17. ISOMÉTRIES LINÉAIRES

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1 17 ISOMÉTRIES LINÉAIRES 171 Isométries linéaires dans un espace vectoriel euclidien Soit E un espace vectoriel euclidien Une application linéaire f dans E est appelée isométrie linéaire ssi, quel que soit l élément m de E, on a f (m) = m, autrement dit, ssi f conserve la norme dans E Exemples : L identité id E dans E et l application s : m a - m sont des isométries linéaires de E En effet ces deux applications sont linéaires De plus on a id E (m) = m et s(m) = - m = m, CQFD 1711 Propriétés des isométries linéaires i ) Une application linéaire f de E est une isométrie ssi elle conserve le produit scalaire En effet : f conserve le produit scalaire ssi quels que soient u et v de E, on a f (u) f (v) = u v S il en est ainsi f (u) 2 = f (u) f (u) = u u = u 2 Donc f (u) = u et f conserve également la norme Réciproquement on sait que 2 u v = u + v 2 u 2 v 2 Donc si f conserve la norme on a : 2 f (u) f (v) = f (u) + f (v) 2 f (u) 2 f (v) 2 = f (u + v) 2 f (u) 2 f (v) 2 = u + v 2 u 2 v 2 = 2 u v Donc f (u) f (v) = u v et f conserve également le produit scalaire ii ) Une application linéaire f de E est une isométrie ssi elle conserve la distance En effet d (a, b) = b a, donc si f conserve la norme, alors d (f (a), f (b)) = f (b) f (a) = f (b a) = b a = d (a, b) c -à-d f conserve la distance Réciproquement si f conserve la distance, alors f (u) = f (u 0 E ) = f (u) f (0 E ) = d (f (u), f (0 E )) = d (u, 0 E ) = u, c -à-d f conserve également la norme En résumé: Une application linéaire est une isométrie ssi elle conserve la norme, ssi elle conserve le produit scalaire, ssi elle conserve la distance iii ) Une isométrie linéaire f de E conserve l orthogonalité En effet si u v alors u v = 0, donc f (u) f (v) = 0, car f conserve le produit scalaire, c-à-d f (u) f (v) iv ) Une isométrie linéaire f de E est une bijection dans E En effet si f (m) Ker (f ) alors f (m) = 0 E et, comme f (0 E ) = 0 E, il vient f (m) = f (0 E ) On en déduit que f (m) = f (0 E ) et, comme f conserve la norme, m = 0 E = 0, c -à-d m = 0 E Donc Ker (f ) = {0 E } et f est injective, donc aussi surjective C est donc bien une bijection dans E v ) La composée de deux isométries linéaires est une isométrie linéaire En effet la composée g o f de deux applications linéaires f et g est linéaire Si en plus ce sont des isométries, on a : g o f (m) = g(f (m)) = f (m) = m vi ) Toute isométrie linéaire f possède une application réciproque f -1, qui est elle-même une isométrie linéaire En effet f est bijective, donc elle possède une réciproque f -1 qui, comme f, est linéaire Pour tout m on a alors f o f -1 (m) = m, donc f o f -1 (m) = m Comme f est une isométrie,

2 on a aussi m = f o f -1 (m) = f (f -1 (m)) = f -1 (m) ce qui montre que f -1 (m) = m Donc f -1 est bien une isométrie linéaire Les isométries linéaires de E sont aussi appelées transformations orthogonales Leur ensemble Is est aussi noté O(E) Comme la loi o est associative, mais non nécessairement commutative, ce qui précède montre que : ( O(E), o ) est un groupe non commutatif appelé groupe orthogonal de E 1712 Isométries linéaires et bases orthonormées Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension n Soit B une base orthonormée de E Si f est une transformation orthogonale de E, alors f transforme la base orthonormée B en une base orthonormée f (B) En effet si u est un vecteur de B alors u = 1 donc f (u) = 1, car f conserve la norme et, si u et v sont deux termes distincts de B, alors u v donc f (u) f (v), car f conserve l orthogonalité On en conclut que f (B) est une base