Mouvement brownien et calcul stochastique Partiel du 26 novembre 2018
|
|
- Martin Morin
- il y a 5 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Mouvemen rownien e calcul sochasique Pariel du 26 novemre heures 3, sans documens Barème approximaif. Ex.1 : 6 ps, Ex.2 : 3 ps, Ex.3 : 6 ps, Ex.4 : 5 ps Exercice 1. Soi B un mouvemen rownien réel issu de. On considère le emps d arrê T = inf{ : B = 1}. 1 En uilisan la maringale B 2, monrer que E[T = 1. On jusifiera précisémen les argumens. 2 Soi ε >. On défini S ε 1 = e T ε 1 = inf{ : B = ε} puis par récurrence, pour ou enier n 1, S ε n+1 = inf{ T ε n : B = }, T ε n+1 = inf{ S ε n+1 : B = ε}. Expliquer rapidemen pourquoi S ε n n 1 e T ε n n 1 son deux suies de emps d arrê finis p.s., puis monrer que E [ T ε n S ε n = ε 2, pour ou n 1. 3 On pose N ε = sup{n 1 : Sn ε 1}. Monrer que E 1 {S ε n ε = ε 2 E[N ε. 4 Vérifier que [ 1 E 1 { B ε} d 4ε, puis monrer que E[N ε 4 ε + 1 quesion plus difficile. Exercice 2. Soi B un mouvemen rownien réel issu de, e F [, la filraion canonique de B. Soi f : R R une foncion coninue. Monrer que le processus M = fb es une maringale relaivemen à la filraion F [, si e seulemen si la foncion f es affine il exise α, β R els que fx = αx + β. Indicaion: Appliquer le héorème d arrê à un emps d arrê ien choisi. Dans les deux exercices qui suiven on se place sur un espace de proailié Ω, F, P muni d une filraion complèe F [,. Exercice 3. Soi M une maringale locale coninue e soi a un réel fixé. 1 On pose, pour ou, N = M M a. Jusifier le fai que N es une maringale locale coninue, elle que N =, e monrer que N, N = M, M M, M a. 2 Soi ε >, e T ε = inf{ : N, N ε}. Jusifier le fai que T ε es un emps d arrê, puis monrer que le processus arrêé N T ε es une vraie maringale ornée dans L 2. 3 Monrer que E[N Tε 2 ε pour ou. 4 Soi > a. On considère l événemen A = { M, M = M, M a }. Déduire de la quesion précédene que, pour ou [a,, E[N 2 1 A ε pour ou ε >. Conclure que, p.s. sur l événemen A, on a M = M a, [a,. 5 Monrer inversemen que sur l événemen {M = M a, [a, } on a p.s. M, M = M, M a.
2 Exercice 4. Soi Y un processus adapé, à rajecoires coninues e à valeurs posiives ou nulles, e soi V un processus croissan à rajecoires coninues, adapé, e el que V =. On considère la condiion suivane : E[Y T E[V T, pour ou emps d arrê orné T. 1 Monrer que si M es une vraie maringale coninue de carré inégrale, e M =, alors la condiion D es saisfaie par Y = M 2 e V = M, M. 2 Monrer que la conclusion de la quesion précédene rese vraie si on suppose seulemen que M es une maringale locale issue de. 3 On noe Y = sup s Y s. Monrer que sous la condiion D on a pour ou emps d arrê orné S e ou c > : P [Y S c 1 c E[V S. on pourra appliquer l inégalié D au emps d arrê S R, avec R = inf{ : Y c}. 4 Soien c > e d >, e S = inf{ : V d}. Soi aussi T un emps d arrê orné. En remarquan que {YT c} {YT S c} {V T d} monrer que, sous la condiion D, on a P [Y T c 1 c E[V T d + P [V T d. D
3 Corrigé du pariel du 26 novemre 218. Exercice 1. 1 Soi M = B 2. Alors d après le cours, M T es encore une maringale. En écrivan E[M T = E[M = on rouve E[B T 2 = E[ T. Quand, E[ T E[T par convergence monoone, e E[B T 2 E[B T 2 = 1 par convergence dominée noer que B T 1. Cela donne le résula. On peu aussi remarquer que si le mouvemen rownien B es issu de a [ 1, 1, le même argumen monre que E[T 1. 