1. a) Le débit étant constant, sa représentation graphique est une droite horizontale.

Transcription

1 Chapire Inégraion : une inroducion CHAPITRE EXERCICES.. a) Le débi éan consan, sa représenaion graphique es une droie horizonale. Débi (L/min) D() b) Le volume de liquide es représené par l aire sous la courbe de la foncion débi dans l inervalle [0; ]. La figure éan un recangle, l aire es le produi de la base par la haueur. La base es la longueur de l inervalle de emps, soi : = 0 = min La haueur es le débi de L/min. Le volume de liquide es donc : V() = L/min min = 00 L Débi (L/min) D() V() 7 D() c) Le volume de liquide es représené par l aire sous la courbe de la foncion débi dans l inervalle [0; ]. La figure éan un recangle, l aire es le produi de la base par la haueur. La base es la longueur de l inervalle de emps, soi : = 0 = min La haueur es le débi de L/min. Le volume de liquide es donc : V() = L/min min = L Débi (L/min) V() 7 V() d) Le volume de liquide éan décri par une foncion affine, sa représenaion graphique es une droie de pene L/min. De plus, cee droie passe à l origine car iniialemen le réservoir es vide. Volume (L) a = L/min V() = L. a) La force éan consane, sa représenaion graphique es une droie horizonale. F Le ravail accompli es représené par l aire sous la courbe dans l inervalle [0; ], soi : T() = N m = 00 N m = 00 J. Force (N) T() Déplacemen du poin d applicaion (m) s

2 Chapire Inégraion : une inroducion b) Le ravail accompli es représené par l aire sous la courbe dans l inervalle [0; s], soi : T(s) = N s m = s J c) Le modèle es affine. L ordonnée à l origine es 0 J. Le graphique de la foncion décrivan le ravail accompli es donc une droie passan par l origine. Travail accompli (J) T(s) Déplacemen du poin d applicaion (m) s. a) Volume de liquide en cenaines de lires au emps V() Temps en minues b) V() = 700 lires, V() = 00 lires, V() = 00 lires. c) V 00 L = =, L min, V 00 L = = Lmin [ ; ] min [ ; ] min 0 V 00 L = =, 7 Lmin [ ; ] min 0 0. a) Le couran éan consan, la représenaion graphique es une droie horizonale. b) La charge déplacée es représenée par l aire sous la courbe dans l inervalle [0; ], soi : q() = 0, A s =, C c) Le modèle décrivan la charge déplacée es représené par l aire sous la courbe dans l inervalle [0; ], soi : q() = 0, C d) Le graphique de la foncion décrivan la charge déplacée es une droie passan par l origine puisqu à la fermeure du circui le couran es nul. Couran (A) Charge déplacée (C) 0, 0, i() q() q(). a) La viesse à rois secondes es l aire sous la courbe dans l inervalle [0; ], ce qui donne m/s. b) Voir graphique page suivane. c) La foncion décrivan l accéléraion es une foncion par segmens. Celle décrivan la viesse sera égalemen une foncion a() par segmens. On obien : v() si [0; [ + si [; [ 0 v () = si [; [ + si [; [ + 0 si [; 0] Accéléraion (m/s )

