encore une maringale. En écrivan E[M T = E[M = on rouve E[B T 2 = E[ T. Quand, E[ T E[T par convergence monoone, e E[B T 2 E[B T 2 = 1 par convergence dominée noer que B T 1. Cela donne le résula. On peu aussi remarquer que si le mouvemen rownien B es issu de a [ 1, 1, le même argumen monre que E[T 1. 2 Le fai que les emps aléaoires S ε n e T ε n soien ous finis découle de ce que lim sup B = + e lim inf B = p.s. Pour voir que ce son des.a. on peu procéder par récurrence, en écrivan {S ε n+1 } = {T ε n } {inf{ B T ε n +s : s Q + } = } e en noan que si on sai déjà que T ε n es un.a. l événemen {T ε n } comme les variales B T ε n +s son F -mesurales oserver que T ε n + s es un.a. plus pei que. La propriéé de Markov fore monre que si on pose B n = B S n ε +, le processus B n es encore un mouvemen rownien issu de. Comme Tn ε Sn ε = inf{ : B n = ε}, on voi que Tn ε Sn ε a même loi que inf{ : B = ε} = T1 ε. Par ailleurs, en inroduisan le changemen d échelle B ε = ε 1 B ε2, on voi que T1 ε = ε 2 inf{ : B ε = 1} a même loi que ε 2 T. On conclu que E[Tn ε Sn ε = E[T1 ε = ε 2 E[T = ε 2. 3 On écri d aord E 1 {S ε n ε = [ E 1 {S ε n ε. Pour ou n 1, la propriéé de Markov fore monre que Tn ε Sn ε = inf{ : B n = ε} es indépendane de S ε n, donc [ E 1 {S ε n ε = P Sn ε 1 E[Tn ε Sn ε = ε 2 P Sn ε 1. Puisque {Sn ε 1} = {N ε n}, on conclu que E 1 {S ε n ε = ε 2 P N ε n = ε 2 E[N ε. 4 D après le héorème de Fuini, [ 1 1 E 1 { B ε} d = P B ε d = 1 ε e x2 /2 ε dx d 2ε 1 d = Inroduisons le emps d arrê R ε = inf{ 1 : B ε}. Alors il découle des définiions que [Sn, ε Tn ε { [, 1 : B ε} 1, R ε. n:sn ε 1 En prenan la mesure de Leesgue de ces ensemles on rouve donc 1 1 {S ε n ε 1 { B ε} d + R ε 1. 4ε. Si on sai que E[R ε 1 ε 2, en prenan les espérances dans cee inégalié e en uilisan la quesion 3 on rouve ε 2 E[N ε 4ε + ε 2,

4 d où le résula voulu en divisan par ε 2. Pour jusifier que E[R ε 1 ε 2 on remarque d aord que R ε 1 = si B 1 ε. Dans le cas B 1 < ε on ser de la propriéé de Markov simple pour se ramener à monrer que l espérance du emps de sorie de [ ε, ε par un mouvemen rownien issu d un poin quelconque de ce inervalle es majorée par ε 2. Par changemen d échelle, cee espérance vau ε 2 fois l espérance du emps de sorie de [ 1, 1 pour un mouvemen rownien issu d un poin de [ 1, 1, e cee dernière espérance es majorée par 1 d après la quesion 1 voir la remarque à la fin de cee quesion. Exercice 2. Supposons que M = fb es une maringale. Soien a < <, e T le emps d arrê T = inf{ : B / a, [}. La maringale M T es ornée par sup{fx : x [a, } e es donc uniformémen inégrale, ce qui enraîne que E[M T = E[M, c es-à-dire E[fB T = f. D après le cours, on a P B T = a = a, P B T = = a a. L égalié E[fB T = f condui donc à a fa + a f = f, a d où f f = fa f. a Il en découle que la quanié f f ne dépend pas du choix de R\{}, ce qui veu exacemen dire que f es affine. Inversemen il es immédia que fb es une maringale si f es affine. Exercice 3. 1 On sai que M a es encore une maringale locale e que l espace des maringales locales es un espace vecoriel. Il en découle aussiô que M M a es une maringale locale. De plus, en noan M a = M a, les propriéés de ilinéarié e de sailié par arrê du croche monren que N, N = M, M 2 M, M a + M a, M a = M, M M, M a. 2 T ε es le emps d enrée dans le fermé [ε, [ du processus N, N qui es adapé e à rajecoires coninues : c es donc un emps d arrê. Par définiion de T ε, on a pour ou, N T ε = N, N Tε ε e donc N T ε ε ce qui enraîne en pariculier que E[ N T ε ε < e donc que N T ε es une vraie maringale ornée dans L 2. 3 On sai aussi que N T ε 2 N T ε es une vraie maringale issue de donc E[N T ε 2 = E[N T ε 2 = E[ N T ε ε. 4 Sur l ensemle A, la formule N, N = M, M M, M a monre aussiô que N, N =, e donc T ε. En conséquence, si [a,, E[N 2 1 A = E[N Tε 2 1 A E[N Tε 2 ε, d après la quesion 3. Comme ceci es vrai pour ou ε >, on a E[N 2 1 A =, ce qui veu dire que N = p.s. sur A. On applique ceci aux valeurs raionnelles de [a, e on rouve que p.s. sur A on a N = donc M = M a pour ou [a,.

5 5 Si a = n < n 1 < < n p n es une suie de sudivisions emoîées de [a, de pas endan vers, on a de manière riviale p n i=1 M n i M n i 1 2 = sur l ensemle {M = M a, [a, }. Mais par ailleurs les sommes précédenes convergen en proailié donc p.s. le long d une sous-suie vers M, M M, M a. Il en découle que M, M = M, M a p.s. sur {M = M a, [a, }. Exercice 4. 1 D après le cours, M 2 M, M es une vraie maringale issue de. D après le héorème d arrê cas des emps d arrê ornés, pour ou emps d arrê orné T, E[M 2 T M, M T = e on voi que la condiion D es saisfaie même avec égalié pour Y = M 2 e V = M, M. 2 Soi T n = inf{ : M n}. On peu appliquer la quesion 1. à la maringale M T n, e on a pour ou emps d arrê orné T, E[M T Tn 2 E[ M, M T Tn. Quand n, le memre de droie end vers E[ M, M T par convergence monoone, alors que le lemme de Faou donne E[M T 2 lim inf n E[M T T n 2. 3 Soi R = inf{ : Y c}. Alors R e aussi T = S R son des emps d arrê. D après la propriéé D, comme T es un emps d arrê orné, E[Y T E[V T E[V S. D aure par, {R S} = {Y S c} e sur l ensemle {R S} on a Y T = Y R c. Donc, E[Y T E[Y T 1 {R S} c P [R S. On conclu que c P [Y S c = c P [R S E[Y T E[V S. 4 Sur l ensemle {V T < d} on a S T e donc YT S = Y T. Il en découle que {YT c} {YT S c} {V T d}. En uilisan la quesion 3., on a donc P Y T c P Y T S c + P V T d 1 c E[V T S + P V T d. Mais V T S d par définiion de S, donc aussi V T S V T d puisque V es croissan.

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