Exercice 4. Classe : P 6 Nom : MATHEMATIQUES Mardi 26 mars 2019 M. de Verclos Devoir surveillé 4 Calculatrice autorisée PARTIE SAVOIR FAIRE

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1 Classe : P 6 Nom : MATHEMATIQUES Mardi 26 mars 2019 M. de Verclos Devoir surveillé Calculatrice autorisée Exercice 1 PARTIE SAVOIR FAIRE Soit f une fonction définie et dérivable sur R dont voici la représentation graphique C. En justifiant, donner si possible, a) le tableau de signes de f b) la valeur de f (8) c) le taux d accroissement de f entre 3 et 7 Exercice 2 1) Soit f la fonction définie par f(x) = (5x 5 + 2x 3 + ) 2. Calculer f (x) 2) Soit g la fonction définie par g(x) = 2x2 x 3x 1. 3) Soit h la fonction définie par 1 3x 2 +2x+1. Calculer g (6) Calculerh (x) Exercice 3 1) Résoudre dans R, cos(x) = cos ( π 7 ) 2) Résoudre dans ] π ; π ] sin(2x) = sin (x + π ). Exercice Soit x un réel. Ecrire en fonction de cos (x) ou de sin (x). Toute formule utilisée sera citée. cos 2 (x) sin 2 (x) Exercice 5 Soit u, v et w trois vecteurs non nuls tels que (u, v) = 2π 7. En justifiant (toute formule utilisée sera citée explicitement) calculer : a) (2u, 3v) b) (v, u )

2 Exercice 7 1) Dans un repère orthonormé, u ( 2 3 ) et v (5 ) calculer cos (u, v) 7 2) A, B, C trois points tels que AB = 12 BC = 7 AC = 9. Calculer CB. AC PARTIE Prise d Initiative - A traiter sur une copie séparée Exercice 8 Soit g la fonction définie sur par R g(x) = x3 3 x2 3x + 1 1) Calculer g (x) 2) Donner le tableau de variation de g 3) Soit C g la courbe représentative de g. Déterminer une équation de la droite T tangente à C g au point d abscisse 3 2 ) Etudier la position relative de la courbe C g et de la droite T Exercice 9 Soit f une fonction définie et dérivable sur ] ; 1 [ et sur ] 1 ; + [. On sait que : Valeurs de x Signe de f (x) Ci-dessous, tracer une représentation possible de C f (la courbe qui représente f). Exercice 10 Le but de l exercice est de trouver le périmètre minimal d un rectangle ABCD d aire 2. 1) Proposer deux rectangles d aire 2 mais de périmètre différent. 2) Déterminer AB et CD pour que le périmètre soit minimal. Démontrer.

3 Exercice 1 PARTIE SAVOIR FAIRE Question a On lit graphiquement les variations de f Valeurs de x Variation de f Signe de f (x) Question b On trace la tangente à la courbe au point d abscisse 8 On lit son coefficient directeur f (8) = 2 1 = 2 Question c le taux d accroissement de f entre 3 et 7 f(7) f( 3) 7 ( 3) = 2 ( 2) 10 = 10 = 2 5 Exercice 2 Question 1 f(x) = (5x 5 + 2x 3 + ) 2 f est une fonction polynôme donc définie et dérivable sur R On pose : u(x) = 5x 5 + 2x 3 + donc u (x) = 25x + 6x 2 Or (u 2 ) = 2 u u Donc f (x) = 2 (25x + 6x 2 )(5x 5 + 2x 3 + ) g(x) = 2x2 x 3x 1 g est une fonction rationnelle dont le dénominateur s annule pour x = 1 3 donc g est définie et dérivable sur ] ; 1 3 [ et sur ] 1 3 ; + [ On pose : u(x) = 2x 2 x u (x) = x Or Donc ( u v ) = u v v u u 2 v(x) = 3x 1 v (x) = 3 g (x) = (x )(3x 1) 3(2x2 x) (3x 1) 2 = 12x2 +x 12x+ 6x 2 +x (3x 1) 2 = 6x2 x+ (3x 1) 2 donc g (6) =