3 Chapire Inégraion : une inroducion b) v() d) v m s = =, [ ; ] s 0 ms, v m s = = 0, [ ; ] s 0 ms Viesse (m/s). a) La foncion débi es D ()= 0 0 si 0 0 si 0 < b) Le domaine de cee foncion es [0; 0] puisque le réservoir sera plein après 0 minues. c) Le volume de liquide dans le réservoir au emps es le produi du débi par le emps écoulé. Graphiquemen, c es la somme des aires ombragées, soi V () = 0 si si 0 < 0 d) Le domaine de validié de la foncion volume es l inervalle [0; 0]. e) La foncion volume au emps décri l aire sous la courbe de la foncion débi au emps. f) V() = 00 L e V() = 700 L. 7. a) La viesse éan consane, la représenaion graphique es une droie horizonale. b) La variaion de la posiion es : s = 0, m/s s =, m Viesse (m/s) 0 Débi (L/min) d) Volume (L) 0,0 0, v() D() V() (0; 00) 00 0 s() (0; 00) 0 ( ; 0 00) 0 0 c) Puisque le mobile par du poin fixe, sa disance iniiale par rappor à celuici es nulle e on peu décrire la posiion par : s() = 0, m Le graphique de la foncion décrivan la posiion du mobile es une droie passan par l origine. Posiion du mobile (m) s(). a) La représenaion graphique de l accéléraion es donnée ci-conre. b) v = m/s s = m/s. La viesse du mobile a augmené de m/s duran ce inervalle de emps. si 0 < si < 9 c) v () = si 9 < 9 si 0 Accéléraion (m/s ) a() 0 0 Viesse (m/s) v() (; ) (9; ) (; 9) 0 0

4 Chapire Inégraion : une inroducion 9. a) La représenaion graphique de la viesse es donnée ci-conre. b) La variaion de la posiion es : s = m/s s = m + si 0 < c) s () = + si < 0 + si 0 < 0 Viesse (m/s) Posiion (m) 0 v() s() (; 0) 0 0 (0; ) (0; ) (0; ) La charge au emps es représenée par l aire sous la courbe de l onde décrivan le couran. q() Charge (C) Il s agi d une onde périodique don l ampliude es de C, la période es de s e la fréquence de 0, Hz.. La viesse au emps es décrie par v() = a m/s = 9, m/s. À quare secondes, la viesse es donc : v() = 9, m/s = 9, m/s. a) 0,0 L/min b) V() = 0,0 L. a) L accéléraion éan consane, sa représenaion graphique es une droie horizonale., b) v () = 0 ms si 0 < 0 0 ms si 0 < 0 Accéléraion (m/s ) 0, a() d) Le graphique de la foncion viesse décri l aire sous la courbe de la foncion accéléraion au emps. e), m/s; 9,0 m/s. c) Viesse (m/s) 0 v()

5 Chapire Inégraion : une inroducion. a) L accéléraion éan consane, sa représenaion graphique es une droie horizonale., b) v () = 0 + si 0 0 si 0 < 0 d) Le graphique de la foncion viesse décri l aire sous la courbe de la foncion accéléraion au emps plus la viesse iniiale. e), m/s;,0 m/s. c) Accéléraion (m/s ) Viesse (m/s) 0, 0 a() v() a) La foncion débi es D() = m /min e es représenée graphiquemen par une droie horizonale. b) Le domaine de cee foncion es [0; ] puisque le réservoir sera plein après minues. c) Le volume de liquide dans le réservoir au emps es le produi du débi par le emps écoulé. Graphiquemen, c es l aire du recangle ombragé, soi : V() = pour [0; ] d) Le domaine de la foncion volume es l inervalle [0; ]. e) La foncion volume au emps décri l aire sous la courbe de la foncion débi dans l inervalle [0; ]. V() Débi (m /min) D() Volume (m ) (; 7) a) v() Viesse (m/s)

6 Chapire Inégraion : une inroducion b) 0 s() Posiion (m) c) Le mobile es à m de son poin de dépar, la variaion de posiion es donc de m. Puisque sa viesse es oujours posiive, il s éloigne oujours du poin de référence e la variaion de posiion es égale à la disance parcourue. 7. a) v() Viesse (m/s) b) s() (; ) (; ) Posiion (m) 9 (0; ) (7; 0) (; 0) c) Le mobile es à m de son poin de dépar, la variaion de posiion es donc de m. Cependan, le mobile a d abord parcouru m en s éloignan du poin de référence, puis il s es approché à 0 m du poin de référence pour s en éloigner à nouveau à m. La disance oale parcourue es de m + m + m = m.