2 Le fai que les emps aléaoires S ε n e T ε n soien ous finis découle de ce que lim sup B = + e lim inf B = p.s. Pour voir que ce son des.a. on peu procéder par récurrence, en écrivan {S ε n+1 } = {T ε n } {inf{ B T ε n +s : s Q + } = } e en noan que si on sai déjà que T ε n es un.a. l événemen {T ε n } comme les variales B T ε n +s son F -mesurales oserver que T ε n + s es un.a. plus pei que. La propriéé de Markov fore monre que si on pose B n = B S n ε +, le processus B n es encore un mouvemen rownien issu de. Comme Tn ε Sn ε = inf{ : B n = ε}, on voi que Tn ε Sn ε a même loi que inf{ : B = ε} = T1 ε. Par ailleurs, en inroduisan le changemen d échelle B ε = ε 1 B ε2, on voi que T1 ε = ε 2 inf{ : B ε = 1} a même loi que ε 2 T. On conclu que E[Tn ε Sn ε = E[T1 ε = ε 2 E[T = ε 2. 3 On écri d aord E 1 {S ε n ε = [ E 1 {S ε n ε. Pour ou n 1, la propriéé de Markov fore monre que Tn ε Sn ε = inf{ : B n = ε} es indépendane de S ε n, donc [ E 1 {S ε n ε = P Sn ε 1 E[Tn ε Sn ε = ε 2 P Sn ε 1. Puisque {Sn ε 1} = {N ε n}, on conclu que E 1 {S ε n ε = ε 2 P N ε n = ε 2 E[N ε. 4 D après le héorème de Fuini, [ 1 1 E 1 { B ε} d = P B ε d = 1 ε e x2 /2 ε dx d 2ε 1 d = Inroduisons le emps d arrê R ε = inf{ 1 : B ε}. Alors il découle des définiions que [Sn, ε Tn ε { [, 1 : B ε} 1, R ε. n:sn ε 1 En prenan la mesure de Leesgue de ces ensemles on rouve donc 1 1 {S ε n ε 1 { B ε} d + R ε 1. 4ε. Si on sai que E[R ε 1 ε 2, en prenan les espérances dans cee inégalié e en uilisan la quesion 3 on rouve ε 2 E[N ε 4ε + ε 2,
4 d où le résula voulu en divisan par ε 2. Pour jusifier que E[R ε 1 ε 2 on remarque d aord que R ε 1 = si B 1 ε. Dans le cas B 1 < ε on ser de la propriéé de Markov simple pour se ramener à monrer que l espérance du emps de sorie de [ ε, ε par un mouvemen rownien issu d un poin quelconque de ce inervalle es majorée par ε 2. Par changemen d échelle, cee espérance vau ε 2 fois l espérance du emps de sorie de [ 1, 1 pour un mouvemen rownien issu d un poin de [ 1, 1, e cee dernière espérance es majorée par 1 d après la quesion 1 voir la remarque à la fin de cee quesion. Exercice 2. Supposons que M = fb es une maringale. Soien a < <, e T le emps d arrê T = inf{ : B / a, [}. La maringale M T es ornée par sup{fx : x [a, } e es donc uniformémen inégrale, ce qui enraîne que E[M T = E[M, c es-à-dire E[fB T = f. D après le cours, on a P B T = a = a, P B T = = a a. L égalié E[fB T = f condui donc à a fa + a f = f, a d où f f = fa f. a Il en découle que la quanié f f ne dépend pas du choix de R\{}, ce qui veu exacemen dire que f es affine. Inversemen il es immédia que fb es une maringale si f es affine. Exercice 3. 1 On sai que M a es encore une maringale locale e que l espace des maringales locales es un espace vecoriel. Il en découle aussiô que M M a es une maringale locale. De plus, en noan M a = M a, les propriéés de ilinéarié e de sailié par arrê du croche monren que N, N = M, M 2 M, M a + M a, M a = M, M M, M a. 2 T ε es le emps d enrée dans le fermé [ε, [ du processus N, N qui es adapé e à rajecoires coninues : c es donc un emps d arrê. Par définiion de T ε, on a pour ou, N T ε = N, N Tε ε e donc N T ε ε ce qui enraîne en pariculier que E[ N T ε ε < e donc que N T ε es une vraie maringale ornée dans L 2. 3 On sai aussi que N T ε 2 N T ε es une vraie maringale issue de donc E[N T ε 2 = E[N T ε 2 = E[ N T ε ε. 4 Sur l ensemle A, la formule N, N = M, M M, M a monre aussiô que N, N =, e donc T ε. En conséquence, si [a,, E[N 2 1 A = E[N Tε 2 1 A E[N Tε 2 ε, d après la quesion 3. Comme ceci es vrai pour ou ε >, on a E[N 2 1 A =, ce qui veu dire que N = p.s. sur A. On applique ceci aux valeurs raionnelles de [a, e on rouve que p.s. sur A on a N = donc M = M a pour ou [a,.