orthonormée Réciproquement soit dans E une application linéaire f qui transforme la base orthonormée B = (i, j, k, K) en une base orthonormée B' = (i', j', k', K), avec f (i) = i', f (j) = j', f (k) = k', K Soit m = xi + j + zk + L On a f (m) = f (xi + j + zk + L) = xf (i) + f (j) + zf (k) + L = xi' + j' + zk' + L et comme B et B' sont orthonormées, m 2 = x z 2 + L = f (m) 2, donc f est une isométrie Une application linéaire est une isométrie ssi elle transforme une base orthonormée en une base orthonormée 172 Bases orthonormées dans un plan vectoriel euclidien Dans tout ce qui suit, E est un plan vectoriel euclidien rapporté, à une base orthonormée B = (e 1, e 2 ), et muni d une orientation définie par la forme bilinéaire alternée Ψ, telle que Ψ(e 1, e 2 ) = 1, c-à-d telle que (e 1, e 2 ) est une base directe 1721 Vecteurs orthogonaux aant même norme Pour tout point u non nul de E, il existe deux points v' et v" orthogonaux à u et aant même norme que u Les bipoints (u, v') et (u, v") ont des orientations contraires En effet : Soit u = αe 1 + βe 2 un élément de E Cherchons v = α'e 1 + β'e 2 tels que u v et u = v c-à-d tels que α'α + β'β = 0 et α' 2 + β' 2 = α 2 + β 2 Comme u =/ 0 E, l un au moins de α, β est non nul Si β =/ 0 alors il existe λ tel que α' = λβ et α'α + β'β = 0 devient λβα + β'β = 0 donc β' = - λα Si α =/ 0 alors il existe λ tel que β' = - λα et α'α + β'β = 0 devient α'α λαβ = 0 donc α' = λβ Ainsi dans les deux cas il existe un réel λ tel que α' = λβ et β' = - λα L égalité α' 2 + β' 2 = α 2 + β 2 devient alors λ 2 (α 2 + β 2 ) = α 2 + β 2 donc λ 2 = 1 d où λ = 1 ou λ = -1 On a donc soit α' = β et β' = - α soit α' = - β et β' = α Donc (α', β') = (- β, α) ou (α', β') = (β, - α) Il a donc pour v deux solutions possibles : v' = - βe 1 + αe 2 et v" = βe 1 αe 2 En plus Ψ(u, v') = Ψ(αe 1 + βe 2, - βe 1 + αe 2 ) = (α 2 + β 2 ) Ψ(e 1, e 2 ) = α 2 + β 2 et Ψ(u, v") = Ψ(αe 1 + βe 2, βe 1 αe 2 ) = (- α 2 β 2 ) Ψ(e 1, e 2 ) = - (α 2 + β 2 ) Donc (u, v') et (u, v") existent bien et ont des orientations contraires, CQFD

3 1722 Bases orthonormées dont le premier vecteur est donné On est ramené au problème précédent, avec la condition supplémentaire : les vecteurs ont pour longueurs l unité c-à-d α 2 + β 2 = 1 D où les résultats suivants : Soit B = (e 1, e 2 ) une base orthonormée d un plan vectoriel euclidien E, orienté par la forme bilinéaire alternée Ψ telle que Ψ(e 1, e 2 ) = 1 Si u est le vecteur de E tel que (u) B = α β, avec α 2 + β 2 = 1, alors il existe dans E deux bases orthonormées (u, v') et (u, v") avec (v') B = - β α et (v") B = β - α En plus Ψ((u, v')) = 1 et Ψ((u, v")) = -1 v' e 2 u 0 E e 1 Figurations de B = (e 1, e 2 ), (u) B = α β v", (v') B = - β α et (v") B = β - α 173 Isométries dans un plan vectoriel euclidien Soit Is l ensemble des isométries linéaires du plan vectoriel E rapporté à la base orthonrmée B = (e 1, e 2 ) On sait que si f Is, alors f conserve la norme et l orthogonalité, donc f transforme la base orthonormée B en une base orthonormée Réciproquement soit B' = (e' 1, e' 2 ) une base orthonormée et f une application linéaire transformant B en B' c-à-d telle que f (e 1 ) = e' 1 et f (e 2 ) = e' 2 Soit m = xe 1 + e 2 un élément quelconque de E Comme B est orthonormée, on a m 2 = x On a aussi f (m) = f (xe 1 + e 2 ) = x f (e 1 ) + f (e 2 ) = xe' 1 + e' 2 car, par hpothèse, f est linéaire On en déduit que f (m) 2 = x car B' est par hpothèse également une base orthonormée Ainsi f (m) 2 = m 2, c-à-d f conserve la norme C est donc une isométrie linéaire Dans un plan vectoriel euclidien, une application linéaire f est une isométrie linéaire ssi f transforme une base orthonormée en base orthonormée