7 Chapire Inégraion : une inroducion 7 EXERCICES.. a) En compléan le ableau, on obien : (min) V (L) /d (L/min) (L) V+ (L) [0; [ [; [ [; [ [; [ [; [ [; [ [; 7[ b) La variaion du volume duran un inervalle de emps es représenée par l aire sous la courbe du débi duran ce inervalle de emps. c) La représenaion graphique de la foncion décrivan le volume de liquide dans le réservoir duran l inervalle de emps considéré es donnée ci-conre. d) 0 L e) 0/7 =, L/min Débi (L/min) /d Volume (L) V() (; 90) (; 0) (0; ) (; 0) (7; 90) (; 0) (; 0) (; 0) 7. a) En compléan le ableau, on obien : (s) q (C) dq/d (C/s) dq (C) q + dq (C) [0; [ [; [ [; [ [; [ [; [ [; [ [; 7[ 0,0 0,9,,0,,, 0,9 0,7 0, 0, 0, 0,0 0,0 0,9 0,7 0, 0, 0, 0,0 0,0 0,9,,0,,,,7 b) La foncion décrivan le couran dans le circui es donnée ci-conre. La variaion de la charge duran un inervalle de emps es représenée par l aire sous la courbe du couran duran ce inervalle de emps. c) La représenaion graphique de la foncion décrivan la charge dans le condensaeur duran l inervalle de emps considéré es donnée ci-conre. d),7 C. Il s agi de la somme des différenielles. Couran (A) 0,9 0, 0, i = dq/d Charge (C) 7 (0; 0) q() (;,) (7;,7) (;,) (;,) (;,0) (;,) (; 0,9) 7

8 Chapire Inégraion : une inroducion. a) La foncion décrivan la viesse duran l inervalle de emps considéré es donnée ci-conre. b) Dans le graphique, la variaion de la posiion duran un inervalle de emps es donnée par l aire sous la courbe duran ce inervalle de emps. c) Pour évaluer la disance parcourue avec un pas de s, on évalue la différenielle pour chacun des inervalles de largeur uniaire e on en fai la somme. Les différenielles son représenées graphiquemen par l aire des recangles de largeur uniaire. Les différenielles donnen la variaion de la disance pour chacun des inervalles. La somme des différenielles es la variaion oale de la disance duran l inervalle [0; ]. Viesse (m/s) v() On esime la variaion de la disance à m. Éan donné la forme de la courbe, l esimaion de la disance es en excès. [;+ [ (s) [0; [ [; [ [; [ [; [ v() (m/s) 7 ds (m) 7 Somme (m) Viesse (m/s) v() d) On esime la variaion de la disance à, m. Éan donné la forme de la courbe, l esimaion de la disance es en excès. Cependan, l esimaion es plus fiable qu avec un pas uniaire. [;+ [ (s) [0; 0,[ [0,; [ [;,[ [,; [ [;,[ [,; [ [;,[ [,; [ v() (m/s),00,7,00,7,00 9,7 7,00,7 ds (m),000 7,7 7,0,7,000,7,0,7 Somme (m),000,7,7 0,,,,,0 Viesse (m/s) v() e) La représenaion graphique obenue avec un pas de 0, s es donnée ci-conre. Disance (m) s() 0. a) Le graphique de l accéléraion es donné ci-conre. a() b) Dans ce graphique, la variaion de la viesse duran un inervalle de emps es donnée par l aire sous la courbe duran ce inervalle de emps. Accéléraion (m/s )