5 5 Si a = n < n 1 < < n p n es une suie de sudivisions emoîées de [a, de pas endan vers, on a de manière riviale p n i=1 M n i M n i 1 2 = sur l ensemle {M = M a, [a, }. Mais par ailleurs les sommes précédenes convergen en proailié donc p.s. le long d une sous-suie vers M, M M, M a. Il en découle que M, M = M, M a p.s. sur {M = M a, [a, }. Exercice 4. 1 D après le cours, M 2 M, M es une vraie maringale issue de. D après le héorème d arrê cas des emps d arrê ornés, pour ou emps d arrê orné T, E[M 2 T M, M T = e on voi que la condiion D es saisfaie même avec égalié pour Y = M 2 e V = M, M. 2 Soi T n = inf{ : M n}. On peu appliquer la quesion 1. à la maringale M T n, e on a pour ou emps d arrê orné T, E[M T Tn 2 E[ M, M T Tn. Quand n, le memre de droie end vers E[ M, M T par convergence monoone, alors que le lemme de Faou donne E[M T 2 lim inf n E[M T T n 2. 3 Soi R = inf{ : Y c}. Alors R e aussi T = S R son des emps d arrê. D après la propriéé D, comme T es un emps d arrê orné, E[Y T E[V T E[V S. D aure par, {R S} = {Y S c} e sur l ensemle {R S} on a Y T = Y R c. Donc, E[Y T E[Y T 1 {R S} c P [R S. On conclu que c P [Y S c = c P [R S E[Y T E[V S. 4 Sur l ensemle {V T < d} on a S T e donc YT S = Y T. Il en découle que {YT c} {YT S c} {V T d}. En uilisan la quesion 3., on a donc P Y T c P Y T S c + P V T d 1 c E[V T S + P V T d. Mais V T S d par définiion de S, donc aussi V T S V T d puisque V es croissan.
Texte Ruine d une compagnie d assurance
Page n 1. Texe Ruine d une compagnie d assurance Une nouvelle compagnie d assurance veu enrer sur le marché. Elle souhaie évaluer sa probabilié de faillie en foncion du capial iniial invesi. On suppose
Plus en détailCalcul Stochastique 2 Annie Millet
M - Mahémaiques Appliquées à l Économie e à la Finance Universié Paris 1 Spécialié : Modélisaion e Méhodes Mahémaiques en Économie e Finance Calcul Sochasique Annie Mille 15 14 13 1 11 1 9 8 7 6 5 4 3
Plus en détail2. Quelle est la valeur de la prime de l option américaine correspondante? Utilisez pour cela la technique dite de remontée de l arbre.
1 Examen. 1.1 Prime d une opion sur un fuure On considère une opion à 85 jours sur un fuure de nominal 18 francs, e don le prix d exercice es 175 francs. Le aux d inérê (coninu) du marché monéaire es 6%
Plus en détailTD/TP : Taux d un emprunt (méthode de Newton)
TD/TP : Taux d un emprun (méhode de Newon) 1 On s inéresse à des calculs relaifs à des remboursemens d empruns 1. On noera C 0 la somme emprunée, M la somme remboursée chaque mois (mensualié), le aux mensuel
Plus en détailExemples de résolutions d équations différentielles
Exemples de résoluions d équaions différenielles Table des maières 1 Définiions 1 Sans second membre 1.1 Exemple.................................................. 1 3 Avec second membre 3.1 Exemple..................................................
Plus en détailCHAPITRE I : Cinématique du point matériel
I. 1 CHAPITRE I : Cinémaique du poin maériel I.1 : Inroducion La plupar des objes éudiés par les physiciens son en mouvemen : depuis les paricules élémenaires elles que les élecrons, les proons e les neurons
Plus en détailDocumentation Technique de Référence Chapitre 8 Trames types Article 8.14-1
Documenaion Technique de Référence Chapire 8 Trames ypes Aricle 8.14-1 Trame de Rappor de conrôle de conformié des performances d une insallaion de producion Documen valide pour la période du 18 novembre
Plus en détailRappels théoriques. -TP- Modulations digitales ASK - FSK. Première partie 1 INTRODUCTION
2 IUT Blois Déparemen GTR J.M. Giraul, O. Bou Maar, D. Ceron M. Richard, P. Sevesre e M. Leberre. -TP- Modulaions digiales ASK - FSK IUT Blois Déparemen du Génie des Télécommunicaions e des Réseaux. Le
Plus en détailRecueil d'exercices de logique séquentielle
Recueil d'exercices de logique séquenielle Les bascules: / : Bascule JK Bascule D. Expliquez commen on peu modifier une bascule JK pour obenir une bascule D. 2/ Eude d un circui D Q Q Sorie A l aide d
Plus en détailChapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque
Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction
Plus en détailTB 352 TB 352. Entrée 1. Entrée 2
enrées série TB logiciel d applicaion 2 enrées à émission périodique famille : Inpu ype : Binary inpu, 2-fold TB 352 Environnemen Bouon-poussoir TB 352 Enrée 1 sories 230 V Inerrupeur Enrée 2 Câblage sur
Plus en détailMathématiques financières. Peter Tankov
Mahémaiques financières Peer ankov Maser ISIFAR Ediion 13-14 Preface Objecifs du cours L obje de ce cours es la modélisaion financière en emps coninu. L objecif es d un coé de comprendre les bases de