4 Pour définir une isométrie linéaire f, il suffit donc de choisir f (e 1 ) et f (e 2 ) de façon que ( f (e 1 ), f (e 2 )) soit une base orthonormée A condition qu il soit unitaire, f (e 1 ) peut être choisi arbitrairement : Cela veut dire que si u est un élément quelconque du cercle unitaire de E, c-à-d s il est de la forme u = ae 1 + be 2 avec a 2 + b 2 = 1, alors on peut donc prendre f (e 1 ) = ae 1 + be 2 On a alors deux choix possibles pour f (e 2 ) : Ou bien f (e 2 ) = be 1 ae 2, ou bien f (e 2 ) = - be 1 + ae 2, ce qui donne deux possibilités pour la matrice de f : Elle est soit de la forme a b b - a, soit de la forme b a, naturellement avec a2 + b 2 = 1 Remarquons que les déterminants de ces deux matrices valent respectivement -1 et +1 On désignera par O - (E) l ensemble des applications f dont la matrice est de la première forme : elles changent l orientation des bipoints Si la matrice de f est de la deuxième forme, f conserve l orientation des bipoints On désignera par O + (E) l ensemble de ces applications On a naturellement O - (E) O + (E) = O(E) et O - (E) O + (E) = ( O(E), o ) est un groupe non commutatif En effet o est une loi de composition interne dans Is car la composée de deux isométries linéaires est une isométrie linéaire On sait que cette loi o est associative, que l application id E qui est neutre pour la loi o, est élément de Is et que toute isométrie linéaire a une application réciproque qui est également une isométrie linéaire En plus on a a b b - a = aa' + bb' ba' ab' ba' ab' - aa' bb' et a b b' a' b - a = aa' bb' ba' + ab' ba' + ab' bb' aa', ce qui prouve que la loi o n est pas commutative En plus elles montrent que : Si f O-(E) et f ' O + (E), alors f o f ' O-(E) et f ' o f O-(E) 174 Smétries orthogonales dans un plan vectoriel euclidien La loi o n est pas une loi de composition interne dans O-(E) En effet la composée f o f ' de deux éléments de O - (E) n est pas un élément de O - (E), car elle change deux fois l orientation des bipoints, ce qui revient à conserver cette orientation Cherchons la nature de f o f Soit a b b - a la matrice de f On a : a b b - a a b b - a = a² + b² ab ab ab ab a² + b² = , d où f o f = id E f est donc involutive, ie f -1 = f Donc f et f -1 échangent tous les deux e 1 et f (e 1 ) Soit alors la bissectrice du bipoint (e 1, f (e 1 )) Comme e 1 et f (e 1 ) sont tous les deux unitaires, a pour vecteur directeur u = e 1 + f (e 1 ) c -à-d (u) B = 1 + a b et (f(u)) B = a b b - a 1 + a a + a² + b² b = b + ba ab = 1 + a b = (u) B, ce qui montre que u est invariant par f Il en résulte que tout point de est invariant par f Soit alors e' 1 un vecteur directeur unitaire de et soit e' 2 un vecteur tel que B' = (e' 1, e' 2 ) soit une base orthonormée de E La base orthonormée (e' 1, e' 2 ) est transformée par f en une base orthonormée (f(e' 1 ), f (e' 2 )) et comme f (e' 1 ) = e' 1, on a nécessairement f (e' 2 ) = - e' 2, car f change l orientation de (e' 1, e' 2 ) Par rapport à la base B', la matrice de f est donc , ce qui montre que f est la smétrie-droite linéaire aant pour axe la droite et pour direction la droite vectorielle orthogonale à On l appelle smétrie linéaire orthogonale d axe Remarquons que si a est un point arbitraire et si a' = f (a), alors le point b = a + a' est invariant par f donc b Or si b =/ 0 E, alors b appartient à la bissectrice de (a, a'), ce qui montre que l axe de f est la bissectrice de (a, a'), à condition que a' =/ - a par exemple si (a, a') est libre Si f O-(E) alors f est une smétrie-axiale linéaire orthogonale L axe de f est la bissectrice d un couple libre (a, f (a)) quelconque

