Puissances de 10 Exercices corrigés

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1 Puissances de 10 Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : Exercice 1 : produit de deux puissances de : Exercice 2 : inverse d une puissance de : et Exercice 3 : quotient de deux puissances de : Exercice 4 : puissance d une puissance de : Exercice 5 : rangement de puissances de dans l ordre croissant Exercice 6 : produit d un nombre par une puissance de d exposant positif Exercice 7 : produit d un nombre par une puissance de d exposant négatif Exercice 8 : correspondance entre l écriture d un nombre sous la forme d une puissance de, son écriture en chiffres et son écriture en lettres Exercice 9 : calcul d une expression avec des puissances de Exercice 10 : notation scientifique Exercice 11 : écriture scientifique et écriture décimale d un nombre Exercice 12 : ordre de grandeur Exercice 13 : carré magique avec des puissances de Exercice 14 : conversions de mesures (longueur, masse, aire, volume) Rappel : Lecture du nombre Le nombre se lit «puissance» ou bien «exposant» ou bien «élevé à la puissance». 1

2 Exercice 1 (1 question) Niveau : facile Ecrire sous la forme. Correction de l exercice 1 Rappel : Produit de puissances de 10 Autrement dit, pour calculer le produit de deux puissances de 10, on additionne les exposants. Exercice 2 (1 question) Niveau : facile Donner les inverses des nombres suivants. Correction de l exercice 2 Rappel : Inverse d une puissance de 10 Les nombres et sont des «nombres inverses». L inverse de est. L inverse de est. Autrement dit, pour calculer l inverse d une puissance de, on prend l opposé de l exposant. a pour inverse a pour inverse a pour inverse a pour inverse 2

3 Exercice 3 (1 question) Niveau : facile Ecrire sous la forme. Correction de l exercice 3 Rappel : Quotient de puissances de 10 Autrement dit, pour calculer le quotient de deux puissances de 10, on soustrait l exposant du dénominateur à l exposant du numérateur. Exercice 4 (1 question) Niveau : facile Ecrire sous la forme. Correction de l exercice 4 Rappel : Puissance d une puissance de 10 Autrement dit, pour calculer la puissance d une puissance de, on multiplie les exposants. 3

4 Exercice 5 (1 question) Niveau : facile Ranger dans l ordre croissant les nombres suivants : ; ; ; ; ; ;. Correction de l exercice 5 Rappel : Ordre des puissances de 10 Les puissances de 10 sont classées dans l ordre de leur exposant. Si, alors (ordre croissant, du plus petit au plus grand). Si, alors (ordre décroissant, du plus grand au plus petit). Pour classer dans l ordre croissant les puissances de 10 proposées, on commence par regarder leur exposant. a pour exposant (nombre nul) a pour exposant (nombre négatif) a pour exposant (nombre négatif) et a pour exposant (nombre négatif) a pour exposant a pour exposant (nombre positif) (nombre positif) et a pour exposant (nombre positif) Ensuite, on compare les exposants en se rappelant que : Tout nombre positif est plus grand que tout nombre négatif. Si deux nombres relatifs sont positifs, alors le plus petit est celui qui est le plus près de zéro. Si deux nombres relatifs sont négatifs, alors le plus petit est celui qui est le plus éloigné de zéro. Autrement dit, on a : Enfin, les puissances de 10 étant classées dans l ordre de leur exposant, on obtient : 4

5 Exercice 6 (1 question) Niveau : facile Donner l écriture décimale des nombres suivants. Correction de l exercice 6 Rappel : Multiplication d un nombre par une puissance de 10 d exposant positif Pour multiplier un nombre par (avec positif), on décale la virgule du nombre de rangs vers la droite. L exposant de la puissance de 10 est (nombre positif) donc on décale la virgule de rangs vers la droite. L exposant de la puissance de 10 est (nombre positif) donc on décale la virgule de rangs vers la droite. L exposant de la puissance de 10 est (nombre positif) donc on décale la virgule de rangs vers la droite. Exercice 7 (1 question) Niveau : facile Donner l écriture décimale des nombres suivants. Correction de l exercice 7 Rappel : Multiplication d un nombre par une puissance de 10 d exposant négatif Pour multiplier un nombre par (avec négatif), on décale la virgule du nombre de rangs vers la gauche. L exposant de la puissance de 10 est (nombre négatif) donc on décale la virgule de rangs vers la gauche. L exposant de la puissance de 10 est (nombre négatif) donc on décale la virgule de rangs vers la gauche. L exposant de la puissance de 10 est (nombre négatif) donc on décale la virgule de rangs vers la gauche. 5