Plus en détailCHAPITRE 13. EXERCICES 13.2 1.a) 20,32 ± 0,055 b) 97,75 ± 0,4535 c) 1953,125 ± 23,4375. 2.±0,36π cm 3
Chapire Eercices de snhèse 6 CHAPITRE EXERCICES..a), ±,55 b) 97,75 ±,455 c) 95,5 ±,475.±,6π cm.a) 44,, erreur absolue de,5 e erreur relaive de, % b) 5,56, erreur absolue de,5 e erreur relaive de,9 % 4.a)
Plus en détailLe mode de fonctionnement des régimes en annuités. Secrétariat général du Conseil d orientation des retraites
CONSEIL D ORIENTATION DES RETRAITES Séance plénière du 28 janvier 2009 9 h 30 «Les différens modes d acquisiion des drois à la reraie en répariion : descripion e analyse comparaive des echniques uilisées»
Plus en détailLa rentabilité des investissements
La renabilié des invesissemens Inroducion Difficulé d évaluer des invesissemens TI : problème de l idenificaion des bénéfices, des coûs (absence de saisiques empiriques) problème des bénéfices Inangibles
Plus en détailNed s Expat L assurance des Néerlandais en France
[ LA MOBILITÉ ] PARTICULIERS Ned s Expa L assurance des Néerlandais en France 2015 Découvrez en vidéo pourquoi les expariés en France choisissen APRIL Inernaional pour leur assurance sané : Suivez-nous
Plus en détailVA(1+r) = C 1. VA = C 1 v 1
Universié Libre de Bruxelles Solvay Business School La valeur acuelle André Farber Novembre 2005. Inroducion Supposons d abord que le emps soi limié à une période e que les cash flows fuurs (les flux monéaires)
Plus en détailIntégration de Net2 avec un système d alarme intrusion
Ne2 AN35-F Inégraion de Ne2 avec un sysème d alarme inrusion Vue d'ensemble En uilisan l'inégraion d'alarme Ne2, Ne2 surveillera si l'alarme inrusion es armée ou désarmée. Si l'alarme es armée, Ne2 permera
Plus en détailOscillations forcées en régime sinusoïdal.
Conrôle des prérequis : Oscillaions forcées en régime sinusoïdal. - a- Rappeler l expression de la période en foncion de la pulsaion b- Donner l expression de la période propre d un circui RLC série -
Plus en détailFiles d attente (1) F. Sur - ENSMN. Introduction. 1 Introduction. Vocabulaire Caractéristiques Notations de Kendall Loi de Little.
Cours de Tronc Commun Scienifique Recherche Opéraionnelle Les files d aene () Les files d aene () Frédéric Sur École des Mines de Nancy www.loria.fr/ sur/enseignemen/ro/ 5 /8 /8 Exemples de files d aene
Plus en détailLes circuits électriques en régime transitoire
Les circuis élecriques en régime ransioire 1 Inroducion 1.1 Définiions 1.1.1 égime saionnaire Un régime saionnaire es caracérisé par des grandeurs indépendanes du emps. Un circui en couran coninu es donc
Plus en détailCaractéristiques des signaux électriques
Sie Inerne : www.gecif.ne Discipline : Génie Elecrique Caracérisiques des signaux élecriques Sommaire I Définiion d un signal analogique page 1 II Caracérisiques d un signal analogique page 2 II 1 Forme
Plus en détailDESSd ingéniérie mathématique Université d Evry Val d Essone Evaluations des produits nanciers
DESSd ingéniérie mahémaique Universié d Evry Val d Essone Evaluaions des produis nanciers Véronique Berger Cours Janvier-Mars 2003 version du 27 mars 2003 Conens I Présenaion du plan de cours 3 II Insrumens
Plus en détailSciences Industrielles pour l Ingénieur
Sciences Indusrielles pour l Ingénieur Cenre d Inérê 6 : CONVERTIR l'énergie Compéences : MODELISER, RESOUDRE CONVERSION ELECTROMECANIQUE - Machine à couran coninu en régime dynamique Procédés de piloage
Plus en détailRelation entre la Volatilité Implicite et la Volatilité Réalisée.
Relaion enre la Volailié Implicie e la Volailié Réalisée. Le cas des séries avec la coinégraion fracionnaire. Rappor de Recherche Présené par : Mario Vázquez Velasco Direceur de Recherche : Benoî Perron
Plus en détailNon-résonance entre les deux premières valeurs propres d un problème quasi-linéaire
Non-résonance enre les deux premières valeurs propres d un problème quasi-linéaire AREl Amrouss MMoussaoui Absrac We consider he quasilinear Dirichle boundary value problem (φ p (u )) = f(u)+h(x),u(a)=u(b)=0,
Plus en détail3 POLITIQUE D'ÉPARGNE
3 POLITIQUE D'ÉPARGNE 3. L épargne exogène e l'inefficience dynamique 3. Le modèle de Ramsey 3.3 L épargne opimale dans le modèle AK L'épargne des sociéés dépend largemen des goûs des agens, de faceurs
Plus en détailSommaire de la séquence 12
Sommaire de la séquence 12 Séance 1........................................................................................................ Je prends un bon dépar.......................................................................................
