Calcul intégral Exercices supplémentaires

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1 Calcul intégral Ercics supplémntairs A. Intégration par partis () sin d cos( )d () ln d () Arctan d Arcsin d Arccos( ) (7) d (8) d (9) d () ( ) d d d ( ) d sin d () sin(ln )d t cos(ln )d d (7) d ln ( + ) d (8) Arctan d t Arctan (9) cos d t sin d (0) () sin d ln( )d + n () ln d avc n () cos ln( + cos )d () ln( + )d t ( + + ) ln d B. Intégration par substitution (changmnt d variabls) d ln( + )d () Rfair ls mpls 7, 8, 7 d l rcic précédnt n faisant un changmnt d variabls affin. d + d () ( ) () (7) (8) + d 7 + d 5 d posr : t = d ( + ) d

2 (9) () () (7) (8) d posr : u= + d d posr : v= d + posr : t = + + d posr : t d posr : t d 9 posr : = cost = + ou = tan = d posr : = sin d posr : = sin d posr : t t = cost = t, puis utilisr l. précédnt u C. Intégrals trigonométriqus () () sin cos d cos sin d cos sin d () ( ) cos d tan d sin cos d (7) sin 5 sin 7 d (8) cos cos d (9) cos cos sin d sin d sin () d cos d sin posr : t = tan d posr : t = tan sin + cos () d cos + posr : t = tan d posr : t = tan sin cos d posr : t = sin sin

3 D. Intégration d fractions rationnlls () d 9 d + 5+ () + + d () + d ( )( )( ) d d + (7) + d ( ) (8) d + (9) d + 5 ( ) E. Problèms () Soit r > 0. Calculr : a) b) a) () a) r d () () ( )( + + 5) d ( + )( + ) + d + 9 d + ( ) ( )( + ) d d + d + + d + 5+ ( ) r d a) posr : = rsin t ou b) intégrr par partis d + b) En déduir : c) En déduir : d b) En déduir : c) En déduir : + a d posr :, avc a > 0 = tant avc + a d, avc a > 0, par partis, sur ], + [ posr : d) Calculr aussi : a d, avc > 0 < t <, puis u= sin t = cost avc 0 < t <, puis u= sin t a, sur ], a + [ a d, avc a > 0, sur ], a + [ a d t a d sur ], a [ (posr : = u)

4 () Soit f t g définis par : f = t ( ) cos ( ) sin g= a) Calculr ls intégrals indéfinis : [ f( ) + g ( )] d t [ ] b) En déduir f( )d t g ( )d f( ) g ( ) d F. Intégrals définis sin d () ( ) + d 0 sin () d 0 cos () + 0 d ( ) d 0 tan a d, avc a > 0 0 a+ (7) d, posr t = tan 0 sin cos ln cos d (8) ( + ) 0 (9) () () d sin cos d ( + cos) 5 d + Arctan d d + d + d + G. Calculs d airs (quadraturs) () Détrminr l air d la parti du plan délimité par l graph d la fonction f, l a ds abscisss t ls droits d équations = a t = b dans ls cas suivants : f( )= a = b = () + () 0 + () tan sin ( + )ln( + ) (7) sin( ) 0 55

5 Détrminr l air d la parti du plan délimité par ls graphs ds fonctions f t g, t ls droits d équations = a t = b dans ls cas suivants : f( )= g ( )= a = b = () 5 ln () () + cos sin 5 () Détrminr l air d la parti fini (borné) du plan délimité par ls graphs ds fonctions suivants dans ls cas suivants : f( )= g ( )= h ( )= k( )= () / / / / () + / / ln ln + ln / (7) + / + + () a) Détrminr l nsmbl ds primitivs d la fonction f : r où r st un nombr rél strictmnt positif. b) Soit ls crcls : + y = t : + y = 0 t soit t ls du disqus d bords t rspctivmnt. Fair un figur t détrminr par l calcul ls points d intrsctions ds du crcls. Détrminr nsuit par un calcul intégral l air d. Indication : utilisr l résultat d la qustion a) pour calculr ls intégrals définis. En déduir l air d. 5