6 Exercice 8 (1 question) Niveau : moyen Compléter le tableau suivant. Ecriture en lettres dix un centième Ecriture en chiffres Ecriture sous la forme (avec entier relatif) dix millions Correction de l exercice 8 Rappel : Ecriture décimale d une puissance de 10 Soit un entier supérieur ou égal à. 1 er cas : Autrement dit, pour écrire, on écrit zéros APRÈS le chiffre. Exemple : 2 ème cas : Exemple : Autrement dit, pour écrire, on écrit zéros AVANT le chiffre. Remarque importante : Par convention, (le chiffre n est suivi ni précédé d aucun zéro). Pour bien comprendre les réponses données ci-dessous, utilisons les tableaux de numération suivants. trillions billiards billions milliards millions mille unités, c d u c d u c d u c d u c d u c d u c d u 6

7 unités, dixièmes centièmes millièmes millionièmes dixmillièmes centmillièmes dixmillionièmes centmillionièmes 1 er cas : «dix» On commence par placer dans le tableau de numération le nombre «dix» (qui s écrit «10» en chiffres). trillions billiards billions milliards millions mille unités, c d u c d u c d u c d u c d u c d u c d u 1 0 Ensuite, on regarde le nombre de zéros AVANT ou APRÈS le chiffre 1. On a 1 zéro APRÈS le chiffre 1 donc le nombre «dix» s écrit. 2 ème cas : «1 000» trillions billiards billions milliards millions mille unités, c d u c d u c d u c d u c d u c d u c d u On a 3 zéros APRÈS le chiffre 1 donc le nombre «1 000» (qui se lit «mille») s écrit. 3 ème cas : «un centième» unités, dixièmes centièmes millièmes millionièmes 0, 0 1 On a 2 zéros AVANT le chiffre 1 donc le nombre «un centième» s écrit. 4 ème cas : Pour écrire, il faut écrire 5 zéros APRÈS le chiffre 1. trillions billiards billions milliards millions mille unités, c d u c d u c d u c d u c d u c d u c d u Le nombre se lit «cent mille». 5 ème cas : unités, dixièmes centièmes millièmes millionièmes 0, On a 3 zéros AVANT le chiffre 1 donc le nombre s écrit et se lit «un millième». dixmillièmes centmillièmes dixmillionièmes centmillionièmes dixmillièmes centmillièmes dixmillionièmes centmillionièmes 6 ème cas : «dix millions» trillions billiards billions milliards millions mille unités, c d u c d u c d u c d u c d u c d u c d u On a 7 zéros APRÈS le chiffre 1 donc le nombre «dix millions» s écrit. 7

8 7 ème cas : 8 ème cas : Pour écrire, il faut écrire 13 zéros APRÈS le chiffre 1. trillions billiards billions milliards millions mille unités, c d u c d u c d u c d u c d u c d u c d u Le nombre se lit «dix billions» et s écrit. 9 ème cas : Pour écrire, il faut écrire 7 zéros AVANT le chiffre 1. dixmillièmemillièmemillionièmemillionièmes cent- dix- cent- unités, dixièmes centièmes millièmes millionièmes 0, On a 5 zéros AVANT le chiffre 1 donc le nombre s écrit : et se lit «un cent-millième». dixmillièmemillièmemillionièmes cent- dix- unités, dixièmes centièmes millièmes millionièmes 0, Le nombre se lit «un dix-millionième» et s écrit. centmillionièmes En résumé, on a : Ecriture en lettres dix mille un centième cent mille un millième dix millions un cent-millième dix billions un dix-millionième Ecriture en chiffres Ecriture sous la forme (avec entier relatif) Exercice 9 (2 questions) Niveau : moyen Calculer les nombres suivants et donner le résultat de et sous la forme d une fraction irréductible et celui de et sous leur forme décimale. 8