4 1 Question 3 h(x) =. 3x 2 +2x+1 h est une fonction rationnelle dont le dénominateur ne s annule pas ( Δ = 8 ) Exercice 3 donc h est définie et dérivable sur R On pose : v(x) = 3x 2 + 2x + 1 donc v (x) = 6x + 2 Or ( 1 v ) = v v 2 Donc h (x) = (6x+2) (3x 2 +2x+1) 2 = 6x 2 (3x 2 +2x+1) 2 Question 1 cos(x) = cos ( π 7 ) cos(x) = cos (π π 7 ) L équation a une infinité de solutions réparties en deux familles : x = 6π 7 + k 2π ou x = 6π 7 + k 2π avec k Z sin(2x) = sin (x + π ) 2x = x + π + k 2π ou 2x = π (x + π ) + k 2π avec k Z x = π + k 2π ou 3x = 3π + 2kπ avec k Z x = π + k 2π ou x = π + 2kπ avec k Z 3 Les solutions dans ] π ; π ] sont : Une seule de la forme x = π + k 2π : π (pour k = 0) Deux de la forme x = π + 2kπ : 5π ( pour k = 1) π (pour k = 0) π 12 (pour k = 1) L ensemble des solutions est { 5π 12 ; π ; 11π 12 } Exercice Soit x un réel. Ecrire en fonction de cos (x) ou de sin (x). Toute formule utilisée sera citée. cos 2 (x) sin 2 (x) = cos 2 (x) (1 cos 2 (x)) = 2 cos 2 (x) 1 cos 2 (x) sin 2 (x) = 1 sin 2 (x) sin 2 (x) = 1 2 sin 2 (x) Exercice 5 Soit u, v et w trois vecteurs non nuls tels que (u, v) = 2π 7. Question a (2u, 3v) = (u, v) = (u, v) + π = 9π 7 Question b (v, u ) = (u, v) = 2π 7 Exercice 7 Question 1 u. v = = 11 u = ( 2) = 13 v = = 7 On sait aussi que : u. v = u v cos(u, v) donc u. v = u v cos(u, v) = u.v = 11 u v 962 CB. AC = CB. ( CA ) = CB. CA = 1 2 (CB2 + AC 2 AB 2 ) = 1 2 ( ) = 7

5 Exercice 8 PARTIE Prise d Initiative Question 1 g est une fonction polynôme définie et dérivable sur R : g (x) = 1 3 3x2 2x 3 = x 2 2x 3 g (x) est de la forme ax 2 + bx + c avec a = 1 b = 2 c = 3 Δ = b 2 ac = ( 2) 2 (1)( 3) = 16 Comme Δ > 0, g (x) a deux racines : x 1 = ( 2) = 1 et x 2 = ( 2) Valeurs de x Signe de g (x) Variation de g Signe de a Signe de a = 3 Question 3 g ( 3 2 ) = 1 3 (3 2 )3 ( 3 2 )2 3 ( 3 2 ) + 1 = 37 g ( 3 2 ) = (3 2 )2 2 ( 3 2 ) 3 = 15 T : y = g ( 3 2 ) (x 3 2 ) + g (3 2 ) = 15 (x 3 2 ) 37 8 = 15 x + 1 T: y = 15 x + 1 Question On pose d(x) = g(x) ( 15 x + 1) d(x) = x3 3 x2 3x x3 x 1 = 3 x2 + 3 x = x 12 (x2 12x + 9) = x (2x 3)2 12 On peut aussi calculer le discriminant. 8 (2x 3) 2 est toujours positif et s annule pour x = 3 2 Valeurs de x signe de x Signe de (2x 3) Signe de d(x) Pour x ] ; 0 [ ] 3 2 Pour x ]0 ; 3 2 Pour x = 0 et x = 3 2 ; + [ g(x) > 15 x + 1 donc C g au-dessus de T [, g(x) < 15 x + 1 donc C g en-dessous de T g(x) = 15 x + 1 donc C g et T se coupent

6 Exercice 9 Soit f une fonction définie et dérivable sur ] ; 1 [ et sur ] 1 ; + [. On sait que : Valeurs de x Signe de f (x) Exercice 10 Le but de l exercice est de trouver le périmètre minimal d un rectangle d aire 2. Question 1 AB = CD = 1 2 périmètre 9 AB = 1 CD = 2 périmètre 6 Modélisation On pose x = AB Comme AB CD = 2 on a : CD = 2 x Le périmètre est : x x + 2 = 2x + x Pour x x x ]0 ; + [, on pose : f(x) = 2x + x Traitement mathématique f (x) = 2 = 2x2 = 2(x+2)(x 2) x 2 x 2 x 2 Le numérateur est un polynôme du second degré, de racines 2 et 2 (a = 2) Valeurs de x Signe de f (x) 0 + Variation de g Signe de a Signe de a 6 Solution du problème Le périmètre minimal est 6. On l obtient quand le rectangle mesure 2 sur 1.