9 Chapire Inégraion : une inroducion 9 c) Pour évaluer la viesse aeine avec un pas de s, on évalue la différenielle pour chacun des inervalles de largeur uniaire e on en fai la somme. Les différenielles son représenées graphiquemen par l aire des recangles de largeur uniaire. [;+ [ (s) [0; [ [; [ [; [ [; [ a() (m/s ) 0 0,,00, dv (m/s) 0 0,,00, Somme (m/s) 0 0,,, Accéléraion (m/s ) a() On esime la variaion de la viesse à, m/s. Éan donné la forme de la courbe, l esimaion de la viesse es en manque. d) On esime la variaion de la viesse à,7 m/s. Éan donné la forme de la courbe, l esimaion de la viesse es en manque. Cependan, l esimaion es plus fiable qu avec un pas uniaire. [;+ [ (s) [0; 0,[ [0,; [ [;,[ [,; [ [;,[ [,; [ [;,[ [,; [ a() (m/s ) 0,0000 0,0 0,0 0,,0000,,0,0 dv (m/s) 0, ,0 0,0 0, 0,000 0,7,0, Somme (m/s) 0, ,0 0, 0,7 0,97,77,7,70 Accéléraion (m/s ) a() v() e) La représenaion graphique obenue avec un pas de 0, s es donnée ci-conre. Viesse (m/s) a(). a) La représenaion graphique es donnée ci-conre. b) Dans ce graphique, la variaion de la viesse duran un inervalle de emps es donnée par l aire sous la courbe duran ce inervalle de emps. Accéléraion (m/s ) c) Le graphique éan une droie, on peu décrire la relaion de la viesse en expriman l aire en foncion de. Il suffi de donner l aire du rapèze don les dimensions son B =, b = e h =, ce qui donne v() = +() = d) v() = m/s, v() = m/s Accéléraion (m/s ) a()

10 0 Chapire Inégraion : une inroducion e) Le graphique de la viesse es une porion d une parabole don le somme es en (;). f) La variaion de la posiion du mobile es donnée par l aire sous la courbe de la foncion décrivan la viesse. g) L esimaion de l aire sous la courbe de la viesse duran les secondes de l expérience es donnée dans le ableau suivan. Le mobile a parcouru environ 7 m. Cee esimaion es plus peie que la valeur réelle, compe enu de la forme de la courbe. h) La variaion de la posiion du mobile es donnée par le graphique ci-conre. [;+ [ (s) [0; 0,[ [0,; [ [;,[ [,; [ [;,[ [,; [ [;,[ [,; [ [;,[ [,; [ [;,[ [,; [ v() (m/s) 0,000,7,0 7,7 0,000,7,0,7,000,7 7,0 7,7 ds (m) 0,0000,7,70,97,0000,97,70 7,7,0000,7,70,97 Somme (m) 0,00000,7,7,, 9,0,,0,0 9,7,7 7,7 Posiion (m) Viesse (m/s) v() s(). a) La représenaion graphique es donnée ci-conre. b) Dans ce graphique, la variaion du volume de liquide duran un inervalle de emps es donnée par l aire sous la courbe duran ce inervalle de emps. c) L esimaion de l aire sous la courbe de la viesse duran les minues es donnée dans le ableau suivan Débi (kl/min) 0 D() Le volume de liquide a augmené d environ kl. Cee esimaion es plus grande que la valeur réelle, compe enu de la forme de la courbe. d) La variaion du volume de liquide es donnée par le graphique ci-conre. [;+ [ (s) [0; 0,[ [0,; [ [;,[ [,; [ [;,[ [,; [ [;,[ [,; [ [;,[ [,; [ [;,[ [,; [ D() (kl/min),000 0,,000 0,,000, 9,000,,000,,000 0, (kl),000,,0 0,,000,,0,,000, 0,0 0, Somme (kl),000,,,7,7 9,7 7,7 77,0 79,0 0,,, Volume (kl) V()

