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1 4 LA MÉTHODE D EULER Sommaire 4.1 Généraliés L approche numérique Travail préliminaire La méhode d Euler Algorihme d Euler Exemple d une équa-di d ordre un Exemple d une équa-di d ordre deux Ce chapire es accessible en ligne à l adresse : hps://femo-physique.fr/omp/euler.php 30

2 4. LA MÉTHODE D EULER Généraliés. La méhode d Euler 1 es une procédure numérique qui perme de résoudre de façon approximaive des équaions di érenielles ordinaires du premier ordre avec condiion iniiale. Elle a le mérie d êre simple à comprendre e à programmer. On cherche donc une soluion approchée d une équaion ordinaire se mean sous la forme ; ẏ = f(, y()), 0 Æ Æ T y(0) = y 0 où y() es un scalaire ou un veceur e f(, y()) une foncion su e l unicié de la soluion ne pose pas de problème. sammen régulière pour que l exisence 4.1 Généraliés L approche numérique Les méhodes numériques employées pour «résoudre» les équaions di érenielles son des méhodes approximaives basées sur la discréisaion de la variable ainsi que sur l uilisaion de di érences finies pour approcher les dérivées. Le problème se ramène alors à un calcul iéraif, facile à auomaiser à l aide d un programme informaique. Pour e ecuer ce calcul numérique, l uilisaeur doi disposer : 1. de la durée T de la simulaion numérique ; 2. des condiions iniiales e de la foncion f ; 3. du pas de discréisaion h. L inervalle [0,T] es alors divisé en N subdivisions de même longueur h. Finalemen, la méhode numérique renvoie une lise (y 0,y 1,,...,y N ) conenan les valeurs approchées de y( n ) pour les di érens insans n = nh. On voi immédiaemen que si l on cherche le comporemen de y() à long erme, le nombre de poins à calculer peu devenir rès imporan ce qui exige rapidié de calcul e de la mémoire. Insisons sur le fai que oues les méhodes numériques on leur poin faible. Le bon choix es souven un compromis enre simplicié de mise en œuvre, rapidié, sabilié e précision. Cee dernière es en e e limiée par les erreurs liées à l algorihme (on parle d erreurs de roncaure) e celle liées à la machine (erreurs d arrondi). En général, quand les unes diminuen les aures augmenen de elle sore qu il es impossible de minimiser, en même emps, e l erreur d arrondi e l erreur de roncaure : le meilleur choix es le frui d un compromis Travail préliminaire Avan de résoudre numériquemen une équaion di érenielle ordinaire, il es conseillé de procéder à un ravail de simplificaion qui passe par la définiion d un nouveau sysème d uniés adapé au problème. En e e, pour minimiser les erreurs d arrondi, il es bon de faire en sore que les valeurs numériques uilisées soien de l ordre de l unié. Par exemple, pour raier le problème de deux asres liés par la graviaion, il es préférable d adoper le sysème d uniés asronomiques (le emps exprimé en années, les masses en masses solaires e les disances en disances Terre-Soleil) pluô que le Sysème Inernaional (seconde, kilogramme e mère). Or, changer d uniés, c es finalemen, définir de nouvelles grandeurs adimensionnées. Avan oue chose, simplifier l équaion di érenielle en l expriman à l aide de grandeurs adimensionnés. 1. Méhode invenée par le mahémaicien Leonhard Euler en

