Chapitre 4 : Géométrie plane

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1 hapitre 4 : Géométrie plane I Rappels et compléments sur les vecteurs I Vecteurs et géométrie Égalité de deux vecteurs : = D ssi D est un parallélogramme (éventuellement aplati) D ddition de vecteurs : Pour construire le vecteur u + v, on représente u et v bout à bout v u+v v u u Relation de hasles : + = 3 Règle du parallélogramme : D est un parallélogramme ssi + D = D D

2 4 Opposé d un vecteur : = 5 Milieu d un segment : I est le milieu de [] ssi I = I, ssi I+ I = 0, ou = I I Exercice Montrer le résultat suivant : Si I est le milieu de [], alors pour tout point M, M+ M = MI I M I Géométrie analytique (avec les coordonnées) Toutes les relations sont données pour des vecteurs du plan, et se généralisent aisément à l espace Soient ( ) x u et ( ) x v y y deux vecteurs du plan dans un repère (O; i; j) u = v ssi (x = x et y = y ) (Deux vecteurs sont égaux ssi ils ont les mêmes coordonnées) u+v a pour coordonnées ( ) x+x u+v y +y 3 k u, (k R) a pour coordonnées k ( ) kx u ky ( ) x x 4 a pour coordonnées y y 5 Le milieu I de [] a pour coordonnées x I = x +x 6 En repère orthonormé, la distance entre deux points et est, y I = y +y = (x x ) +(y y ) la norme (ie la longueur) du vecteur ( ) x u est u = x y +y Propriété Pour tout vecteur u et pour tout réel k, k u = k u Rappel : k est la valeur absolue de k k = k si k 0, et k = k si k < 0

3 (onstruction géométrique du vecteur k u) Si k = 0 ou u = 0, alors k u = 0 Sinon, k u est déterminé par : Si k > 0, u et k u sont de même sens Si k < 0, u et k u sont de sens contraires, La norme de k u est la norme de u multipliée par k Propriété (Règles de calcul) Soient u et v deux vecteurs, k et k deux réels k( u + v ) = k u +k v (k +k ) u = k u +k u (k k ) u = k(k u) k ( u = 0 ssi k = 0 ou ) u = 0 Un vecteur non nul est entièrement déterminé par 3 informations : sa direction, celle de la droite (), son sens, de vers, sa norme, la longueur II Vecteurs colinéaires pplications Définition Soient u et v deux vecteurs non nuls u et v sont colinéaires ssi il existe k R tel que v = k u Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur Deux vecteurs non nuls sont colinéaires ssi ils ont la même direction Deux vecteurs colinéaires non nuls ont leurs coordonnées proportionnelles Exercice Déterminer graphiquement les vecteurs colinéaires à un vecteur donné: ressource Traduire la colinéarité de deux vecteurs de coordonnées fixées par une relation vectorielle : ressource 5 Propriété (pplications) Parallélisme Soient,, et D quatre points du plan, avec et D Les droites () et (D) sont parallèles si et seulement si les vecteurs et D sont colinéaires lignement Les points, et M sont alignés si et seulement si les vecteurs et M sont colinéaires 3

4 D M Exercice 3 ) = 3 ( +) Montrer que, et sont alignés ),, et D sont 4 points du plan tels que D = (5 + 3 ) Montrer que ()//(D) Théorème (aractérisation analytique de la colinéarité) Les vecteurs ( ) x u et ( ) x v y y du plan sont colinéaires si et seulement si xy yx = 0 Le nombre x y x y est appelé le déterminant de u et de v Démonstration Supposons que u et v soient colinéaires Si u = 0, x = y = 0, et l égalité xy yx = 0 est vraie Sinon, il existe alors un réel k tel v = k u insi, ( ) kx v ky lors, det( u; v ) = xy yx = x ky y kx = kxy kxy = 0 On a montré que si u et v sont colinéaires, alors xy yx = 0 Réciproquement, supposons que xy yx = 0 ( ) lors, xy = yx Si u = 0, alors u est colinéaire à v On peut donc supposer que u est non nul ela signifie que l une (au moins) de ses coordonnées (x;y) est non nulle Par exemple, supposons que ça soit x : x 0 La relation ( ) peut alors s écrire y = x x y En posant k = x x, on a donc y = ky, et on a également x = kx insi, v = k u, et les vecteurs u et v sont colinéaires Donc si xy yx = 0, alors u et v sont colinéaires onclusion : u et v sont colinéaires si et seulement si xy yx = 0 Exercice 4 Déterminer l abscisse ou l ordonnée d un vecteur colinéaire à un vecteur de coordonnées fixées : ressource 6 Propriété Soient i et j deux vecteurs non colinéaires (donc non nuls) lors, pour tout vecteur u du plan, il existe un unique couple de réels (x;y) tels que On dit que ( i ; j ) est une base du plan u = x i +y j Exemple : u = 3 i + j 4