11 Chapire Inégraion : une inroducion 7. a) La représenaion graphique es donnée ciconre. b) Dans ce graphique, la variaion de la viesse duran un inervalle de emps es donnée par l aire sous la courbe duran ce inervalle de emps. c) Le graphique éan une droie, on peu décrire la relaion de la viesse en expriman l aire en foncion de. Il suffi de donner l aire du rapèze don les dimensions son B = +, b = e h =, ce qui donne : v() = +(+) = + d) v() = m/s, v() = m/s Accéléraion (m/s ) a() Accéléraion (m/s ) a() e) Le graphique de la viesse es une porion d une parabole don le somme es en (;). f) La variaion de la posiion du mobile es donnée par l aire sous la courbe de la foncion décrivan la viesse. g) L esimaion de l aire sous la courbe de la viesse duran les secondes de l expérience es donnée dans le ableau ci-conre. Viesse (m/s) v() [;+ [ (s) [0; 0,[ [0,; [ [;,[ [,; [ [;,[ [,; [ [;,[ [,; [ v() (m/s) 0,000,,0,,000, 0,0, ds (m) 0,0000 0,,0,0,0000,0,0, Somme (m) 0,0000 0,,,7,7 0,97,7,70 Le mobile a parcouru environ m. Cee esimaion es plus peie que la valeur réelle, compe enu de la forme de la courbe. h) La variaion de la posiion du mobile es donnée par le graphique ci-conre. Posiion (m) 0 s(). a) La représenaion graphique de l accéléraion es donnée ci-conre. Dans ce graphique, la variaion de la viesse angulaire duran un inervalle de emps es donnée par l aire sous la courbe duran ce inervalle de emps. Accéléraion (/min ) a() [;+ [ (s) [0; [ [; [ [; [ [; [ [; [ a() (/min ) 00,0 00,0,0,0, dw (/min) 00,0 00,0,0,0, Somme (/min) 00,0 00,0,0 7,0 7, Avec un pas uniaire, on esime qu à la fin de l inervalle de min, la viesse angulaire es d environ /min.

12 Chapire Inégraion : une inroducion b) Avec un pas de 0, min, on esime qu à la fin de l inervalle de min, la viesse angulaire es d environ /min. [;+ [ (s) [0; 0,[ [0,; [ [;,[ [,; [ [;,[ [,; [ [;,[ [,; [ [;,[ [,; [ a() (/min ) 00,0, 00,0 70,7,0,,0 7,7,, dw (/min) 00,0 70,7,0,,0 7,7,,,, Somme (/min) 00,0 70,7 0,7,, 9,, 0,, 0, Viesse angulaire (/min) w () 9. a) Soi la foncion définie par f(x) = x. Considérons que l inervalle [0; ] es divisé en sous-inervalles. Ceux-ci son alors de largeur / e cee largeur es la base des recangles. On a alors : [0; /], [/; /], [/; /], [/; /] La somme des aires des recangles es : A = = = 0 = = [ ] = = =, L aire sous la courbe de f(x) = x dans l inervalle [0; ] es esimée à, uniés d aire. Cee esimaion es en excès puisque la surface couvere par les recangles es supérieure à celle sous la courbe. Cela es dû au fai que la courbe es concave vers le bas dans l inervalle. b) Considérons que l inervalle [0; ] es divisé en sous-inervalles. Ceux-ci son alors de largeur / e cee largeur es la base des recangles. On a alors: [0; /], [/; /], [/; /], [/; /] La somme des aires des recangles es : A = = = x = = [ ] 0 = 0 = =, L aire sous la courbe de f(x) = x dans l inervalle [0; ] es esimée à, uniés d aire. Cee esimaion es en manque puisque la surface couvere par les recangles es inférieure à celle sous la courbe. f(x) f(x) x

13 Chapire Inégraion : une inroducion f(x) c) Considérons que l inervalle [0; ] es divisé en sous-inervalles. Ceux-ci son alors de largeur / e cee largeur es la base des recangles. On a alors: [0; /], [/; /], [/; /],..., [/; /] La somme des aires des recangles es : A = = = = = [ ] = 0 = =, x L aire sous la courbe de f(x) = x dans l inervalle [0; ] es esimée à, uniés d aire. Cee esimaion es en excès puisque la surface couvere par les recangles es supérieure à celle sous la courbe. 0. a) Soi la foncion définie par f(x) = x +. Considérons que l inervalle [0; ] es divisé en sous-inervalles. Ceux-ci son alors de largeur / e cee largeur es la base des recangles. On a alors : [0; /], [/; /], [/; /],..., [/; /] La somme des aires des recangles es : A = = = [ ] = [ ]+ = [ ]+ = [ 0]+ = 7, 7 L aire sous la courbe de f(x) = x + dans l inervalle [0; ] es esimée à 7,7 uniés d aire. Cee esimaion es en excès puisque la surface couvere par les recangles es supérieure à celle sous la courbe. 7 7 f(x) f(x) 0 x b) Soi la foncion définie par f(x) = x +. Considérons que l inervalle [0; ] es divisé en sous-inervalles. Ceux-ci son alors de largeur / e cee largeur es la base des recangles. On a alors : [0; /], [/; /], [/; /],..., [0/; /] La somme des aires des recangles es : 0 x