Plus en détailMATHEMATIQUES FINANCIERES
MATHEMATIQUES FINANCIERES LES ANNUITES INTRODUCTION : Exemple 1 : Une personne veu acquérir une maison pour 60000000 DH, pour cela, elle place annuellemen au CIH une de 5000000 DH. Bu : Consiuer un capial
Plus en détailAMPLIFICATEUR OPERATIONNEL EN REGIME NON LINEAIRE
AMPLIFICATEUR OPERATIONNEL EN REGIME NON LINEAIRE Dans e hapire l'amplifiaeur différeniel inégré sera oujours onsidéré omme parfai, mais la ension de sorie ne pourra prendre que deux valeurs : V sa e V
Plus en détailDE L'ÉVALUATION DU RISQUE DE CRÉDIT
DE L'ÉALUAION DU RISQUE DE CRÉDI François-Éric Racico * Déparemen des sciences adminisraives Universié du Québec, Ouaouais Raymond héore Déparemen Sraégie des Affaires Universié du Québec, Monréal RePAd
Plus en détailFiltrage optimal. par Mohamed NAJIM Professeur à l École nationale supérieure d électronique et de radioélectricité de Bordeaux (ENSERB)
Filrage opimal par Mohamed NAJIM Professeur à l École naionale supérieure d élecronique e de radioélecricié de Bordeaux (ENSERB) Filre adapé Définiions Filre adapé dans le cas de brui blanc 3 3 Cas d un
Plus en détailTHÈSE. Pour l obtention du grade de Docteur de l Université de Paris I Panthéon-Sorbonne Discipline : Sciences Économiques
Universié de Paris I Panhéon Sorbonne U.F.R. de Sciences Économiques Année 2011 Numéro aribué par la bibliohèque 2 0 1 1 P A 0 1 0 0 5 7 THÈSE Pour l obenion du grade de Doceur de l Universié de Paris
Plus en détailFinance 1 Université d Evry Val d Essonne. Séance 2. Philippe PRIAULET
Finance 1 Universié d Evry Val d Essonne éance 2 Philippe PRIAULET Plan du cours Les opions Définiion e Caracérisiques Terminologie, convenion e coaion Les différens payoffs Le levier implicie Exemple
Plus en détail2009-01 EFFICIENCE INFORMATIONNELLE DES 1948-2008 UNE VERIFICATION ECONOMETRIQUE MARCHES DE L OR A PARIS ET A LONDRES, DE LA FORME FAIBLE
009-01 EFFICIENCE INFORMATIONNELLE DES MARCHES DE L OR A PARIS ET A LONDRES, 1948-008 UNE VERIFICATION ECONOMETRIQUE DE LA FORME FAIBLE Thi Hong Van HOANG Efficience informaionnelle des marchés de l or
Plus en détailF 2 = - T p K 0. ... F T = - T p K 0 - K 0
Correcion de l exercice 2 de l assisana pré-quiz final du cours Gesion financière : «chéancier e aux de renabilié inerne d empruns à long erme» Quesion : rappeler la formule donnan les flux à chaque échéance
Plus en détailSéminaire TEST. 1 Présentation du sujet. October 18th, 2013
Séminaire ES Andrés SÁNCHEZ PÉREZ October 8th, 03 Présentation du sujet Le problème de régression non-paramétrique se pose de la façon suivante : Supposons que l on dispose de n couples indépendantes de
Plus en détailLes solutions solides et les diagrammes d équilibre binaires. sssp1. sssp1 ssss1 ssss2 ssss3 sssp2
Les soluions solides e les diagrammes d équilibre binaires 1. Les soluions solides a. Descripion On peu mélanger des liquides par exemple l eau e l alcool en oue proporion, on peu solubiliser un solide
Plus en détailDocument de travail FRANCE ET ALLEMAGNE : UNE HISTOIRE DU DÉSAJUSTEMENT EUROPEEN. Mathilde Le Moigne OFCE et ENS ULM
Documen de ravail 2015 17 FRANCE ET ALLEMAGNE : UNE HISTOIRE DU DÉSAJUSTEMENT EUROPEEN Mahilde Le Moigne OFCE e ENS ULM Xavier Rago Présiden OFCE e chercheur CNRS Juin 2015 France e Allemagne : Une hisoire
Plus en détailCARACTERISTIQUES STATIQUES D'UN SYSTEME
CARACTERISTIQUES STATIQUES D'UN SYSTEE 1 SYSTEE STABLE, SYSTEE INSTABLE 1.1 Exemple 1: Soi un sysème composé d une cuve pour laquelle l écoulemen (perurbaion) es naurel au ravers d une vanne d ouverure
Plus en détailImpact du vieillissement démographique sur l impôt prélevé sur les retraits des régimes privés de retraite
DOCUMENT DE TRAVAIL 2003-12 Impac du vieillissemen démographique sur l impô prélevé sur les rerais des régimes privés de reraie Séphane Girard Direcion de l analyse e du suivi des finances publiques Ce
Plus en détailEcole des HEC Université de Lausanne FINANCE EMPIRIQUE. Eric Jondeau
Ecole des HEC Universié de Lausanne FINANCE EMPIRIQUE Eric Jondeau FINANCE EMPIRIQUE La prévisibilié des rendemens Eric Jondeau L hypohèse d efficience des marchés Moivaion L idée de base de l hypohèse
Plus en détailFonction dont la variable est borne d intégration
[hp://mp.cpgedpydelome.fr] édié le 1 jille 14 Enoncés 1 Foncion don la variable es borne d inégraion Eercice 1 [ 1987 ] [correcion] Soi f : R R ne foncion conine. Jsifier qe les foncions g : R R sivanes
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.
