Chapitre 8 Vecteurs et repérage dans l'espace

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1 Chapitre 8 Vecteurs et repérage dans l'espace A) Vecteurs dans l espace 1) Définition À tout couple de points A et B de l espace, on associe le vecteur AB. Si A = B, on dira que AB= 0, vecteur nul. Sinon, on peut caractériser AB par sa longueur AB, sa direction (AB) et son sens (de A vers B). On appellera aussi norme de AB la longueur AB, soit AB = AB. Deux vecteurs sont égaux lorsqu ils ont même direction, même sens et même longueur. Exemple : 2) Propriétés a) Si A, B, C et D ne sont pas alignés, AB= DC ABCD est un parallélogramme. b) Pour tout point A et tout vecteur u de l espace, il existe un unique point M tel que : AM = u. c) Les règles de calcul sont les mêmes que dans le plan (relation de Chasles, addition, multiplication par un réel, etc ). 3) Colinéarité, parallélisme, alignement a) Définition On dit que deux vecteurs sont colinéaires lorsqu ils ont même direction. Autrement dit, AB et CD colinéaires <=> (AB) // (CD) (Attention, dans l espace deux droites non concourantes ne sont pas forcément parallèles!). Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.

2 b) Théorèmes u et v colinéaires <=> k R tel que u=k v ou v=k u. A, B,et C alignés <=> AB et AC colinéaires. La droite (AB) est le lieu des point M tels qu il existe un réel k avec AM =k AB. (Un "lieu" est un ensemble de points qui vérifient une condition donnée). c) Exemples Dans ce cube (I est sur [EB]) : I) HI et ID sont - ils colinéaires? II) AB= HG? III) BI et EB sont - ils colinéaires? IV) AC et IG sont -ils colinéaires? V) Exprimer AG en fonctions de AB, ADet AE B) Vecteurs coplanaires 1) Caractérisation vectorielle d un plan Soit A, B et C trois points non alignés. Par A, B et C passe un unique plan (ABC) et ce plan est le lieu des points M tels que AM = x AB y AC avec x et y qui parcourent l'ensemble des réels R. On dit que AB et AC sont des vecteurs directeurs du plan (ABC). A, AB, AC forme un repère du plan (ABC), x et y sont les coordonnées de M dans ce repère. 2) Définition Dire que trois vecteurs u, v et w sont coplanaires signifie que si on choisit un point O quelconque, O et les points A, B et C tels que OA= u, OB= v et OC= w sont dans le même plan

3 de repère O, u, v, w. Remarque Si deux de ces trois vecteurs sont colinéaires, les trois vecteurs seront nécessairement coplanaires. En effet, supposons que u=k v,donc OB=k OA, on aura alors O, A et B alignés et le plan contenant O, A et C contiendra aussi B, donc contiendra les quatre points. 3) Théorème Soit u et v non colinéaires. u, v et w coplanaires <=> aet b R w=a u b v Démonstration : Soit O, A, B et C tels que OA= u, OB= v, et OC= w. Puisque ces vecteurs sont coplanaires, on aura C OAB. u et v étant non colinéaires, O ; u ; v est un repère pour (OAB). C aura donc dans ce repère des coordonnées (a ; b) telle que OC=a OA b OB, et donc w=a u b v Réciproquement, si w=a u b v, en choisissant toujours un point O et en définissant A, B et C comme ci-dessus, on aura OC=a OA b OB, donc C sera le point du plan (OAB) de coordonnées (a ; b) dans le repère O ; OA; OB. Exemple : Démontrer que BG, GH et IJ sont coplanaires (examiner le triangle EBH). Exercices Page 321 N 13, 14, 16 C) Repérage dans l espace 1) Repère dans l'espace Choisir un repère dans l espace, c est se donner un point O et trois vecteurs non coplanaires i, j et k. Le triplet i ; j ; k est appelé base des vecteurs de l espace.

4 2) Coordonnées Soit un repère O ; i ; j ; k de l espace. Pour tout point M de l espace, il existe un triplet unique de coordonnées (x ; y ; z) telles que OM = x i y j z k. Pour tout vecteur u de l espace, il existe un triplet unique de coordonnées (x ; y ; z) telles que u=x i y j z k. 3) Calculs sur les coordonnées Tous les résultats de la géométrie plane s étendent à la géométrie dans l espace : a) k R, si u x ; y ; z alors k u kx ; ky ; kz. b) Si u x ; y ; z et v x ' ; y' ; z ', Alors u v x x ' ; y y ' ; z z ' c) Si A x ; y ; z et B x ' ; y ' ; z ', Alors AB x ' x ; y ' y ; z ' z d) Le milieu de [AB] avec A et B ci-dessus sera I x x' 2 ; y y' 2 ; z z ' 2. 4) Exemples a) Soit A(1 ; 2 ; 3), B(-1 ; 3 ; 3) et C(4 ; -1 ; 2). Soit D tel que ABCD soit un parallélogramme. Calculer les coordonnées de D, puis celles du centre I du parallélogramme, donc milieu de [AC]. Remarque : Calculer les coordonnées du milieu J de [BD], on retrouve bien I = J! b) ABCDEFGH est un parallélépipède ; I est le centre de gravité de BEG. Démontrer analytiquement, en choisissant un repère simple, que I DF. Indices : - prendre le repère A ; AB ; AD ; AE. - I étant l'isobarycentre de B, G et E, on a :