14 Chapire Inégraion : une inroducion A = = = [ ] = [ ] + = [ ] + = [ 9]+ =, 97 L aire sous la courbe de f(x) = x + dans l inervalle [0; ] es esimée à,97 uniés d aire. Cee esimaion es en excès puisque la surface couvere par les recangles es supérieure à celle sous la courbe.. a) (min) [0; [ [; [ [; [ [; [ [; [ [; [ [; 7[ V (L) 0 7, /d (L/min) 0,, (L) 0,, V+ (L) 0 7, c) Volume (L) V() 7 b) Le sysème de pompage sera en foncion duran minues.. a) L équaion différenielle es dω/d ω es le emps en minues. =0, ou dω d =0,ω où ω es la viesse de la roue en ours par minue e b) (min) [0; [ [; [ [; [ [; [ [; [ w (/min) 00,0 0,0 7,0,,9 dw /d (/min ) 0, 7, 0, dw (/min) 0, 7, 0, w + dw (/min) 0,0 7,0,,9, c) Viesse de la roue (/min) w ()

15 Chapire Inégraion : une inroducion. a) On peu raduire cee siuaion par l équaion différenielle : = ( 0 V) L min d où V es la quanié de liquide dans le réservoir mesurée en lires, es le emps en minues e /d es le aux de variaion de la quanié de liquide dans le réservoir en lires par minue. b) Au momen du changemen de la direcive, le réservoir conien 0 lires e le aux de variaion es alors d = ( 0 0)= 0 L min 0 Au bou d une minue, le volume de liquide es V() = V( 0) + d = 0+ ( 0 )= 0 L d 0 Le réservoir conien mainenan 0 lires e le disposiif élecronique fai la lecure du niveau e modifie le aux de variaion qui devien d = ( 0 0)= 0 L min Au bou de deux minues, le volume de liquide es V() = V() + d = 0+ ( 0 )= L d Le aux de variaion sera à nouveau modifié e deviendra d = ( 0 )= L min Au bou de rois minues, le volume de liquide es V() = V() + d = + ( )= L d Le aux de variaion sera à nouveau modifié e deviendra d = ( 0 )=, L min Au bou de quare minues, le volume de liquide es V( ) = V( ) + d = + (, )=, L d Le aux de variaion sera à nouveau modifié e deviendra: d = 0 (, )=, L min Au bou de cinq minues, le volume de liquide es: V() = V() + d =, + (, )=, L d Le aux de variaion sera à nouveau modifié e deviendra: d = 0 0 (, )=, L min Au bou de six minues, le volume de liquide es: V() = V() + d =, + (, 0 )= 0, L d En représenan graphiquemen les valeurs obenues, on a la descripion du volume de liquide dans le réservoir en foncion du emps.