Plus en détailMIDI F-35. Canal MIDI 1 Mélodie Canal MIDI 2 Basse Canal MIDI 10 Batterie MIDI IN. Réception du canal MIDI = 1 Reproduit la mélodie.
/ VARIATION/ ACCOMP PLAY/PAUSE REW TUNE/MIDI 3- LESSON 1 2 3 MIDI Qu es-ce que MIDI? MIDI es l acronyme de Musical Insrumen Digial Inerface, une norme inernaionale pour l échange de données musicales enre
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?
Plus en détailRisque associé au contrat d assurance-vie pour la compagnie d assurance. par Christophe BERTHELOT, Mireille BOSSY et Nathalie PISTRE
Ce aricle es disponible en ligne à l adresse : hp://www.cairn.info/aricle.php?id_revue=ecop&id_numpublie=ecop_149&id_article=ecop_149_0073 Risque associé au conra d assurance-vie pour la compagnie d assurance
Plus en détailUn modèle de projection pour des contrats de retraite dans le cadre de l ORSA
Un modèle de proecion pour des conras de reraie dans le cadre de l ORSA - François Bonnin (Hiram Finance) - Floren Combes (MNRA) - Frédéric lanche (Universié Lyon 1, Laboraoire SAF) - Monassar Tammar (rim
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailImpact des futures normes IFRS sur la tarification et le provisionnement des contrats d assurance vie : mise en oeuvre de méthodes par simulation
Impac des fuures normes IFRS sur la arificaion e le provisionnemen des conras d assurance vie : mise en oeuvre de méhodes par simulaion Pierre-Emmanuel Thérond To cie his version: Pierre-Emmanuel Thérond.
Plus en détailCopules et dépendances : application pratique à la détermination du besoin en fonds propres d un assureur non vie
Copules e dépendances : applicaion praique à la déerminaion du besoin en fonds propres d un assureur non vie David Cadoux Insiu des Acuaires (IA) GE Insurance Soluions 07 rue Sain-Lazare, 75009 Paris FRANCE
Plus en détailIntégrales dépendant d un paramètre
[hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Eocés Iégrales dépeda d u paramère Covergece domiée Exercice [ 9 ] [correcio] Calculer les limies des suies do les ermes gééraux so les suivas : a) u = π/4
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailCoaching - accompagnement personnalisé (Ref : MEF29) Accompagner les agents et les cadres dans le développement de leur potentiel OBJECTIFS
Coaching - accompagnemen personnalisé (Ref : MEF29) Accompagner les agens e les cadres dans le développemen de leur poeniel OBJECTIFS LES PLUS DE LA FORMATION Le coaching es une démarche s'inscrivan dans
Plus en détailArticle. «Les effets à long terme des fonds de pension» Pascal Belan, Philippe Michel et Bertrand Wigniolle
Aricle «Les effes à long erme des fonds de pension» Pascal Belan, Philippe Michel e Berrand Wigniolle L'Acualié économique, vol 79, n 4, 003, p 457-480 Pour cier ce aricle, uiliser l'informaion suivane
Plus en détailSYSTÈME HYBRIDE SOLAIRE THERMODYNAMIQUE POUR L EAU CHAUDE SANITAIRE
SYSTÈME HYBRIDE SOLAIRE THERMODYNAMIQUE POUR L EAU CHAUDE SANITAIRE Le seul ballon hybride solaire-hermodynamique cerifié NF Elecricié Performance Ballon hermodynamique 223 lires inox 316L Plaque évaporarice
Plus en détailMINISTERE DE L ECONOMIE ET DES FINANCES
Un Peuple - Un Bu Une Foi MINISTERE DE L ECONOMIE ET DES FINANCES DIRECTION DE LA PREVISION ET DES ETUDES ECONOMIQUES Documen d Eude N 08 ENJEUX ECONOMIQUES ET COMMERCIAUX DE L ACCORD DE PARTENARIAT ECONOMIQUE
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailLE PARADOXE DES DEUX TRAINS
LE PARADOXE DES DEUX TRAINS Énoné du paradoxe Déaillons ou d abord le problème dans les ermes où il es souen présené On dispose de deux oies de hemins de fer parallèles e infinimen longues Enre les deux
Plus en détailMémoire présenté et soutenu en vue de l obtention
République du Cameroun Paix - Travail - Parie Universié de Yaoundé I Faculé des sciences Déparemen de Mahémaiques Maser de saisique Appliquée Republic of Cameroon Peace Wor Faherland The Universiy of Yaoundé
Plus en détailCours d électrocinétique :
Universié de Franche-Comé UFR des Sciences e Techniques STARTER 005-006 Cours d élecrocinéique : Régimes coninu e ransioire Elecrocinéique en régimes coninu e ransioire 1. INTRODUCTION 5 1.1. DÉFINITIONS
Plus en détailTRAVAUX PRATIQUES N 5 INSTALLATION ELECTRIQUE DE LA CAGE D'ESCALIER DU BATIMENT A
UIMBERTEAU UIMBERTEAU TRAVAUX PRATIQUES 5 ISTALLATIO ELECTRIQUE DE LA CAE D'ESCALIER DU BATIMET A ELECTROTECHIQUE Seconde B.E.P. méiers de l'elecroechnique ELECTROTECHIQUE HABITAT Ver.. UIMBERTEAU TRAVAUX