9 Correction de l exercice 9 Attention aux opérations prioritaires! Les multiplications et divisions doivent être effectuées avant les additions et soustractions. Exercice 10 (1 question) Niveau : facile Parmi les nombres suivants, préciser ceux qui sont écrits en notation scientifique. Correction de l exercice 10 Rappel : Notation scientifique d un nombre décimal La notation scientifique d un nombre relatif (différent de ) est l écriture unique de la forme où : désigne un nombre avec un seul chiffre autre que avant la virgule désigne un nombre entier relatif est bien de la forme. Cependant, n est pas écrit avec un seul chiffre avant la virgule. Donc le nombre n est pas écrit en notation scientifique. 9

10 est bien de la forme. De plus, est bien écrit avec un seul chiffre avant la virgule mais ce chiffre est le chiffre. Donc le nombre n est pas écrit en notation scientifique. n est pas de la forme. Donc le nombre n est pas écrit en notation scientifique. est bien de la forme. De plus, est bien écrit avec un seul chiffre avant la virgule et ce chiffre est bien différent de. Donc le nombre est écrit en notation scientifique. est bien de la forme. Cependant, n est pas écrit avec un seul chiffre avant la virgule. Donc le nombre n est pas écrit en notation scientifique. est bien de la forme. De plus, est bien écrit avec un seul chiffre avant la virgule (en effet, ) et ce chiffre est bien différent de. Donc le nombre est écrit en notation scientifique. Exercice 11 (2 questions) Niveau : moyen 1- Donner la notation scientifique des nombres suivants : 2- Donner l écriture décimale des nombres suivants : Correction de l exercice Donnons la notation scientifique du nombre. On doit donc écrire sous la forme avec :, nombre avec un seul chiffre autre que avant la virgule, nombre entier relatif On commence par écrire (car ce nombre comporte bien un seul chiffre autre que 0 avant la virgule). Ensuite, on trouve l exposant de la puissance de en comptant le nombre de déplacements de la virgule. Pour passer de à, on décale la virgule de 3 rangs vers la droite, donc. Donnons la notation scientifique du nombre. On doit donc écrire sous la forme avec :, nombre avec un seul chiffre autre que avant la virgule, nombre entier relatif On commence par écrire. Ensuite, on trouve l exposant de la puissance de en comptant le nombre de déplacements de la virgule. Pour passer de à, on décale la virgule de 2 rangs vers la droite, donc. 10

11 Donnons la notation scientifique du nombre. On doit donc écrire sous la forme avec :, nombre avec un seul chiffre autre que avant la virgule, nombre entier relatif On commence par écrire. Ensuite, on trouve l exposant de la puissance de en comptant le nombre de déplacements de la virgule. Pour passer de à, on décale la virgule de 1 rang vers la gauche, donc. Donnons la notation scientifique du nombre. On doit donc écrire sous la forme avec :, nombre avec un seul chiffre autre que avant la virgule, nombre entier relatif On commence par écrire. Ensuite, on trouve l exposant de la puissance de en comptant le nombre de déplacements de la virgule. Pour passer de à, on décale la virgule de 2 rangs vers la gauche, donc. 2- Donnons l écriture décimale du nombre. L exposant de la puissance de 10 est (nombre positif) donc on décale la virgule de rangs vers la droite. Ainsi,. Donnons l écriture décimale du nombre. L exposant de la puissance de 10 est (nombre positif) donc on décale la virgule de rangs vers la droite. Ainsi,. Donnons l écriture décimale du nombre. L exposant de la puissance de 10 est (nombre négatif) donc on décale la virgule de rangs vers la gauche. Ainsi,. Donnons l écriture décimale du nombre. L exposant de la puissance de 10 est (nombre négatif) donc on décale la virgule de rangs vers la gauche. Ainsi,. Exercice 12 (3 questions) Niveau : moyen Dans le système solaire, on peut observer plusieurs planètes (gazeuses et telluriques) dont certaines données sont reproduites ci-dessous. Planète Rayon moyen (km) Masse (kg) Jupiter Neptune Terre Mars Mercure 11