5 u j i Définition (nouvelle définition d un repère du plan) On définit un repère du plan par la donnée d un triplet (O; i ; j ) où O est un point, et i, j sont deux vecteurs non colinéaires lors, les coordonnées d un point M sont l unique couple (x;y) de réels tels que OM = x i +y j j y OM M O i x Exercice 5 (Terracher page 33) onstruire un parallélogramme D et les points I et J tels que I = et J = 3 D Montrer que IJ = 3 +3 D 3 Montrer que I = + D 4 Prouver que I et IJ sont colinéaires 5 Que peut-on en conclure sur les points I, J et? III Équation de droite Vecteur directeur d une droite Définition Soient D une droite, et, deux points distincts de D On appelle vecteur directeur de D tout vecteur non nul colinéaire à 5

6 D u Une droite est entièrement déterminée par la donnée d un point et d un vecteur directeur Plus précisément, soient un point et u un vecteur non nul La droite passant par et dirigée par u est l ensemble des points M tels que M est colinéaire à u M D(, u) M est colinéaire à u il existe k R tel que M = k u M D u Théorème On se place dans un repère du plan Toute droite admet une équation de la forme ax+by+c = 0 où a, b, et c sont des réels, et (a;b) (0;0) Réciproquement, si a, b et c sont des réels et (a;b) (0;0), alors ax+by +c = 0 est l équation d une droite Démonstration Soient (x ;y ) un point, et ( ) α u un vecteur non nul (donc (α;β) (0;0)) β On note D la droite passant par et dirigée par u Soit M(x;y) M D ( ) x x M est colinéaire à ( ) α u y y β (x x )β (y y )α = 0 β x+( α) y +(αy }{{} βx ) = 0 }{{} } {{ } a b c On reconnaît la forme ax+by +c = 0, et comme u 0 on a bien (a;b) (0;0) Réciproquement, considérons l ensemble E des points M(x;y) tels que ax+by+c= 0, avec (a;b) (0;0) E est toujours non ( vide : si a 0, M 0 c ) a ;0 E, ( sinon, b 0, et M 0 0; c ) E b 6

7 onsidérons un point M 0 (x 0 ;y 0 ) E On va montrer que E est la droite passant par M 0 et dirigée par le vecteur u nul par hypothèse) Soit M(x;y) un point du plan omme M 0 E, on a ax 0 +by 0 +c = 0 ( ) M(x;y) E ax+by+c = 0 a(x x 0 )+b(y y 0 ) = 0 ( en soustrayant la relation ) ( ) x x0 est colinéaire à ( b u y y 0 a M 0 M Donc E est la droite passant par M 0 et dirigée par u ( ) b (non a ) (critère de colinéarité) ( ) b a Propriété (équation réduite) L équation d une droite peut toujours s écrire de l une des deux façons suivantes : y = mx+p pour les droites non parallèles à (Oy) m est appelé le coefficient directeur, p l ordonnée à l origine x = k pour les droites parallèles à (Oy) Théorème (vecteur directeur) La droite d équation ax+by +c = 0 est dirigée par le vecteur u La droite d équation y = mx+p est dirigée par le vecteur u 3 La droite d équation x = k est dirigée par le vecteur j ( ) 0 ( b a ( ) m ) Une droite admet une infinité de vecteurs directeurs, tous colinéaires entre eux Si u est un vecteur directeur d une droite D, alors les vecteurs directeurs de D sont les vecteurs non nuls colinéaires à u Exercice 6 Donner les coordonnées d un vecteur directeur d une droite : ressource 40 Propriété Deux droites sont parallèles si et seulement si un vecteur directeur de l une est colinéaire à un vecteur directeur de l autre Pour étudier si deux droites sont parallèles, on peut aussi comparer leurs coefficients directeurs (s ils existent) Rappel : Soient (x ;y ) et (x ;y ) deux points d abscisse distincte (x x ) Le coefficient directeur de la droite () est m = y y x x 7