Plus en détailÉquations non linéaires
Équations non linéaires Objectif : trouver les zéros de fonctions (ou systèmes) non linéaires, c-à-d les valeurs α R telles que f(α) = 0. y f(x) α 1 α 2 α 3 x Equations non lineaires p. 1/49 Exemples et
Plus en détailUne union pour les employeurs de l' conomie sociale. - grande Conférence sociale - les positionnements et propositions de l usgeres
Une union pour les employeurs de l' conomie sociale - grande Conférence sociale - les posiionnemens e proposiions de l usgeres Juille 212 1 «développer l emploi e en priorié l emploi des jeunes» le posiionnemen
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailFonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur
Service Commun de Formation Continue Année Universitaire 2006-2007 Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur Polycopié de cours Rédigé par Yannick Privat Bureau 321 - Institut Élie
Plus en détailSURVOL DE LA LITTÉRATURE SUR LES MODÈLES DE TAUX DE CHANGE D ÉQUILIBRE: ASPECTS THÉORIQUES ET DISCUSSIONS COMPARATIVES
Ankara Üniversiesi SBF Dergisi, Cil 66, No. 4, 2011, s. 125-152 SURVOL DE LA LITTÉRATURE SUR LES MODÈLES DE TAUX DE CHANGE D ÉQUILIBRE: ASPECTS THÉORIQUES ET DISCUSSIONS COMPARATIVES Dr. Akın Usupbeyli
Plus en détailUne analyse historique du comportement d épargne des ménages américains
1 ocobre 1 N. 51 Une analyse hisorique du comporemen d épargne des ménages américains Le aux d épargne des ménages américains a riplé depuis le déclenchemen de la crise, inerrompan un mouvemen de baisse
Plus en détailEvaluation des Options avec Prime de Risque Variable
Evaluaion des Opions avec Prime de Risque Variable Lahouel NOUREDDINE Correspondance : LEGI-Ecole Polyechnique de Tunisie, BP : 743,078 La Marsa, Tunisie, Insiu Supérieur de Finance e de Fiscalié de Sousse.
Plus en détail3. Conditionnement P (B)
Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte
Plus en détailMoments des variables aléatoires réelles
Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................
Plus en détailDualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies
Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention
Plus en détailCOURS GESTION FINANCIERE A COURT TERME SEANCE 3 PLANS DE TRESORERIE. François LONGIN www.longin.fr
COURS GESTION FINANCIERE A COURT TERME SEANCE 3 PLANS DE TRESORERIE SEANCE 3 PLANS DE TRESORERIE Obje de la séance 3 : dans la séance 2, nous avons monré commen le besoin de financemen éai couver par des
Plus en détailOBJECTIFS LES PLUS DE LA FORMATION
Formaion assurance-vie e récupéraion: Quand e Commen récupérer? (Ref : 3087) La maîrise de la récupéraion des conras d'assurances-vie requalifiés en donaion OBJECTIFS Appréhender la naure d un conra d
Plus en détailIntégrales généralisées
3 Iégrles géérlisées Pour ce chpire, les focios cosidérées so priori défiies sur u iervlle réel I o rédui à u poi, à vleurs réelles ou complees e coiues pr morceu. L défiiio e les propriéés de l iégrle
Plus en détailSéquence 2. Pourcentages. Sommaire
Séquence 2 Pourcenages Sommaire Pré-requis Évoluions e pourcenages Évoluions successives, évoluion réciproque Complémen sur calcularices e ableur Synhèse du cours Exercices d approfondissemen 1 1 Pré-requis
Plus en détailProgrammation, organisation et optimisation de son processus Achat (Ref : M64) Découvrez le programme
Programmaion, organisaion e opimisaion de son processus Acha (Ref : M64) OBJECTIFS LES PLUS DE LA FORMATION Appréhender la foncion achas e son environnemen Opimiser son processus achas Développer un acha
Plus en détailChapitre 2 L investissement. . Les principales caractéristiques de l investissement
Chapire 2 L invesissemen. Les principales caracérisiques de l invesissemen.. Définiion de l invesissemen Définiion générale : ensemble des B&S acheés par les agens économiques au cours d une période donnée
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailPREMIÈRE PARTIE LIQUIDITÉ ET MICROSTRUCTURE. La Liquidité - De la Microstructure à la Gestion du Risque de Liquidité
PREMIÈRE PARTIE LIQUIDITÉ ET MICROSTRUCTURE Erwan Le Saou - Novembre 2000. 13 La microsrucure des marchés financiers ne serai cerainemen pas au cenre d une liéraure abondane si le concep de liquidié n
Plus en détailCHAPITRE 4 RÉPONSES AUX CHOCS D INFLATION : LES PAYS DU G7 DIFFÈRENT-ILS LES UNS DES AUTRES?