5 Soit (a, b) un bipoint tel que a = b =/ 0 Si a = - b, appelons D la médiatrice de (a, b) et f la smétrie orthogonale d axe D Il est alors évident que f échange les deux points a et b Si a =/ - b posons c = a + b Alors (0 E, a, c, b) est un losange Soit f la smétrie orthogonale aant pour axe la droite vectorielle D engendrée par c Il est évident que D est la bissectrice de (a, b) et que f échange les deux points Donc : Si (a, b) un bipoint tel que a = b =/ 0, alors il existe une smétrie-axiale, linéaire orthogonale, échangeant les points a et b Pour trouver la matrice de f dans la base orthonormée B = (e 1, e 2 ) il suffit de connaître f (e 1 ) Or f (e 1 ) est tel que f (e 1 ) e 1 soit orthogonal à D et que f (e 1 ) + e 1 appartienne à D Soit u un vecteur directeur de D Les deux conditions précédentes se traduisent par u (f (e 1 ) e 1 ) = 0 et det (u, f (e 1 ) + e 1 ) = 0, et si on pose α β = (u) B et a b = (f(e 1 )) B, alors ceci équivaut à αa + βb = α -βa + αb = β, d où a = α 2 β 2 α 2 + β 2 et b = 2αβ α 2 + β 2 Soit B une base orthonormée d un plan euclidien et D une droite vectorielle de vecteur directeur v La smétrie linéaire orthogonale d axe D, a pour matrice a b b - a, avec : a = α 2 β 2 α 2 + β 2, b = 2 α β α 2 + β 2 et α β = (v) B Figuration: U e 2 f( e 1 ) b a+b D 0 e 1 a 175 Rotations linéaires dans un plan vectoriel euclidien Soit O + (E) l ensemble des isométries qui conservent l orientation des bipoints Tout élément de O + (E) est appelé rotation linéaire Soit f et f ' deux rotations linéaires aant pour matrices respectivement M = b a et M' = On a : M M' = b a = aa' bb' - ab' ba' et M' M = ab' + ba' aa' bb' a - b b' a' b a = aa' bb' - ab' ba' ab' + ba' aa' bb' On vérifie sur les matrices que o est une loi de composition interne dans O + (E) mais également que M M' = M' M, donc que f o f ' = f ' o f, ce qui prouve que o est commutative dans O + (E) Naturellement id E O + (E) puisque id E laisse invariant tout élément de E, donc conserve la norme des points ainsi que l orientation des bipoints Enfin en faisant dans M' à la fois a' = a et b' = - b on constate que M M' = mat (id E ) ce qui montre que f possède une réciproque f -1 dans O + (E) et qu on obtient la matrice de f -1 en remplaçant, dans la matrice de f, b par - b Comme en plus o est toujours associative, on peut énoncer : ( O + (E), o ) est un groupe commutatif

6 1751 Cosinus et Sinus d une rotation linéaire Soit f une rotation linéaire définie dans la base B = (e 1, b 2 ) par f (e 1 ) = ae 1 + be 2 et f (e 2 ) = - be 1 + ae 2 avec a 2 + b 2 = 1 Soit B' = (e' 1, e' 2 ) une nouvelle base orthonormée Dans cette base on a : f (e' 1 ) = a' e' 1 + b' e' 2 et f (e' 2 ) = - b' e' 1 + a' e' 2 avec a' 2 + b' 2 = 1 Ainsi M = Mat B (f ) = b a et M' = Mat B' (f ) = On sait qu il existe une rotation linéaire φ transformant e 1 en e' 1 c-à-d telle que φ(e 1 ) = e' 1 Si l orientation de B' est la même que celle de B alors φ(e 2 ) = e' 2, si non, alors φ(e 2 ) = - e' 2 Ainsi φ(e 1 ) = e' 1 et φ(e 2 ) = ε e' 2 avec ε = ±1 Comme la composition des rotations est commutative, on a f (e' 1 ) = f (φ(e 1 )) = φ(f (e 1 )) = φ(ae 1 + be 2 ) = aφ(e 1 ) + bφ(e 2 ) = ae' 1 + bε e' 2 Or f (e' 1 ) = a'e' 1 + b'e' 2 On en déduit que a' = a et b' = ε b avec ε = ±1, suivant que B' est une base directe ou non Ainsi une rotation linéaire f a la même matrice b a par rapport à toute base orthonormée directe de E Les réels a et b ne dépendent pas de la base orthonormée directe choisie, mais uniquement de la rotation f On les appelle respectivement Cosinus et Sinus de f et on les note : a = Cos