3 Prenons l exemple de la chue libre d une bille subissan une résisance proporionnelle à la viesse régie par l équaion di érenielle (relaion fondamenale de la dynamique) m dv d = v + mg avec v(0) = 0 où m désigne la masse, le coe cien de froemen e g le champ de pesaneur. À parir de ces rois paramères, on peu définir un emps caracérisique (emps de relaxaion) = m/ e une viesse caracérisique (viesse limie) v Œ = g. Ainsi, il es enan d adoper un nouveau sysème d uniés dans lequel : 1. le emps es mesuré en unié de, d où la nouvelle variable emporelle ú = / ; 2. la viesse es mesurée en unié de v Œ d où la nouvelle variable v ú = v/v Œ ; 3. la disance éan le produi d une viesse par un emps, es mesurée en unié de avec = v Œ. Avec ce nouveau choix d uniés e de variables adimensionnées, l équaion di érenielle iniiale prend une forme simple : dv ú d ú =1 vú avec v ú (0) = 0 Noez que cee équaion di érenielle es celle que nous aurions obenue en faisan m =1e g =1e =1. Finalemen, on reiendra que lorsque l on rend uniaire des paramères physiques, cela équivau à définir un nouveau jeu d uniés 2. Enfin, ce qui va condiionner la valeur du pas h c es l ensemble des emps caracérisiques du phénomène que l on modélise. Par exemple, dans le problème à N corps en orbie auour d une éoile fixe, on peu définir N emps caracérisiques (les périodes orbiales par exemple). Si l on veu décrire la dynamique du sysème de façon complèe e précise il es impéraif que, d une par le pas d inégraion h soi plus pei que le plus pei des emps caracérisiques, d aure par que la la durée T de la simulaion soi supérieur au plus grand des emps caracérisiques. h π min e T> max Dans l exemple de la chue libre, l unique emps caracérisique vau =1dans le nouveau sysème d unié. Ainsi, on prendra h π 1 e T>1. Par exemple, si l on choisi h =0, 01 e T = 10, le nombre de poins à calculer es de N = 10/0, 01 = Remarque : Il exise une classe de problèmes, di «problèmes raides» qui on la paricularié de posséder des emps caracérisiques qui s éalen sur plusieurs ordres de grandeur. C es par exemple le cas, dans l éude de la cinéique d une réacion chimique décrie par deux processus moléculaires don les consanes de viesse di èren sur plusieurs ordres de grandeur. On voi alors qu imposer h π min e T > max amène à calculer un nombre colossal de poins ce qui coûe du «emps machine» e produi des insabiliés. Il fau alors adoper des méhodes pariculières que nous n abordons pas ici. 4.2 La méhode d Euler Algorihme d Euler La méhode présenée ici es die méhode d Euler explicie. Considérons l équaion di érenielle ordinaire suivane ; ẏ = f(, y()), 0 Æ Æ T y(0) = y 0 2. Il fau juse prendre garde à rendre uniaire des paramères de dimensions indépendanes. 32

4 On peu inégrer cee équaion comme sui : ˆ n+1 y( n+1 )=y( n )+ f(, y())d (4.1) n La méhode d Euler consise à approcher l inégrale par la méhode des recangles à gauche : ˆ n+1 n f(, y)d ƒ h f( n, y( n )) D où le schéma iéraif suivan ; yn+1 = y n + hf( n, y n ), n =0, 1,...,N y 0 = y(0) (4.2) où y n désigne l approximaion numérique de y( n ). La mise en œuvre es alors exrêmemen simple : Algorihme d Euler 1. Iniialisaion du pas h e de la durée T. 2. Iniialisaion des condiions iniiales : = 0e y = y(0). 3. Tan que Æ T faire : (a) Calcul de k 1 = f(, y). (b) y = y + hk 1 ; = + h. (c) Enregisremen des données Exemple d une équa-di d ordre un Appliquons cee méhode au problème de la chue libre décrie au L équaion di érenielle s écri e le schéma iéraif (4.2) donne : dv ú d ú =1 vú avec v ú (0) = 0 I v ú n+1 = vn ú + h(1 vn) ú v0 ú = 0 On peu voir ici que la méhode d Euler es une approximaion au premier ordre en h. Enee, calculons le premier erme v1 ú e comparons le au erme exace v ú (h), sachan que la soluion exace es v ú ( ú )=1 e ú.ona v1 ú = v0 ú + h(1 v0)=h ú à comparer avec v ú (h) =1 e h Il apparaî immédiaemen que v ú 1 e v(h) concorden si l on remplace e h par son développemen limié au premier ordre, à savoir e h =1 h + O(h 2 ). La figure 4.1 monre la soluion numérique pour di érens pas ainsi que la soluion exace. On consae que plus le pas h es pei meilleure es l adéquaion avec la soluion exace. On consae qu avec un pas h =0, 2, l erreur es visible à l œil nu (de l ordre de quelques %). Ça n es que lorsque le pas es rès pei devan 1 que l erreur es insignifiane. 33