12 1- Donner un ordre de grandeur de la masse de ces 5 planètes et les classer selon leur masse, de la plus petite à la plus grande. 2- Calculer un ordre de grandeur (en kilomètres cubes) du volume de la Terre, en considérant que cette planète peut être assimilée à une boule. Correction de l exercice 12 Rappel : Encadrement et ordre de grandeur d un nombre Soit un nombre dont l écriture scientifique est. Un encadrement de par deux puissances de consécutives est : Un ordre de grandeur de est, avec l arrondi à l unité de. 1- Donnons un ordre de grandeur de la masse des 5 planètes proposées. Par conséquent, un ordre de grandeur de la masse de Jupiter est car est un arrondi à l unité du nombre. Par conséquent, un ordre de grandeur de la masse de Neptune est car est un arrondi à l unité de. Par conséquent, un ordre de grandeur de la masse de la Terre est car est un arrondi à l unité de. Par conséquent, un ordre de grandeur de la masse de Mars est car est un arrondi à l unité de. 12

13 Par conséquent, un ordre de grandeur de la masse de Mercure est car est un arrondi à l unité de. Désormais, classons les masses de ces planètes dans l ordre croissant, c est-à-dire de la plus petite à la plus grande. Pour ce faire, on compare les ordres de grandeur et, en particulier, on compare les puissances de 10. Plus l exposant est petit, plus le nombre est petit. Ainsi, les masses de Mars et de Mercure sont plus petites que la masse de la Terre, elle-même plus petite que celle de Neptune, elle-même plus petite que celle de Jupiter. On a donc : Il reste à comparer les masses respectives de Mars et de Mercure, toutes deux exprimées avec la même puissance de. Or, comme, il résulte que :. En conclusion : 2- En assimilant la planète Terre à une boule, on peut calculer son volume grâce à la formule : Un ordre de grandeur du volume de la Terre est. 13

14 Exercice 13 (1 question) Niveau : moyen Compléter par des puissances de chacune des cases des deux carrés magiques suivants, afin que les produits des lignes, des colonnes et des diagonales soient égaux. 1- Premier carré magique 2- Deuxième carré magique Correction de l exercice Premier carré magique Complétons par des puissances de chacune des cases du carré magique suivant, afin que les produits des lignes, des colonnes et des diagonales soient égaux. Calculons dans un premier temps le produit de la dernière ligne :. Ainsi, le produit des lignes, des colonnes et des diagonales doit être égal à. Le produit de la ligne est égal à Complétons dorénavant la première colonne en appelant nombre de la 1 ère colonne et de la 2 ème ligne. On doit avoir, c est-à-dire : le Complétons dorénavant la diagonale descendante en appelant nombre de la case centrale. On doit avoir, c est-à-dire : le 14

15 Il est désormais possible de remplir les autres cases, par exemple celle de la 3 ème colonne et de la 2 ème ligne, d inconnue. On doit avoir, c est-à-dire : Intéressons-nous maintenant à la case en 2 ème colonne et 2 ème ligne, d inconnue. On doit avoir, c est-à-dire : Terminons de remplir le carré magique. On doit avoir, c est-à-dire : En résumé : Sur chaque ligne, le produit est égal à : Sur chaque colonne, le produit est égal à : Sur chaque diagonale, le produit est égal à : 15

16 2- Deuxième carré magique Complétons par des puissances de chacune des cases du carré magique suivant, afin que les produits des lignes, des colonnes et des diagonales soient égaux. Pour faciliter les calculs, commençons par écrire chaque nombre sous la forme d une puissance de. ; ; ;. Ainsi, on a le carré magique suivant : Le produit des facteurs de la dernière colonne est égal à : Complétons désormais le carré magique a) En dernière ligne, on a : d où : b) Pour trouver le nombre central, on repère que le produit de la diagonale donne : d où : c) On peut désormais trouver le nombre positionné en 1 ère colonne et 2 ème ligne : d où : d) On peut terminer de remplir le carré magique. d où : 16

17 e) Et enfin, d où : Exercice 14 (1 question) Niveau : moyen Compléter à l aide d une puissance de 10. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) Correction de l exercice 14 Rappel : Préfixes Puissances de 10 d exposant négatif ou nul Préfixe Puissance de 10 d exposant positif ou nul Préfixe (déci-) (centi-) (milli-) (micro-) (nano-) (pico-) (déca-) (hecto-) (kilo-) (méga-) (giga-) (tera-) 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) (Rappel : ) 17