16 Chapire Inégraion : une inroducion 0 V() Volume (L) c) La valeur sable es l asympoe horizonale à 0 lires.. a) dω d =0,ω où ω es la viesse de la roue en ours par minue e es le emps en minues. b) Inervalle de emps (min) Viesse (/min), débu de l inervalle Taux de variaion dw /d (/min ) Différenielle dw (/min) Viesse (/min), fin de l inervalle [0; [ [; [ [; [ [; [ [; [ 0,0 00,0 0,0,0, 00,0 0,0,0 9, 7, 00,0 0,0,0 9, 7, 00,0 0,0,0,, 0 w () 00 Viesse angulaire (/min) c) Inervalle de emps (min) Viesse (/min), débu de l inervalle Taux de variaion dw /d (/min ) Différenielle dw (/min) Viesse (/min), fin de l inervalle [0; 0,[ [0,; [ [;,[ [,; [ [;,[ [,; [ [;,[ [,; [ [;,[ [,; [ 0,0,0,0 7, 0,0,0,,77, 0,77 00,0 0,0 7,0 0,9 7,0,,9,70 7,9,0,0 0,0 7,,,0, 7,7,,7,0,0,0 7, 0,0,0,,77, 0,77,

17 Chapire Inégraion : une inroducion 7 EXERCICES DE SYNTHÈSE. a) x y dy/dx dy y+ dy b) y 0,00 0, 0, 0,7,00,,,7,00,000,000,99,90,0,70,,0 0,7 0,000 0, 0, 0,9 0, 0,79,0,, 0,000 0,0 0,0 0,09 0, 0,7 0, 0, 0,7,000,99,90,0,70,,0 0,7 0,0 / / / / x. a) x y dy/dx dy y+ dy b) y,00,,,7,00,,,7,00 0,000 0, 0, 0,7 0,70 0, 0,99,09,7,000 0,00 0,7 0,7 0,0 0, 0,00 0, 0, 0, 0,00 0,7 0, 0, 0, 0,00 0,09 0,0 0, 0, 0,7 0,70 0, 0,99,09,7,70,,0 0,,, x. a) Soi la foncion définie par f(x) = x. Considérons que l inervalle [0; ] es divisé en sous-inervalles. Ceux-ci son alors de largeur / = e cee largeur es la base des recangles. On a alors : [0; ], [; ], [; ], [; ] La somme des aires des recangles es : A = [ ] = [ ( ) ] = = 0 L aire sous la courbe de f(x) = x dans l inervalle [0; ] es esimée à 0 uniés f(x) d aire. Cee esimaion es en excès puisque la surface couvere par les recangles es supérieure à celle sous la courbe. b) Considérons que l inervalle [0; ] es divisé en sous-inervalles. Ceux-ci son alors de largeur / = / e cee largeur es la base des recangles. On a alors : [0; /], [/; /], [/; /], [/; /], [/; /], [/; /], [/; 7/], [7/; /] La somme des aires des recangles es : x

18 Chapire Inégraion : une inroducion A = ( ) = = ( ) = = 9 L aire sous la courbe de f(x) = x dans l inervalle [0; ] es esimée à 9 uniés d aire. Cee esimaion es en excès puisque la surface couvere par les recangles es supérieure à celle sous la courbe. c) Puisque la figure formée es un riangle, on peu déerminer sa surface par le demi-produi de la base par la haueur, cela donne : A = bh = = f(x) f(x) 7 x. Considérons que l inervalle [0; ] es divisé en sous-inervalles. Ceux-ci son alors de largeur / = / e cee largeur es la base des recangles. On a alors : [0; /], [/; /], [/; /], [/; /], [/; /], [/; /], [/; 7/], [7/; /] La somme des aires des recangles es : A = = ( ) = ( ) ( )... 0 = = 0, x L aire sous la courbe de f(x) = x x dans l inervalle [0; ] es esimée à 0, uniés d aire. Il es difficile de dire si cee esimaion es en manque ou en excès. La courbe es croissane sur ]0; [ e décroissane sur ]; [.. a) En calculan les rappors du aux de variaion sur la populaion, on rouve que le aux de variaion relaif es consan e égal à 0,. L équaion différenielle es donc : dp d = 0, P b) L équaion différenielle s écri égalemen : dp = 0P, d En prenan un pas de heures, la différenielle pour l inervalle [0; ] es : dp dp [; ] = d = 7 = 70 u 0 d 0 En poursuivan, on rouve alors les résulas du ableau suivan : P (uniés) dp/d (u/h) dp/d P 0, 0, 0, 0,