5 Euler : h =0, 2 soluion exace Euler : h =0, 02 soluion exace v Œ v Œ v() v() Fig. 4.1 Soluion numérique de l équaion v + v = vœ avec 0,02 (1 poin sur 10 es représené). v(0) = 0. À gauche, le pas vau 0,2, à droie Choisissons mainenan h =2, auremen di un pas de discréisaion plus grand que le emps caracérisique (qui vau 1 puisque es l unié de emps). On voi alors apparaîre un phénomène d insabilié numérique. C es l un des inconvéniens de la méhode d Euler : la sabilié n es pas oujours garanie. C es pourquoi il es recommandé de eser di érens pas pour vérifier que le résula es robuse. Dans ce cas, cela signifie généralemen que l on es loin des condiions d insabilié Exemple d une équa-di d ordre deux v Œ v() Euler : h =2 soluion exace Fig. 4.2 Exemple d insabilié. La plupar du emps, l évoluion d un sysème physique obéi à une équaion di érenielle qui n a pas forcémen le bon goû d êre une équaion di érenielle scalaire du premier ordre. On renconre plus souven des sysèmes d équaions di érenielles ou une équaion di érenielle scalaire d ordre supérieure à un. En mécanique, il arrive courammen que la dynamique d un sysème soi décrie par une équaion di érenielle d ordre deux. Par exemple, considérons le mouvemen d un pendule simple de masse m e de longueur qu on lâche dans le champ de pesaneur g après l avoir écaré de l angle 0. L équaion du mouvemen s écri = Ê 0 2 sin avec Y ] [ 2 Ê 0 = apple g/ (0) = 0 (0) = 0 Tou d abord, changeons l unié de emps de façon à simplifier l équaion di érenielle. Posons = apple /g nore nouvelle unié de emps ce qui revien à redéfinir le emps par ú = /. Il es alors facile de monrer qu après cee redéfiniion du emps, l équaion di érenielle se simplifie = sin avec ; (0) = 0 (0) = 0 Remarque : noez que dans ce nouveau sysème d uniés, ou se passe comme si g =1e =1. Cee équaion peu se mere sous la forme d une équaion di érenielle d ordre un, à condiion de l écrire sous forme vecorielle. En e e, définissons le veceur de dimension 2 don la première composane es l angle 34

6 e la seconde la viesse angulaire Ê = : 3 4 y = Ê avec y(0) = On peu alors écrire l équaion du pendule simple sous la forme d Ê = = f(, y()) d Ê sin Posons n e Ê n l angle e la viesse angulaire à l insan n = nh. La méhode d Euler donne ; n+1 n Ê = + h n n+1 = = n + h Ê n (4.3) Ê n+1 Ê n sin n Ê n+1 = Ê n h sin n 4 () 0 fi 2fi 3fi 4fi Fig. 4.3 Soluion () avec un pas h =0, 05 e 0 = 45 (1 poin sur 10 es représené). On peu consaer sur le résula de la simulaion 4.3 un aure défau de la méhode d Euler : bien que le sysème éudié soi conservaif, le schéma d Euler ne respece pas la conservaion de l énergie. En e e, en veru des lois de la mécanique, l ampliude des oscillaions doi reser consane, conrairemen à ce que l on observe. Plus précisémen, l énergie mécanique du pendule simple à l insan n es proporionnelle à E n = 1 2 Ê2 n cos n. Or, à parir de la récurrence (4.3), on obien E n+1 = E n + h Ê2 n cos n sin2 n 4 Par conséquen, puisque le erme! 1/2Ê 2 n cos n +1/2 sin 2 n " es posiif en moyenne, il en découle une dérive posiive de l énergie quel que soi le pas. Auremen di, le comporemen à long erme es mal décri. La simulaion siuée à la page femo-physique.fr/omp/euler.php#simu illusre cee dérive. En praique, lorsque l on me en place une résoluion numérique d un sysème conservaif, on fai pluô appel à l algorihme de Verle (voir femo-physique.fr/omp/mehode-de-verle.php) pariculièremen adapé dans le sens où elle condui à une dérive de l énergie faible aux emps longs. Conclusion Bien que la méhode d Euler présene l inconvénien de propager facilemen les erreurs, e même de les amplifier, elle n es pas dénuée d inérê : simple à programmer, elle produi rapidemen une soluion approximaive qui, si le pas es bien choisi e la durée d observaion raisonnable, perme d avoir une première approche du phénomène éudié. 35