CHAPITRE RÉPONSES AUX CHOCS D INFLATION : LES PAYS DU G7 DIFFÈRENT-ILS LES UNS DES AUTRES? Les réponses de la poliique monéaire aux chocs d inflaion mondiaux on varié d un pays à l aure Le degré d exposiion
Plus en détailSurface de Volatilité et Introduction au Risque de Crédit
Modèles de Taux, Surface de Volailié e Inroducion au Risque de Crédi Alexis Fauh Universié Lille I Maser 2 Mahémaiques e Finance Spécialiés Mahémaiques du Risque & Finance Compuaionelle 214/215 spread
Plus en détailExo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs
Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication
Plus en détailSynthèse de cours (Terminale S) Calcul intégral
Synthèse de cours (Terminle S) Clcul intégrl Intégrle d une onction continue positive sur un intervlle [;] Dns cette première prtie, on considère une onction continue positive sur un intervlle [ ; ] (
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mthémtiques nnée 2009-2010 Chpitre 2 Le prolème de l unicité des solutions 1 Le prolème et quelques réponses : 1.1 Un exemple Montrer que l éqution différentielle :
Plus en détailOue nous disent nos états d'âme?
Oue nous disen nos éas d'âme? Nous avons ous des éas d'âme, enre risesse e sérénié, rancæur e_loie de vivre. Différens des émoions. ces éas de nore conscience e de nore affec reflèen les races d'un passé
Plus en détailRelation d ordre. Manipulation des relations d ordre. Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 Feuille d exercices
Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 MPSI 1 Feuille d exercices Manipulation des relations d ordre. Relation d ordre Exercice 1. Soit E un ensemble fixé contenant au moins deux éléments. On considère la relation
Plus en détailNo 1996 13 Décembre. La coordination interne et externe des politiques économiques : une analyse dynamique. Fabrice Capoën Pierre Villa
No 996 3 Décembre La coordinaion inerne e exerne des poliiques économiques : une analyse dynamique Fabrice Capoën Pierre Villa CEPII, documen de ravail n 96-3 SOMMAIRE Résumé...5 Summary...7. La problémaique...9
Plus en détailProcessus et martingales en temps continu
Chapitre 3 Processus et martigales e temps cotiu 1 Quelques rappels sur les martigales e temps discret (voir [4]) O cosidère u espace filtré (Ω, F, (F ) 0, IP). O ote F = 0 F. Défiitio 1.1 Ue suite de
Plus en détailSuites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite
Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n
Plus en détailThème : Electricité Fiche 5 : Dipôle RC et dipôle RL
Fiche ors Thème : Elecricié Fiche 5 : Dipôle e dipôle Plan de la fiche Définiions ègles 3 Méhodologie I - Définiions oran élecriqe : déplacemen de charges élecriqes q a mesre d débi de charges donne l
Plus en détailAnnuités. I Définition : II Capitalisation : ( Valeur acquise par une suite d annuités constantes ) V n = a t
Annuiés I Définiion : On appelle annuiés des sommes payables à inervalles de emps déerminés e fixes. Les annuiés peuven servir à : - consiuer un capial ( annuiés de placemen ) - rembourser une dee ( annuiés
Plus en détailMODÈLE BAYÉSIEN DE TARIFICATION DE L ASSURANCE DES FLOTTES DE VÉHICULES
Cahier de recherche 03-06 Sepembre 003 MODÈLE BAYÉSEN DE TARFCATON DE L ASSURANCE DES FLOTTES DE VÉHCULES Jean-François Angers, Universié de Monréal Denise Desardins, Universié de Monréal Georges Dionne,
Plus en détailAntique Pattern Library For more information, please see our website at: http://www.antiquepatternlibrary.org
wwwaniquepaernlibraryorg Syske Wijnsma 052012 FREE DISTRIBUTION ONLY - NOT FOR SALE Anique Paern Library For more informaion, please see our websie a: hp://wwwaniquepaernlibraryorg This is a scan of an
Plus en détailCahier technique n 114
Collecion Technique... Cahier echnique n 114 Les proecions différenielles en basse ension J. Schonek Building a ew Elecric World * Les Cahiers Techniques consiuen une collecion d une cenaine de ires édiés
Plus en détailExamen optimisation Centrale Marseille (2008) et SupGalilee (2008)
Examen optimisation Centrale Marseille (28) et SupGalilee (28) Olivier Latte, Jean-Michel Innocent, Isabelle Terrasse, Emmanuel Audusse, Francois Cuvelier duree 4 h Tout resultat enonce dans le texte peut
Plus en détailPour 2014, le rythme de la reprise économique qui semble s annoncer,
En France, l invesissemen des enreprises reparira--il en 2014? Jean-François Eudeline Yaëlle Gorin Gabriel Sklénard Adrien Zakharchouk Déparemen de la conjoncure Pour 2014, le ryhme de la reprise économique
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détail