5 AE AB AG=3 AI, donc AE AB AG AI =. 3 Exercices : Page 321 N 19, 20, 21, Page 322 N 25, 30, 34 D) Distance dans l espace 1) Repère orthonormal On dit qu un repère O ; i ; j ; k est orthonormal lorsque la longueur de i, j et k vaut 1 et que les directions de i, j et k sont toutes orthogonales deux à deux. Autrement dit, en introduisant les points I, J et K tels que OI = i, OJ = j,et OK= k, on doit avoir. OI = OJ = OK = 1. (OI) (OJ), (OJ) (OK) et (OI) (OK). 2) Distance, norme d un vecteur On a OM'² = OB² + BM'² = OA² + OB² = x² + y² Et OM² = OM'² + MM'² = x² + y² + OC² = x² + y² + z². On obtient donc OM² = x² + y² + z². D où OM = x 2 y 2 z 2. La norme d un vecteur est la racine carrée de la somme des carrés des coordonnées. La distance entre deux points A et B est égale à la norme du vecteur AB. Soit A(x A ; y A ; z A ) et B(x B ; y B ; z B ) : Alors AB= x B x A 2 y B y A 2 z B z A 2 En effet, AB xb x A ; y B y A ; z B z A.

6 Exemples a) A(2 ;3 ;2) B(-2 ;-1 ;2) C(-2 ;3 ;-2) Calculer AB, AC, et BC = 4 2. Nature du triangle ABC? (équilatéral) b) Soit C(1 ;2 ;4) et M(x ;y ;z) Trouver l'expression de CM CM = x 1 2 y 2 2 z 4 2 Trouver l équation de la sphère de centre O et contenant C x 2 y 2 z 2 =21 car OC= 21. Trouver l équation de la sphère de centre C et de rayon 5 (x - 1)² + (y - 2)² + (z + 4)² = 25 Exercices Page 322 N 39, 40, 42 Page 323 N 46, 48 E) Le barycentre dans l espace soit : x² + y² + z² -2x 4y + 8z 4 = 0 1) Définition et propriétés La définition du barycentre à n points s étend sans problèmes à l espace, ainsi que les propriétés d homogénéité, d associativité et que le théorème fondamental. 2) Théorème De plus, si A, B, C et D sont quatre points tels que AB ; AC ; AD soit une base de l espace, le lieu des barycentres de A, B, C et D avec des coefficients variables a, b, c et d est l espace tout entier. Démonstration : Choisissons le repère de l'espace A ; AB ; AC ; AD Soit M(x ;y ;z) : on a AM = x AB y AC z AD. Donc MA x AM MB y AM MC z AM MD = 0. D où 1 x y z MA x MB y MC z MD= 0. M est donc le barycentre de (A, 1 x y z), (B, x), (C, y) et (D, z). (on vérifie que (1 x y z) + x + y + z = 1 n'est pas nul). Réciproquement, si M est le barycentre de (A ;a), (B ;b), (C ;c) et (D ;d), on aura a MA b MB c MC d MD= 0. D où a b c d AM =b AB c AC d AD Ou encore b AM = a b c d c AB a b c d d AC a b c d AD (on a le droit de diviser par a + b + c + d car c'est différent de zéro puisqu'il s'agit d'un barycentre).

7 b Donc M est le point de l espace de coordonnées a b c d ; le repère A ; AB ; AC ; AD. 3) Coordonnées du barycentre Soit G le barycentre de (A, a), (B, b), (C, c) et (D,d) : c a b c d ; Les coordonnées du barycentre G seront (remarquons que a+b+c+d ne doit pas être nul) : G a x b x c x d x A B C D, a y b y c y d y A B C D, a z b z c z d z A B C D a b c d a b c d a b c d. Autrement dit, ses coordonnées sont les moyennes pondérées de celles de A, B, C et D. Ceci s'étend sans problème au barycentre de n points. Exemple : d a b c d dans Trouver les coordonnées du barycentre G =B((A,3) ; (B,2) ; (C,1)), avec A(2 ;3 ;2), B(-2 ;-1 ;2), et C(-2 ;3 ;-2). 4) Exemples et applications Soit ABCD un tétraèdre et G son isobarycentre. a) Comment construire G? I) Construire le centre de gravité G 1 de ABC G 1 =B((A,1) ; (B,1) ; (C,1)). Par associativité, G = B((G 1,3) ; (D,1)) Donc 3 GG 1 GD= 0et 4 GG 1 DG 1 = 0 D où DG 1 =4 GG 1 et GG 1 = 1 4 DG 1 II) Placer les milieux de deux arêtes opposées par exemple [AB] et [CD], soit I et J ces milieux. G sera le milieu de [IJ] (à démontrer) En déduire que si K et L sont des milieux de [AC] et [BD], [IJ] et [KL] se coupent en leur milieu, qui est G. b) On appelle médiane issue de D la droite (DG 1 ). Prouver que les quatre médianes du tétraèdre sont concourantes. c) Prouver que DA DB DC=4 DG. Exercices Page 323 N 50, 51, 54 Page 330 N 115 Page 331 N 127 Page 324 N 58 Page 325 N 62 Page 327 N 86, 87, 89