6 H. Calculs d volums (cubaturs) () Calculr l volums ds ds solids d révolution obtnus par la rotation autour d l a ds abscisss ds surfacs colorés ci-après : a) b) c) L «huit» ou lmniscat d Grono d) Calculr n fonction d θ : ) Calculr n fonction d θ :

7 En supposant qu a > 0 t b > 0, calculr l volum ds solids d révolution obtnus par la rotation autour d l a ds abscisss ds surfac décrits ci-après : y a) la surfac délimité par l llips d équation + = t l a ds abscisss a b (llipsoïd) ; y b) la surfac délimité par l hyprbol d équation =, ls droits = r t b a = r, t l a ds abscisss (hyprboloïd à un napp) ; y c) la surfac délimité par l hyprbol d équation =, ls droits = r t a b = r avc r> a t l a ds abscisss (hyprboloïd à du napps) () a) Linéarisr sin t n déduir sin d sur. b) Soit f la fonction défini sur [0, ] par : f( ) = sin. Détrminr la valur act du volum du solid ngndré par la rotation autour d l a ds abscisss d la surfac compris ntr l graph d f (ci-contr) t l a ds abscisss. () Soit λ un rél positif t S ( λ ) la surfac du plan délimité par : l graph d la fonction ls droits = 0, = λ t y =. f : t ( + ) On not ( λ ) l air d la surfac S ( λ ) t ( ) obtnu n faisant tournr la surfac S ( λ ) autour d l a ds abscisss. a) Fair un figur. b) Montrr qu la fonction λ ( λ) c) Calculr ( λ ), puis lim ( ) λ + d) Calculr ( λ ), puis lim ( λ ). λ + 7 λ l volum du solid d révolution, avc λ + st strictmnt croissant. λ. Intrprétr géométriqumnt ctt limit. ) Calculr l volum du solid d révolution obtnu n faisant tournr la surfac S ( ) (avc λ= ) autour d l a ds ordonnés. Dans un rpèr orthonormé du plan, on donn : la parabol d'équation y = la droit d'équation y =, la droit d m, d'équation y = m, avc 0 m. On not la parti du plan délimité par la parabol t la droit. a) Illustrr la situation à l'aid d'un graphiqu. b) La droit m d partag l domain n du partis. Détrminr la valur d m pour laqull cs du partis ont mêm air.

8 c) Calculr l volum du solid obtnu par la rotation d la surfac autour d l'a ds abscisss. d) Calculr l volum du solid obtnu par la rotation d la surfac autour d la droit. ) Comparr ls volums ds du solids. I. Méthods ds rctangls t ds trapèzs () a) Rapplr la démonstration d la formul : n( n+ ) S( n) = n= b) Démontrr (par récurrnc ou par un autr méthod) qu : n( n+ )( n+ ) S( n) = n = ( ) n n+ t S( n) = n = c) Au 7 siècl, Pascal, Frmat t Wallis ont détrminé ls valurs ds intégrals : k Ik = d=, pour k 0 k + sans aucun connaissanc du calcul d primitivs. Lur astuc consistait à appliquant la méthod ds rctangls. Rtrouvr par ctt méthod I t I n utilisant ls formuls ds points a) t b). En comparant ds somms t ds intégrals, montrr qu : a) =+ On dit qu la séri harmoniqu, c.-à-d. la somm ds invrss ds ntirs naturls non nuls divrg. La signification précis st qu si l on définit ls somms partills : H = + N N, pour N > 0 alors : lim H = + N + N b) <+ La valur act d ctt séri (ds invrss ds carrés ds ntirs naturls non nuls) a été détrminé n 75 par Eulr : c st /. () On définit pour tout ntir naturl non nul : Sn = ln ln + ln ln n a) En utilisant un «méthod ds rctangls», montrr qu : S nln n n+ b) En utilisant un «méthod ds trapèzs», montrr qu : c) En déduir un ncadrmnt d n!, pour tout n. n Sn nln n n+ ln n+ 8