19 Chapire Inégraion : une inroducion 9 [; + ] [0; [ [; [ [; [ [; [ [; 0[ [0; [ [; [ [; [ [; [ [; 0[ P dp P + dp Nombre de bacéries (en milliers) 0 0 P 0 0 Temps (heures) CULTURE SCIENTIFIQUE. Toue qualié mesurable peu êre imaginée comme une quanié coninue.. C es une méhode de représenaion graphique dans laquelle les longiudes son représenées sur une droie horizonale e les laiudes son représenées à la vericale. Les longiudes son ce que nous appelons mainenan les valeurs de la variable indépendane e les laiudes son les valeurs de la variable dépendane.. On classai alors les variaions en rois caégories: uniforme, uniformémen difforme e difformémen difforme. Cee classificaion éai enre aure uilisée dans l éude du mouvemen.. Dans son éude du mouvemen uniformémen difforme, la représenaion graphique de la viesse es un riangle don l aire es la moiié du produi de la base par la haueur, Oresme en conclu que la disance parcourue par l obje éai la même que celle parcourue par un aure obje ayan, duran le même inervalle de emps, une viesse consane e égale à la viesse aeine par le premier obje à la moiié de l inervalle de emps.. Aniphon voulai déerminer l aire d un cercle en considéran d abord un polygone inscri e en doublan successivemen le nombre de côés.. Pour les enans de la divisibilié infinie de la maière e du emps, la différence enre l aire du polygone e celle du cercle es une grandeur infinimen divisible. Par conséquen, l aire du polygone ne peu jamais égaler l aire du cercle, même en doublan successivemen le nombre de côés. 7. Eudoxe de Cnide a reformulé le principe de la façon suivane : Si on sousrai d une grandeur donnée une parie qui n es pas plus peie que sa moiié, e que du rese, on sousrai une parie qui n es pas plus peie que sa demie e ainsi de suie, à la longue, la grandeur resane peu êre rendue plus peie que n impore quelle valeur prédéfinie de même naure.. Il a uilisé cee méhode pour calculer une valeur approchée de π e pour démonrer des formules d aires (e de volumes). 9. Il suppose que l aire du cercle es plus grande que celle du riangle. Il considère alors un polygone inscri dans le cercle e monre que l hypohèse enraîne qu il es possible, en doublan le nombre de côés auan que nécessaire, d obenir un polygone inscri don l aire es plus grande que celle du riangle e plus peie que celle du cercle. Cela es une conradicion e la supposiion es fausse, c es-à-dire que l aire du cercle n es pas plus grande que celle du riangle. Il suppose que l aire du cercle es plus peie que celle du riangle. Il considère alors un polygone circonscri e monre que cee supposiion enraîne égalemen une conradicion. Il conclu alors que l aire du cercle, ne pouvan êre ni plus peie ni plus grande que celle du riangle, es égale à l aire du riangle.

20 0 Chapire Inégraion : une inroducion 0. Il a éabli les relaions du demi-angle qui permeen, connaissan les côés d un riangle recangle ayan un angle aigu α de calculer les côés des angles du riangle recangle ayan un angle aigu α/.. En considéran, pour simplifier les manipulaions algébriques, que le rayon es r =. on a alors : Dans le riangle OBC, sin α = b e cos α = a Dans le riangle OAD, sin α/ = d e cos α/ = c Les relaions obenues par Pyhagore son : c = r + ra r ra e d = + a a En considéran que le cercle es de rayon uniaire, on a donc c = e d = En subsiuan les expressions des sinus e cosinus de l angle e du demi-angle, on a alors : + cosα cosα cosα = e sinα = On renconre égalemen ces expressions sous différenes formes équivalenes : cosθ = + cos θ e sinθ = cos θ cos cos cos θ θ θ = + e sin θ =, uilisée pour inégrer cos θ = cos θ e cos θ = sin θ cos θ = cos θ sin θ