Formulaire de maths - Analyse dans R n

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1 Formulaire de maths - Analyse dans R n Nom Théorème ou formule Espaces vectoriels normés Norme sur E Application qui vérifie les propriétés de : séparation : homogénéité : inégalité triangulaire : Normes équivalentes Soient N N deux normes sur E N N sont équivalentes ssi Ouvert de E Un partie A de E est ouverte si Fermé de E Une partie A de E est fermée si son complémentaire est un ouvert de E Norme 1 Soit Alors Norme 2 Soit (norme de la convergence en moyenne) Alors (norme de la convergence en moyenne quadratique) Norme infinie Soit Alors (norme de la convergence uniforme) Continuité Caractérisation séquentielle de la continuité Caractérisation topologique de la continuité Homéomorphisme Fonction lipschitzienne Continuité des applications linéaires Pour que f soit continue en a, il faut il suffit que, pour toute suite qui converge vers a, converge vers f est continue sur D ssi l image réciproque de tout ouvert (resp fermé) de F est un ouvert (resp fermé) de E f est un homéomorphisme ssi f est bijective si f sont toutes deux continues est lipschitzienne de rapport ssi Si E est de dimension finie, tout est continue Si E, F G sont de dimensions fines, toute application bilinéaire de dans G est continue Page 1

2 Calcul différentiel dans R n Fonction de classe C k Schwarz On dit que f, définie sur un ouvert D de R n, est de classe C k sur D si toutes ses fonctions partielles sont k fois dérivables de dérivées k-ièmes continues sur D Si au moins une des deux dérivées partielles est continue en a, alors Fonction différentiable Soit f définie sur un ouvert de à valeurs dans On dit que f est différentiable en si Dans ce cas, l est unique est notée Matrice jacobienne Soit On appelle matrice jacobienne de f en a la matrice de ses différentielles en a Difféomorphisme Soient, U un ouvert de On dit que f est un difféomorphisme de U sur V si f est une bijection si sont de classe respectivement Intégrales multiples Sommes de Riemann f étant continue sur R, soit la subdivision de R obtenue en partageant (resp ) en m (resp n) intervalles égaux On a alors : Propriétés de l intégrale Majoration de l intégrale - La fonction intégration est linéaire - La fonction intégration est croissante On a : Fubini Soit On a : changement de variables Soient E D deux sous ensembles ouverts bornés de une bijection de classe de E sur D dont le jacobien ne s annule pas Alors pour tout Page 2

3 continue bornée, on a : Forme différentielle de degré 1 Intégrales curvilignes Application où U est un ouvert de En notant la i-ème projection de sur, elle s écrit : Les sont les fonctions coordonnées de Forme exacte Une forme différentielle est exacte si Forme fermée est fermé si, CN d une forme exacte Une forme différentielle exacte de classe toujours fermée, ie Ouvert étoilé Un ouvert U de est étoilé si Poincaré Intégrale le long d un arc orienté est Si U est un ouvert étoilé, alors on a l équivalence : exacte sur U fermée sur U P, Q R étant continues, on appelle intégrale curviligne de la forme différentielle le nombre noté Formule de Green - Riemann Soient D une partie fermée bornée du plan limitée par un bord C de classe par morceaux, P Q des fonctions de classe dans D On a alors : Suites de fonctions Convergence simple Convergence uniforme Note Continuité de la limite converge simplement vers f sur I si converge uniformément vers f sur I si =0 lim sup =0 La convergence uniforme entraîne la convergence simple Si converge uniformément vers f sur I, si est continue sur I, alors f est continue sur I Page 3

4 Intégration de la limite Si la suite converge uniformément vers f sur I, si est continue sur I, alors, on a : Dérivation de la limite Soit une suite de fonctions de classe sur I, convergeant en un point a de I Si la suite des dérivées converge uniformément sur I, alors converge uniformément vers une fonction f de classe sur I telle que Séries de fonctions Convergence simple La série converge simplement sur I si la suite converge simplement On note : Convergence uniforme Convergence normale La série La série converge uniformément sur I si la suite converge uniformément converge normalement sur I si converge Convergence absolue La série converge absolument sur I si converge Note La convergence normale entraîne la convergence uniforme la convergence absolue La convergence absolue entraîne la convergence simple Critère de La série converge normalement ssi convergence positive telle que normale converge continuité Théorème d intégration terme à terme dérivation terme à terme Si converge uniformément si continue sur I, alors la somme S est continue sur I Si converge uniformément si continue sur I, alors, Si converge uniformément, si est de classe sur I, si converge uniformément, alors la somme S est de classe vérifie : Page 4

5 Séries entières Définition Série de fonctions de la forme où Lemme d Abel Si la suite est bornée, alors converge absolument pour tout z tel que Rayon de convergence converge bornée Note Pour, on ne sait pas conclure sur la nature de la série Soit une série à termes positifs telle que Critère de admte une limite l en Si, la série converge d Alembert si, elle diverge On ne peut rien dire pour le cas Opérations algébriques sur les rayons de convergence les sommes Continuité Dérivabilité Intégration Fonction développable en série entière Dérivabilité Soient deux séries entière de rayons de convergence respectifs de sommes Alors : - Linéarité : la série a pour somme son rayon de convergence R vérifie : si si - produit : la série a pour somme son rayon de convergence R vérifie La somme d une série entière est continue sur son disque ou son intervalle de convergence est dérivable dans on a : Une série entière sa dérivée ont le même rayon de convergence On considère la série entière Pour tout, on a :, de même rayon de convergence que la série initiale On dit qu une fonction f d une variable réelle définie sur un ouvert U contenant l origine est développable en série entière si il existe une série entière de rayon de convergence non nul telle que : (unique) Si f est développable en série entière, alors f est infiniment dérivable Condition suffisante Si f est sur si alors f est analytique en Page 5

6 Séries de Fourier On considère une fonction f T périodique Dérivée d une fonction périodique Intégrale d une fonction périodique Pulsation La dérivée d une fonction périodique est elle-même périodique de même période L intégrale d une fonction continue de période T est indépendante de ses bornes sur un intervalle de longueur T, ie : Coefficients réels de Fourier Coefficients complexes Relations de passage Série de Fourier réelle d une fonction périodique On associe à f une série qui, lorsqu elle converge, définie une fonction f périodique de période T Série de Fourier complexe d une fonction périodique Propriétés - Si f est paire, alors, soit - Si f est impaire, alors, soit Si f est périodique de période T de classe Dirichl par morceaux sur rout un segment de longueur T, alors la série de Fourier de f converge Remarque Formule de Parseval Si f est continue en t, alors Si f est continue par morceaux sur un segment de longueur T, alors : Inégalité de Bessel Page 6

7 Convergence en moyenne quadratique Fonctions définies par une intégrale Continuité sous le signe intégrale Si telle que - est continue sur A - est continue par morceaux intégrable sur I - continue par morceaux intégrable sur I telle que Alors est continue sur A Si telle que Dérivabilité sous le signe intégrale - existe pour tout - est continue sur A pour tout t élément de I - sont continues par morceaux intégrables sur I pour tout - continue par morceaux intégrable sur I telle que - Alors est de classe Formule de Leibniz Page 7