f et b = Sin f L égalité a 2 + b 2 = 1 entraîne (Cos f ) 2 + (Sin f ) 2 = 1, ce qu on écrit Cos 2 f + Sin 2 f = 1 Soit alors u = x un vecteur unitaire On a f (u) = ax b On en déduit que u f (u) = x(ax b) + (bx + a) bx + a = a(x ) = a = Cos f, et que det (u, f (u)) = x(bx + a) (ax b) = b(x ) = b = Sin f Donc : Si u est un vecteur unitaire et f une rotation linéaire, alors Cos f = u f (u) et Sin f = det (u, f (u)) Si B = (e 1, e 2 ) est une base orthonormée directe, les propriétés des matrices des rotations du groupe commutatif ( O + (E), o ), montrent que si f et g sont deux rotations quelconques, on a : Cos (g o f ) = Cos f Cos g Sin f Sin g, Sin (g o f ) = Sin f Cos g + Cos f Sin g, Cos f -1 = Cos f, Sin f -1 = - Sin f, Cos id E = 1, Sin id E = Smétries axiales linéaires et rotations linéaires On sait que smétries axiales et rotations linéaires sont des isométries et que la composée de deux isométries est une isométrie Composée de deux smétries axiales linéaires Soit s 1 et s 2 deux smétries axiales linéaires Si mat (s 1 ) = a 1 b 1 b 1 - a et mat (s 1 2 ) = a 2 b 2 b 2 - a, alors 2 a 2 b 2 a 1 b 1 b 2 - a 2 b 1 - a = 1 a 1 a 2 + b b 1 2 b a 1 2 a b 1 2 a 1 b 2 b a 1 2 a a b b = 1 2 b a, avec a = a 1 a 2 + b 1 b 2 et b = a 1 b 2 b 1 a 2 Donc s 2 o s 1 = r, où r est la rotation de matrice b a Donc : La composée de deux smétries axiales linéaires

7 est une rotation linéaire Décomposition d une rotation linéaire Soit s une smétrie-axiale linéaire et r une rotation linéaire Si mat (r) = et mat (s) = a b b - a, alors a b b' a' b - a = aa' bb' ba' + ab' et ba' + ab' bb' aa' a b b - a = aa' + bb' ba' ab' ba' ab' - aa' bb' Si on pose : a 1 = aa' bb', b 1 = ba' + ab', a 2 = aa' + bb', b 2 = ba' ab', on obtient : aa' bb' ba' + ab' ba' + ab' bb' aa' = a 1 b 1 b 1 - a = mat (s 1 1 ) et aa' + bb' ba' ab' ba' ab' - aa' bb' = a 2 b 2 b 2 - a = mat (s 2 2 ), où s 1 et s 2 sont deux smétries linéaires Ainsi r o s = s 1 et s o r = s 2 et comme les smétries sont involutives, on en déduit que s 1 o s = (r o s) o s = r o (s o s) = r et s o s 2 = s o (s o r) = (s o s) o r = r, c-à-d r = s 1 o s = s o s 2 Donc : Une rotation linéaire peut être décomposée en deux smétries axiales linéaires Une de ces deux smétries peut être choisie arbitrairement 1753 Smétries linéaires orthogonales (généralisation) Nous avons déjà étudié les smétries linéaires orthogonales dans un plan On peut généraliser cela Soit E un espace vectoriel euclidien et s une smétrie linéaire dans E Si la direction de s est orthogonale à l ensemble des points invariants de s, la smétrie est appelée smétrie linéaire orthogonale Exemples : i ) Dans R 3 1 l application s : m = x a m' = x ' ' z est la smétrie orthogonale par rapport au plan z' P d équation x + 2z = 0 ssi mil (m, m') P et m'm P Si on pose a = 1-1, alors m'm P ssi il 2 existe un réel µ tel que m' = m + µa, et alors mil (m, m') = 1 2 (2m + µa) = 1 2x + µ 2 µ 2 2z + 2µ Donc mil (m, m') P ssi (2x + µ) (2 µ) + 2(2z + 2µ) = 0 d où µ = - x + 2z 3 Donc s x = 1 2x + 2z x z z 3-2x + 2 z ii ) Montrons que dans R 3 1, l application f : m = x z orthogonale a m' = x z 6x + 7 6z 9x 6 + 2z est une smétrie

8 1 2(2x z) + 6(6x + 7 6z) + 9(9x 6 + 2z) On a : f o f (m) = 121 6(2x z) + 7(6x + 7 6z) 6(9x 6 + 2z) = x 9(2x z) 6(6x + 7 6z) + 2(9x 6 + 2z ) = m Donc f o f = id et z f est une smétrie D autre part on a mm' = x z 6x + 7 6z x 9x 6 + 2z = 1-9x z 3x 2 3z 6x 4 6z = z x 6 9z 3-2, ce qui montre -3 que f est la smétrie dont le plan P a pour équation 3x 2 3z = 0 et dont la direction a pour vecteur u = 3-2 qui est orthogonal à P Donc f est la smétrie orthogonale par rapport au plan P -3